第2讲 整式的复习
目标层级图
课中讲解
一．整式的相关定义
内容讲解
（一）代数式的概念
用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子 叫代数式。如： n-2 、 0.8a、2n +500、abc、2ab+2bc +2ac，（单独一个数或字母也是代数式）
注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
※代数式的书写格式：
①表示数与字母或字母与字母相乘时，乘号可以写成“·”，但通常省略不写，如vt；；
②数字与字母相乘时，必须写乘号，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。
（二）单项式和多项式
1.单项式： 由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式 。单项式的系数是指 单项式中的数字因数 。单项式的次数是指 单项式中所有字母的指数和 。
2.多项式： 几个单项式的和叫做多项式 。在多项式中， 每个单项式 叫做多项式的项。在多项式中， 不含字母的项 叫做常数项。 多项式中次数最高的项的次数 ，就是这个多项式的次数。多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式。
（三）同类项
1．同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项 叫做同类项。所有的常数项都是同类项。同类项要把准“两相同，两无关”：“两相同”是指：① 所含字母相同 ；② 相同字母的指数相同
2.合并同类项：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
例1. 填空：
（1）如果a（a不为0）表示一个有理数，那么它的相反数是 -a ，倒数是 ；
（2）一个正方形的边长是a cm，把这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的周长
是 (4a+4) cm；
（3）某城市5年前人均收入为n元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达（2n+500） 元；
（4）一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字少2，则这个两位数为
11a﹣2 。
例2.一个三位数，百位数字是a，十位数字比百位数字大3，个位数字比百位数字小5，用代数式表示这个三位数。
111a-470
例3.下列各式符合书写要求的是（ ）
A． B．n 2 C．a÷b D．2πr2
【解答】解：A、中的带分数要写成假分数，故不符合书写要求；
B、中的2应写在字母的前面且省略乘号，故不符合书写要求；
C、应写成分数的形式，故不符合书写要求；
D、符合书写要求．
故选：D．
例4.用文字语言叙述代数式﹣b，不正确的是（ ）
A．比a的倒数小b的数 B．1除以a的商与b的差
C．1除以a与b的差的商 D．a的倒数与b的差
【解答】解：用文字语言叙述代数式﹣b，
A、比a的倒数小b的数，正确，不合题意；
B、1除以a的商与b的差，正确，不合题意；
C、1除以a与b的差的商，错误，符合题意；
D、a的倒数与b的差，正确，不合题意；
故选：C．
例5. 单项式﹣5x4y2的系数是 ﹣5 。
例6.若单项式﹣x3yn+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为 0 。
例7.已知多项式是六次多项式，单项式的次数与多项式的次数相同，求．
【解答】解：由题意得：，，
解得：，．
例8. 某九年级学生复习了整式有关概念后，他用一个圆代表所有代数式，画了下列图形来表示整式，多项式，单项式的关系，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：代数式包括整式和分式，整式包括多项式和单项式，故正确是选项D，
故选：D．
例9．代数式：①；②πr2；③；④﹣3a2b；⑤．其中整式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：①a；②πr2；③x2+1；④﹣3a2b，都是整式，
⑤，分母中含有字母，不是整式，
故选：C．
例10．若与是同类项，则 5 ， ．
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得方程，解方程组可得答案．
【解答】解：与是同类项，
，解得，
，解得．
故答案为：5，3．
【点评】本题考查了同类项，利用了同类项的定义．
例11. 合并同类项：
（1） ；
（2） ．
（3） ．
【分析】（1）直接利用合并同类项法则计算得出答案；
（2）直接利用合并同类项法则计算得出答案．
【解答】解：（1）；
（2）．
故答案为：，．
（3）
．
例12.已知关于、的多项式是八次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同，求、的值．
