人教版九年级数学上册22.1二次函数的图象和性质同步测试(含解析）

人教版九年级数学上册同步练习
22.1 二次函数的图象和性质
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列函数中，是二次函数的是 （ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是 （ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是 （ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
4．若二次函数y＝x2+2x+k的图象经过点（1，y1），（﹣2，y2），则y1，y2与的大小关系为 （　　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
5．已知二次函数的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在同一直角坐标系中，函数和函数(a是常数，且a≠0)的图象可能是 （　　　）
A． B．
C． D．
7．若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
8．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为 （ ）
A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6
二、填空题（每题3分，共24分）
9．抛物线y＝4(x﹣3)2+7的对称轴是直线x＝_____．
10．二次函数y＝（m2+1）x2﹣1的图象开口方向是__________（填“向上”或“向下”）．
11．把二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的解析式为，则______．
12．如图是二次函数的图像，该函数的最小值是__________．
13．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．
14．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 _____．
15．如图，点，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D．直线DE∥AC，交于点E，则的长为______．
16．如图，在矩形 ABCD 中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作 FH⊥AD，垂足为H，连接AF． 在整个变化过程中，△AEF 面积的最大值是_______．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．已知函数 是关于x的二次函数，求满足条件的m的值．
18．已知抛物线的顶点坐标为，且过点.求：
①抛物线的函数表达式；
②判断点是否在抛物线上.
19．如图，已知抛物线经过点和点．解答下列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为，对称抽与轴的交点为，求线段的长；
(3)点在抛物线上运动，是否存在点使的面积等于6？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
20．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣2，﹣3）．
(1)用含a的代数式表示b．
(2)无论a取何值．若一次函数y2＝a2x+m总经过y1的顶点，求证：m．
21．已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（2，4），B（4，0）．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)将x轴上的点P先向上平移3n（n＞0）个单位得点P1，再向左平移2n个单位得点P2，若点P1，P2均在该二次函数图象上，求n的值．
22．已知，如图所示，直线l经过点A(4，0)和B(0，4)，它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，又AOP的面积为．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求a的值．
23．如图，抛物线的图象与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3）直线l的函数表达式为，
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）动点P在抛物线AB段上运动，经过点P作y轴的平行线交直线l于点Q，求线段PQ的取值范围．
24．如图，抛物线（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0），B（4，n）两点，且抛物线经过点C（5，0）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PE长的最大值，并求此时P点坐标；
②是否存在点P使为等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
25．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标．
(3)在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第6页，共6页
参考答案：
1．解：A、符合二次函数的定义，本选项符合题意；
B、是一次函数，不符合题意；
C、是反比例函数，不符合题意；
D、不是二次函数，不符合题意；
故选：A．
2．解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=x2-1的顶点坐标是（0，-1）．
故选：B．
3．解：∵抛物线的顶点坐标为（0，0），抛物线的顶点坐标为（1，-3），
∵点（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点（1，-3），
∴抛物线先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到抛物线．
故选：D.
4．解：当x＝1时，y1＝x2+2x+k＝1+2+k＝k+3；
当x＝﹣2时，y2＝x2+2x+k＝4﹣4+k＝k，
所以y1＞y2．
故选：A．
5．解：观察图象得：二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴，故①错误；
观察图象得：，对称轴，
∴，
∴，故②正确；
观察图象得：当时，，
∴，故③错误；
观察图象得：二次函数图象开口向上，
∴二次函数有最小值，最小值为-2，
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴二次函数的图象与直线有两个交点，
∴，故④正确；
故选：B
6．解：当时，函数的图象经过一、二、三象限；函数的开口向上，对称轴在y轴的左侧；
当时，函数的图象经过二、三、四象限；函数的开口向下，对称轴在y轴的右侧，故D正确．
故选：D．
7．解：因为点、在抛物线上，
根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，
所以，对称轴；
故选：C．
8．解：当h＞5时，
∵ 二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，
∴，
解得h=6或h=4(舍去)；
当h＜2时，
∵ 二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，
∴，
解得h=1或h=3(舍去)；
故选D．
9．解：∵y＝4(x﹣3)2+7，
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
故答案为：3．
10．解：二次函数y=（m2+1）x2-1中，k=m2+1＞0，
∴该函数图象开口向上，
故答案为：向上．
11．解：平移后的函数解析式为：，
根据平移方式可知，平移后的图像向上平移2个单位，向左平移3个单位可得原图像，
∴原函数解析式为：，
∴，，
∴，
故答案为：7．
12．解：由图像可知，此函数的对称轴为直线，函数的图像经过点，
则，，
解得，
将代入得：，解得，
则二次函数的解析式为，
当时，，
即该函数的最小值是，
故答案为：．
13．解：点到轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为.