【分析】先根据多项式的次数计算出的值，再根据单项式的次数计算出的值即可．
【解答】解：多项式是八次四项式，
所以，
解得
又因为的次数与该多项式的次数相同，
所以
即．
【点评】本题考查了多项式的次数和项、单项式的次数．掌握多项式的项和次数及单项式的次数是解决本题的关键．注意区分单项式与多项式的次数．多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，不是所有字母指数的和．
去添括号：
1.括号前是“ + ”号，把括号和它前面的“ + ”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变;
2.括号前是“ - ”号，把括号和它前面的“ - ”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
例13.下列去括号错误的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据去括号法则将各项逐一判断即可．要注意括号前面的符号，以选用合适的法则．
【解答】解：、，去括号正确，故本选项不符合题意；
、，去括号正确，故本选项不符合题意；
、，去括号错误，故本选项符合题意；
、，去括号正确，故本选项不符合题意；
故选：．
例14. 有一道题目，是一个多项式减去，小强误当成了加法计算，结果得到，正确的结果应该是多少？
【分析】先按错误的说法，求出原多项式，原多项式是：；再用原多项式减去，运用去括号，合并同类项即可得到正确的结果．
【解答】解：这个多项式为：
所以
正确的结果为：．
【点评】整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．
过关检测
1．四个长宽分别为a，b的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是（ ）
A．mn﹣4ab B．mn﹣2ab﹣am
C．an+2bn﹣4ab D．a2﹣2ab﹣am+mn
【解答】解：由题意可得a+2b＝m，即2b﹣m＝﹣a，b＝（m﹣a），
可得左边阴影部分的长为2b，宽为n﹣a，右边阴影部分的长为m﹣2b，宽为n﹣2b，
图中阴影部分的面积为
2b（n﹣a）+（m﹣2b）（n﹣2b）
＝2bn﹣2ab+mn﹣2bm﹣2bn+4b2
＝﹣2ab+mn﹣2bm+4b2
＝mn﹣2ab+2b（2b﹣m）
＝mn﹣2ab+2b（﹣a）
＝mn﹣4ab，
mn﹣4ab
＝（a+2b）n﹣4ab
＝an+2bn﹣4ab，
mn﹣4ab
＝mn﹣2ab﹣2a×（m﹣a）
＝a2﹣2ab﹣am+mn．
无法得到B选项．
故选：B．
2.某商场举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以（）元出售，则下列说法中，能正确反映该商场的促销方法的是（ B ）
A．原价打8折后再减10元 B．原价减10元后再打8折
C．原价减10元后再打2折 D．原价打2折后再减10元
3.单项式的次数是 5 ，系数是 ﹣ ．
【解答】解：单项式的次数是5，系数是﹣，
故答案为：5；﹣．
4.写出一个系数是2，且含有字母a，b的3次单项式 2a2b （答案不唯一）．
【解答】解：单项式的系数已确定，字母a、b的次数可按照3＝1+2＝2+1的方式分配，故所求单项式为：2a2b或2ab2．
5.多项式是关于的三次三项式，则的值是 -3 ．
【解答】解：多项式是关于的三次三项式，
，
，
但，
即，
综上所述．
故答案为：．
6. 若与是同类项，则 5 ．
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得、的值再根据代数式求值，可得答案．
【解答】解：由与是同类项，得
，，解得，，
，
故答案为：5．
7. 合并同类项：
（1） ；
（2） ．
（3） ．
【分析】（1）直接利用合并同类项法则计算得出答案；
（2）直接利用合并同类项法则计算得出答案．
【解答】解：（1）；
（2）．
故答案为：，．
（3）
．
8．已知多项式是关于、的六次三项式，且，求的值．
【分析】根据六次单项式的定义即可得出的值，再根据非负数的性质求得，的值，代入代数式计算即可．
【解答】解：是关于、的六次三项式，
，，
解得：，
，
，，
，，
．
【点评】本题考查了多项式，非负数的性质，掌握多项式项以及项的系数是解题的关键．
9.下列等式正确的是
A． B．
C． D．
【分析】利用去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，分别判断即可．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项正确．
故选：．
10．去括号： ， ．
【分析】去括号时，注意符号的变化，不要漏乘括号里的每一项．
【解答】解：；
；
故答案是：；．
二．整式的运算
内容讲解
化简求值
例1.化简
（1） （2）
（3）
【解答】解：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
例2.已知，．
（1）化简：；
（2）当时，求的值．
【分析】（1）把、的值代入，去括号、合并同类项即可；
（2）把的值代入，即可求出答案．
【解答】解：（1），，
；
（2）当时，．
例3.已知：，，若，求．
【分析】根据，可得出，代入即可得出的值 ．
【解答】解：，
，
，，
．
例4．①已知，先化简再求值：
②有理数，，在数轴上的位置如图所示， 化简：．
【分析】①根据非负性即可求出与的值， 然后化简求值即可；②根据数轴比较、、、与 0 的大小， 然后进行化简运算即可 ．
【解答】解：①根据非负性得：，，
原式
；
②由数轴可知：，
，，，，
原式
；
【点评】本题考查整式的化简， 涉及非负数的性质， 利用数轴比较数的大小， 代入求值等知识 ．
不含某项类
（1）化简所给代数式（去括号、合并同类项）；
（2）令该项系数为零；
（3）列方程求解．
①与字母取值无关
例5. 已知多项式和的差的值与字母的取值无关，求代数式的值．
【分析】已知多项式相减列出关系式，去括号合并得到最简结果，根据结果与无关求出与的值，原式去括号合并得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值．
【解答】解：多项式和的差的值与字母的取值无关，
，，
解得：，，
则原式
．
【点评】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
②不含某项
例6. 已知多项式，，中不含有项和项，求的值．
【分析】把与代入中，去括号合并得到最简结果，由结果不含有项和项求出与的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：，，
，
由结果不含有项和项，得到，，
解得：，，
则原式．
代数式求值
例7．与互为相反数，与互为倒数，的倒数是它本身，求的值．
【分析】根据相反数的概念和倒数概念，可得、，、的等量关系，把所得的等量关系整体代入可化简代数式，的倒数是它本身，可求出的两个值，再代入化简后的式子，求出两个值．
【解答】解：与互为相反数，与互为倒数
，
原式
的倒数是它本身
当时，原式；
当时，原式．
【点评】代数式求值问题，注意分两种情况讨论．
例8. （1）若，则代数式的值是 ．
【分析】把看作一个整体，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：，
．
故答案为：2．
（2）已知，．若的值等于，则代数式的值是 ．
【分析】把与代入中，去括号合并求出的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：，，
，
即，
则原式，
故答案为：．
例9. 已知x＝a时，多项式x2+4x+4b2的值为﹣4，则x＝﹣a时，该多项式的值为（ ）
A．0 B．6 C．12 D．18
【解答】解：∵x＝a时，多项式x2+4x+4b2的值为﹣4，
∴a2+4a+4b2＝﹣4，
∴（a+2）2+4b2＝0，
∴a＝﹣2，b＝0，
∴x＝﹣a＝2时，22+4×2+0＝12．
∴该多项式的值为12．
故选：C．
简单规律
例10.按规律排列的一列数：1，，4，，中，第7与第8个数分别为
A．64， B．，128 C．，256 D．128，
【分析】这组数据的规律是：，，，，，，即第个数就是．由此求得答案即可．
【解答】解：这组数据的规律是：，，，，，，即第个数就是，
所以 第7个数为，
第8个数为．
故选：．
例11．观察这一列单项式的规律：，，，，，，照此规律，则第8个单项式为 ．
【分析】根据符号的规律：为奇数时，单项式为负号，为偶数时，符号为正号；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是．指数的规律：第个对应的指数是解答即可．
【解答】解：根据分析的规律，得
第8个单项式是．
故答案为：．
例3.观察下列单项式：，按此规律，第个单项式是 为正整数）．
【分析】根据题意，找出单项式的规律即可．
【解答】解：因为，
所以第个单项式是，
故答案为：，
例12. 观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式： ；
（2）用含有的代数式表示第个等式： 为正整数）；
【分析】（1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为 序号的2倍减1和序号的2倍加1．
（3）运用变化规律计算．
【解答】解：根据观察知答案分别为：
（1）；；
（2）；；
（3）
．
【点评】此题考查寻找数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．
过关检测
1.化简：
（1）；
（2）
【分析】（1）先去括号再合并同类项即可；
（2）先去括号再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
2.已知，，，求
【分析】把，，代入，去括号、合并同类项即可．
【解答】解：，，，
．
3．已知，．
（1）求；
（2）如果，那么的表达式是什么？
【分析】（1）将，整体代入后化简即可．
【解答】解：（1），
（2），
4.（1）先化简，再求值．的值，其中，．