故答案为：
14．解：如图所示：
当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即
解得，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1，
故答案为：．
15．解：∵,AC//x轴
∴点A、C的纵坐标相同
∴，解得x=2，
∴点C（2，1），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同为2，
∴y1=22=4，
∴点D的坐标为（2，4），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为4，
∴，解得:x=4，
∴点E的坐标为（4，4），
∴DE=4-2=2，
故答案为：2．
16．解：四边形CEFG为正方形，
,
∠FEH+∠CED＝90°，
FH⊥AD，
，
∠FEH+∠EFH＝90°，
∴∠CED＝∠EFH，
在Rt△EFH和Rt△CED中，
，
∴Rt△EFH≌Rt△CED（AAS），
∴ED＝FH，
设AE＝a，则ED＝FH＝3﹣a，
∴S△AEF＝AE FH＝a（3﹣a）＝﹣（a﹣）2+ ，
∴当AE＝时，△AEF面积的最大值为．
故答案为：．
17．解∶根据题意得∶ ，且，
解得m=5，
即满足条件的m的值为5．
18．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为
设抛物线的表达式为：
将代入得：
解得
故此抛物线的函数表达式：.
（2）当x=-1时，
∴在抛物线上.
19． (1)解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式是．
(2)∵，
∴抛物线的对称轴为：，顶点，
∵，
∴，
∴，，
∴．
(3)存在，理由如下：
设，则点的纵坐标为，
∵，，
∴，
∵的面积等于6，
∴，
∴，
①当时，解得，；
②当时，解得，．
∴存在点使的面积等于6．点的坐标为：或或或．
20． (1)解：将（-2，-3）代入中得，
；
(2)证明：由（1）得，，
则，
抛物线的顶点为，
∵一次函数y2＝a2x+m总经过y1的顶点，
∴，
∵，
∴当时，m的最小值为，
∴．
21． (1)解：∵二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（2，4），B（4，0），
∴ ，解得： ，
∴这个二次函数的表达式为 ；
(2)解：设点 ，
∵点P先向上平移3n（n＞0）个单位得点P1，再向左平移2n个单位得点P2，
∴点 ，
∵点P1，P2均在该二次函数图象上，
∴点 关于对称轴 对称，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵点P1在该二次函数图象上，
∴ ，
∴，
解得： 或，
∵n＞0，
∴．
22．解：（1）设直线的解析式为，
将点代入得，解得，
故直线的表达式为；
（2）如图，过点作轴于点，
设点的坐标为，则，
，
，
∵的面积为，
∴，
解得，
将点代入得：，
解得，
则，
将点代入得：，
解得，
故的值为．
23．解：（1）将点A、B坐标分别代入函数解析式可得：
，
解得：，
∴函数解析式为：；
（2）设P（x，），（）
∵轴，
∴Q（x，），
∴根据图象可得：
PQ＝
当时，PQ取得最小值为；
当或3时，PQ取得最大值为；
∴线段PQ的取值范围为：．
24．（1）解：由题意，抛物线的解析式可化为，
将点代入直线
得：，
将点代入
得：，
解得，
则抛物线的解析式为，
即；
（2）①由题意：设，，
点P在点E的上方，
则
∵ -1＜0
∴当m=时，PE有最大值，最大值为
当m=时，，此时点P的坐标为（，）；
②存在，m的值为或0或．
，
，
，，
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：
（ⅰ）当时，为等腰三角形，则，即，
解得或（舍去）
（ⅱ）当时，为等腰三角形，则，即，
解得或（舍去）；
（ⅲ）当时，为等腰三角形，
则，即，解得；
综上，m的值为或0或．
25．解： （1）将A（ 1，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴；
（2）令y＝0，则，
解得x＝ 1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴，
∴OD＝4，
∴D（0， 4），
设直线BD的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x 4，
联立方程组，
解得或，
∴P（ 3， 7）；
（3）如图1，当在第一象限时，
设直线BC的解析式为，
，
解得，
∴，
设E（t，），，
∴OE＝t，EH＝，
∵D（0， 4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直线与直线BP相交所成锐角为45°，
∴，
由折叠可知，，，
在中，，
∴，
∴
在Rt△BHE中，，
解得，
∵0≤t≤4，
∴t＝，
∴；
如图2，当在第二象限，时，
∵∠ABP＝45°，
∴轴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可知，
∴平行四边形是菱形，
∴BE＝OB，
∴，
解得或，
∵0≤t≤4，
∴，
∴；
综上所述：的坐标为或．
答案第1页，共2页
答案第2页，共13页