【解答】解：
当，时，
原式．
（2）已知，求：的值．
【解答】，
，，
解得，；
．
5．（1）已知关于的整式、，其中，．
若当中不含的二次项和一次项时，求的值；
【分析】（1）先去括号，合并同类项，根据不含的二次项和一次项，即二次项和一次项的系数为0列方程可得和的值，相加可得结论；
【解答】解：（1），，
，
中不含的二次项和一次项，
，，
，，
；
（2）如果代数式的值与字母所取得的值无关，试求代数式的值．
【分析】先去括号、合并同类项化简求出、的值，再化简代入计算即可；
【解答】解：
由题意：，
，
，
当，时，原式．
【点评】本题考查的加减混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法在等知识，属于中考常考题型．
6. （1）多项式是关于，的多项式，若该多项式不含二次项，求．
【分析】根据题意得出二次项，进而利用二次项系数为0，得出，的值即可得出答案．
【解答】解：多项式是关于，的多项式，该多项式不含二次项，
，，
解得：，，
．
（2）已知：多项式中不含项．求的值．
【分析】首先根据项的系数为0，求出与的关系式，然后将所求代数式改写为2的幂的形式，再把与的关系式代入即可．
【解答】解：由题意，可知，
．
．
【点评】本题主要考查了求代数式的值的方法．多项式中不含项，即项的系数为0，据此得出，再将其整体代入求值．
7. 如果代数式的值为5，那么代数式的值等于
A．2 B．5 C．7 D．13
【解答】解：，
． 故选：．
8．如果有2018名学生排成一列，按1，2，3，4，5，4，3，2，1，2，3，4，5，4，3，2，1，的规律报数，那么第2018名学生所报的数是 2 ．
【分析】分析可得：“1，2，3，4，5，4，3，2”8个一组，顺次循环；且2018除以8的余数为2；故第2018名学生所报的数是2．
【解答】解：，2，3，4，5，4，3，2顺次循环，
又除以8的余数为2，
第2018名学生所报的数是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．本题的关键是找到规律是：1，2，3，4，5，4，3，2顺次循环．
9. 观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：
．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式： ；
（2）写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示），并证明．
【分析】（1）观察等式的左边第一数字均为3，第二个数字与等式的序号相同的数的平方，第三个数字也与等式序号相同，等号右边的第一个数字与等式序号相同，第二个数字是等式序号的3倍，第三个数字均为1，依此规律答案可得；
（2）利用（1）中发现的规律可得结论，证明时通过运算说明左右相等即可．
【解答】解：（1）第4个等式为：．
故答案为：．
（2）第个等式为：．
证明：右边，
左边，
左边右边．
等式成立．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数字的变化规律，列代数式，准确找出数字的变化与序号的关系是解题的关键．
三．综合运用
内容讲解
例1. 小亮房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）
（1）请用代数式表示装饰物的面积： ，用代数式表示窗户能射进阳光的面积是 （结果保留
（2）当，时，求窗户能射进阳光的面积是多少？（取
（3）小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大？如果更大，那么大多少？
【分析】（1）根据圆的面积公式求出即可；根据长方形的面积公式列出式子，再根据圆的面积公式求出阴影部分的面积，再相减即可；
（2）根据（1）得出的式子，再把、的数值代入即可求出答案；
（3）利用（1）的方法列出代数式，两者相比较即可．
【解答】解：（1）根据圆的面积公式：装饰物的面积是，
窗户能射进阳光部分面积是窗户的面积减去装饰物的面积，
窗户能射进阳光的面积是；
（2）当，时，；
（3）如图2，窗户能射进阳光的面积，
，
，
此时，窗户能射进阳光的面积更大，
，
此时，窗户能射进阳光的面积比原来大．
故答案为：，．
【点评】此题考查列代数式以及代数式求值，注意利用长方形和圆的面积解决问题．
例2．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20立方米时，按2元立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按2元立方米收费，超过部分按2.6元立方米计费．
（1）如果小红家每月用水15吨，水费是 30 元，如果每月用水23吨，水费是 元
（2）如果字母表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费如何用代数式表示．
【分析】（1）用水15吨，按2元立方米易得水费；用水23吨，分两部分交纳水费，前20吨按2元立方米计费，后3吨2.6元立方米计费；
（2）分类讨论：当时，水费为元；当时，水费为元；
（3）由（1）得到四月份和六月份的用水量，五月份的用水量按2元立方米计费即可得到五月份用水为17吨，然后把三个月的用水量相加即可．
【解答】解：（1）小红家每月用水15吨，水费是（元，如果每月用水23吨，水费是（元；
故答案为30，47.8；
（2）当时，小红家每月的水费为元；当时，小红家每月的水费为元；
（3）设五月份用水为（吨，
所以小明家这个季度共用水55立方米．
例3．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．
方法① ．方法② ；
【分析】平均分成后，每个小长方形的长为，宽为．
（1）正方形的边长小长方形的长宽；
（2）第一种方法为：大正方形面积个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分为小正方形的面积；
（3）利用可求解；
（4）利用可求解．
【解答】解：（1）；
（2）或；
（3）；
（4），
，，
．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．
例4. 如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，、满足关于、的多项式不含二次项，且．
（1）点表示的数为 ，点表示的数为 ；
（2）在数轴上动点、分别从、同时向左运动，已知动点的速度为每秒1个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度：若、两点同时到达点时，求点对应的数；
【分析】（1）根据关于、的多项式不含二次项，得出，，再根据，即可得出、的值；
（2）①由题意可设点、向左运动同时到达点的时间是，得出，，再根据且，即可求出的值，从而得出点对应的数；
②设点、向左运动的时间是，分三种情况讨论，当时、当时、当时，分别列出算式，即可得出点对应的数．
【解答】解：（1）关于、的多项式不含二次项，
，，
，，
，
，
点表示的数为，点表示的数为20．
故答案为：，20．
（2）①由题意可设点、向左运动同时到达点的时间是，
则，，
又且，
，
解得，
，
则点对应的数是；
过关检测
1. 张先生将两种股票同时卖出，卖价均为元．其中，甲种股票盈利，乙种股票盈利．请问：张先生在这次交易中是盈利还是亏损？ （填“盈利”或“亏损”或“不盈利也不亏损” ，如果有盈利或亏损，是多少？ ．
2．有总长为的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的园子，园子的宽为．
（1）用关于，的代数式表示园子的面积；
（2）当，时，求园子的面积．
3. 如图，把一张长是，宽是的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小且边长为的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）若，，，求折成的长方体盒子的底面积是多少？
（2）请用含，，代数式表示折成的长方体盒子的底面周长；
（3）如果把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的边长为的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折成一个长方体，那么它的底面周长是多少？（用含，，代数式表示）
【分析】（1）根据题意表示出盒子的底面积，代值计算即可；
（2）表示出盒子的底面周长即可；
（3）分为两种情况，根据长方形的周长公式求解．
【解答】解：（1）根据题意得折成的长方体盒子的底面积是，
当，，时，原式．
故折成的长方体盒子的底面积是32；
（2）根据题意得折成的长方体盒子的底面周长是．
故长方体盒子的底面周长为；
（3）若按图1所示的方法剪折，
它的底面周长；
若按图2所示的方法剪折，
它的底面周长．
故它的底面周长是或．
【点评】本题考查了列代数式，代数式的求值，找到数量关系是解决本题的关键；易错点是得到各边长的代数式．
4.已知：，且、、分别是点、、在数轴上对应的数．
（1）写出 4 ； ； ．
（2）若甲、乙、丙三个动点分别从、、三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是1、2、4，（单位秒），运行秒后，甲、乙、丙三个动点对应的位置分别为：，，，当时，求式子的值．
【分析】（1）根据非负性即可求出、、的值．
（2）根据甲、乙、丙三个动点的速度求出运行秒后，甲、乙、丙三个动点对应的位置，根据判断，，与0的大小关系，最后根据绝对值的性质即可化简．
（3）根据甲、乙、丙三个动点的速度求出运行秒后，甲、乙、丙三个动点对应的位置，根据题意列出方程，从而求出的值．
【解答】解：（1）由，
，，，
，，
（2）由题可知：甲、乙、丙经过秒后的路程分别是，，，
甲、乙、丙三个动点分别从、、三点同时出发沿数轴负方向运动
，，，
，，，
，
当时，
，，，
原式
（3）由题可知：甲、乙、丙经过秒后的路程分别是，，，
甲、乙、丙三个动点分别从、、三点同时出发沿数轴正方向运动，
，，，
，，，
，
由题意可知：，
，
解得：或，
【点评】本题考查两点之间的距离，解题的关键是根据题意求出、、的表达式，涉及不等式的性质，解方程，绝对值的性质，本题属于中等题型．
学习任务
1．下列每组中的两个代数式，属于同类项的是
A． B．与
C．与 D．
【分析】根据同类项的定义对四个选项进行逐一解答即可．
【解答】解：、中，所含字母相同，相同字母的指数不相等，
这两个单项式不是同类项，故本选项错误；
、与中，所含字母不相同，
这两个单项式不是同类项，故本选项错误；
、与中，所含字母不相同，
这两个单项式不是同类项，故本选项错误；
、中所含字母相同，相同字母的指数相等，
这两个单项式是同类项，故本选项正确．
故选：．
2．下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
，故本选项不合题意；
，正确；
，故本选项不合题意．
故选：．
3．下列等式正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．进行分析即可．
【解答】解：、，故原题错误；
、，故原题正确；
、，故原题错误；
、，故原题错误；
故选：．
4. 代数式的值为7，则代数式的值为 ．
【解答】解：代数式的值为7，
．
．
故答案为：5．
5．如果4x2m+2yn﹣1与﹣3x3m+1y3n﹣5是同类项，则m﹣n的值为 ﹣1 ．
【解答】解：单项式4x2m+2yn﹣1与﹣3x3m+1y3n﹣5是同类项，
∴2m+2＝3m+1，n﹣1＝3n﹣5，
解得：m＝1，n＝2．
∴m﹣n＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
6. 已知代数式2mx2﹣3x+4y﹣1与x2+nx+y的和与字母x的取值无关，其中m、n是常数，那么mn＝ ﹣ ．
【解答】解：2mx2﹣3x+4y﹣1+x2+nx+y＝（2m+1）x2+（n﹣3）x+5y﹣1，
∵代数式之和与字母x的取值无关，
∴2m+1＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣，n＝3，
则mn＝（﹣）3＝﹣．
故答案为：﹣．
7．有一组单项式依次为，，，，，，则第个单项式为 ．
【分析】根据题目中的单项式，可以发现它们的变化规律，从而可以写出第的个单项式．
【解答】解：有一组单项式依次为，，，，，，
第个单项式为：，
故答案为：．
8.计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可求出值；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值；
（3）原式去括号合并即可得到结果；
（4）原式去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
9. 先化简，再求值：，其中，
原式
，
当，时，
原式
．
10. 先化简，再求值：
已知，其中，满足．
【解答】解：原式
，，
原式
．
11. 若关于x、y的代数式（x2+ax﹣2y+7）﹣（bx2﹣2x+9y﹣1）的值与字母x的取值无关，则a﹣b＝ ﹣3 ．
【分析】关于x、y的代数式（x2+ax﹣2y+7）﹣（bx2﹣2x+9y﹣1）的值与字母x的取值无关，对原来式子进行化简，只要化简后的式子中含x的项的系数为零即可，从而可以取得a、b的值，从而可以求得a﹣b的值．
【解答】解：（x2+ax﹣2y+7）﹣（bx2﹣2x+9y﹣1）
＝x2+ax﹣2y+7﹣bx2+2x﹣9y+1
＝（1﹣b）x2+（a+2）x﹣11y+8
∵关于x、y的代数式（x2+ax﹣2y+7）﹣（bx2﹣2x+9y﹣1）的值与字母x的取值无关，
∴
解得
∴a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，
故答案为：﹣3．
家长签字：____________第2讲 整式的复习
目标层级图
课中讲解
一．整式的相关定义
内容讲解
（一）代数式的概念
叫代数式。如： n-2 、 0.8a、2n +500、abc、2ab+2bc +2ac，（单独一个数或字母也是代数式）
注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
※代数式的书写格式：
①表示数与字母或字母与字母相乘时，乘号可以写成“·”，但通常省略不写，如vt；；
②数字与字母相乘时，必须写乘号，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。
（二）单项式和多项式
1.单项式： 。单项式的系数是指 。单项式的次数是指 。
2.多项式： 。在多项式中， 叫做多项式的项。在多项式中， 叫做常数项。 ，就是这个多项式的次数。多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式。
（三）同类项
1．同类项： 叫做同类项。所有的常数项都是同类项。同类项要把准“两相同，两无关”：“两相同”是指：① ；②
2.合并同类项：合并同类项时，把同类项的 相加， 不变。
例1. 填空：
（1）如果a（a不为0）表示一个有理数，那么它的相反数是 ，倒数是 ；
（2）一个正方形的边长是a cm，把这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的周长
是 cm；
（3）某城市5年前人均收入为n元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达 元；
（4）一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字少2，则这个两位数为 。
例2. 一个三位数，百位数字是a，十位数字比百位数字大3，个位数字比百位数字小5，用代数式表示这个三位数。
例3. 下列各式符合书写要求的是（ ）
A． B．n 2 C．a÷b D．2πr2
例4. 用文字语言叙述代数式﹣b，不正确的是（ ）
A．比a的倒数小b的数 B．1除以a的商与b的差
C．1除以a与b的差的商 D．a的倒数与b的差
例5. 单项式﹣5x4y2的系数是 。
例6. 若单项式﹣x3yn+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为 。
例7. 已知多项式是六次多项式，单项式的次数与多项式的次数相同，、．
例8. 某九年级学生复习了整式有关概念后，他用一个圆代表所有代数式，画了下列图形来表示整式，多项式，单项式的关系，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例9．代数式：①；②πr2；③；④﹣3a2b；⑤．其中整式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例10．若与是同类项，则 ， ．
例11. 合并同类项：
（1） ；
（2） ．
（3） ．
例12. 已知关于、的多项式是八次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同，求、的值．
去添括号：
1.括号前是“ + ”号，把括号和它前面的“ + ”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变;
2.括号前是“ - ”号，把括号和它前面的“ - ”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
例13. 下列去括号错误的是
A．
B．
C．
D．
例14. 有一道题目，是一个多项式减去，小强误当成了加法计算，结果得到，正确的结果应该是多少？
过关检测
1．四个长宽分别为a，b的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是（ ）
A．mn﹣4ab B．mn﹣2ab﹣am
C．an+2bn﹣4ab D．a2﹣2ab﹣am+mn
2. 某商场举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以（）元出售，则下列说法中，能正确反映该商场的促销方法的是（ ）
A．原价打8折后再减10元 B．原价减10元后再打8折
C．原价减10元后再打2折 D．原价打2折后再减10元
3. 单项式的次数是 ，系数是 ．
4. 写出一个系数是2，且含有字母a，b的3次单项式 （答案不唯一）．
5. 多项式是关于的三次三项式，则的值是 ．
6. 若与是同类项，则 ．
7. 合并同类项：
（1） ；
（2） ．
（3） ．
8．已知多项式是关于、的六次三项式，且，求的值．
9. 下列等式正确的是
A． B．
C． D．
10．去括号： ，
．
二．整式的运算
内容讲解
化简求值
例1. 化简
（1） （2）
（3）
例2. 已知，．
（1）化简：；
（2）当时，求的值．
例3. 已知：，，若，求．
例4．①已知，先化简再求值：
②有理数，，在数轴上的位置如图所示， 化简：．
不含某项类
（1）化简所给代数式（去括号、合并同类项）；
（2）令该项系数为零；
（3）列方程求解．
①与字母取值无关
例5. 已知多项式和的差的值与字母的取值无关，求代数式的值．
②不含某项
例6. 已知多项式，，中不含有项和项，求的值．
代数式求值
例7．与互为相反数，与互为倒数，的倒数是它本身，求的值．
例8. （1）若，则代数式的值是 ．
（2）已知，．若的值等于，则代数式的值是 ．
例9. 已知x＝a时，多项式x2+4x+4b2的值为﹣4，则x＝﹣a时，该多项式的值为（ ）
A．0 B．6 C．12 D．
简单规律
例10. 按规律排列的一列数：1，，4，，中，第7与第8个数分别为
A．64， B．，128 C．，256 D．128，
例11．观察这一列单项式的规律：，，，，，，照此规律，则第8个单项式为 ．
例12. 观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式： ；
（2）用含有的代数式表示第个等式： 为正整数）；
过关检测
1. 化简：
（1）；
（2）
2. 已知，，，求
3．已知，．
（1）求；
（2）如果，那么的表达式是什么？
4.（1）先化简，再求值．的值，其中，．
（2）已知，求：的值．
5．（1）已知关于的整式、，其中，．
若当中不含的二次项和一次项时，求的值；
（2）如果代数式的值与字母所取得的值无关，试求代数式的值．
6. （1）多项式是关于，的多项式，若该多项式不含二次项，求．
（2）已知：多项式中不含项．求的值．
7. 如果代数式的值为5，那么代数式的值等于
A．2 B．5 C．7 D．13
8．如果有2018名学生排成一列，按1，2，3，4，5，4，3，2，1，2，3，4，5，4，3，2，1，的规律报数，那么第2018名学生所报的数是 ．
9. 观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：
．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式： ；
（2）写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示），并证明．
三．综合运用
内容讲解
例1. 小亮房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）
（1）请用代数式表示装饰物的面积： ，用代数式表示窗户能射进阳光的面积是 （结果保留
（2）当，时，求窗户能射进阳光的面积是多少？（取
（3）小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大？如果更大，那么大多少？
例2．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20立方米时，按2元立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按2元立方米收费，超过部分按2.6元立方米计费．
（1）如果小红家每月用水15吨，水费是 元，如果每月用水23吨，水费是 元
（2）如果字母表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费如何用代数式表示．
例3．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．
方法① ．方法② ；
例4. 如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，、满足关于、的多项式不含二次项，且．
（1）点表示的数为 ，点表示的数为 ；
（2）在数轴上动点、分别从、同时向左运动，已知动点的速度为每秒1个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度：若、两点同时到达点时，求点对应的数；
过关检测
1. 张先生将两种股票同时卖出，卖价均为元．其中，甲种股票盈利，乙种股票盈利．请问：张先生在这次交易中是盈利还是亏损？ （填“盈利”或“亏损”或“不盈利也不亏损” ，如果有盈利或亏损，是多少？ ．
2．有总长为的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的园子，园子的宽为．
（1）用关于，的代数式表示园子的面积；
（2）当，时，求园子的面积．
3. 如图，把一张长是，宽是的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小且边长为的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）若，，，求折成的长方体盒子的底面积是多少？
（2）请用含，，代数式表示折成的长方体盒子的底面周长；
（3）如果把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的边长为的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折成一个长方体，那么它的底面周长是多少？（用含，，代数式表示）
4. 已知：，且、、分别是点、、在数轴上对应的数．
（1）写出 ； ； ．
（2）若甲、乙、丙三个动点分别从、、三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是1、2、4，（单位秒），运行秒后，甲、乙、丙三个动点对应的位置分别为：，，，当时，求式子的值．
学习任务
1．下列每组中的两个代数式，属于同类项的是
A． B．与
C．与 D．
2．下列计算正确的是
A． B．
C． D．
3．下列等式正确的是
A． B．
C． D．
4. 代数式的值为7，则代数式的值为 ．
5．如果4x2m+2yn﹣1与﹣3x3m+1y3n﹣5是同类项，则m﹣n的值为 ．
6. 已知代数式2mx2﹣3x+4y﹣1与x2+nx+y的和与字母x的取值无关，其中m、n是常数，那么mn＝ ．
7．有一组单项式依次为，，，，，，则第个单项式为 ．
8. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
9. 先化简，再求值：，其中，
10. 先化简，再求值：
已知，其中，满足．
11. 若关于x、y的代数式（x2+ax﹣2y+7）﹣（bx2﹣2x+9y﹣1）的值与字母x的取值无关，则a﹣b＝ ．
