第4节 线段的基本概念
目标层级图
课中讲解
授课内容1：直线、线段、射线的概念
① 在直线的基础上定义射线、线段：
直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．
直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点．
② 在线段的基础上定义直线、射线：
把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线，
把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线．
点与直线的关系：点在直线上；点在直线外．
两点之间的距离：两点确定的线段的长度．
⑴ 点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：，，，，……
⑵ 直线的表示方法：
用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如直线，如下图⑴；也可以写作直线．
② 用一个小写字母来表示，如直线，如上图⑵．
注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字；用两个大写字母表示时字母不分先后顺序．
⑶ 射线的表示方法：
① 用两个大写字母来表示．第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点．如射线，如图⑶，但不能写作射线．
② 用一个小写字母来表示，如射线，如图⑷．
注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．用两个大写字母表示射线时字母有先后顺序，射线的端点在前．
⑷ 线段的表示方法：
① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段，如图⑸，也可以写作线段．
② 也可以用一个小写字母来表示：如线段，如图⑹．
注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序．
直线、射线、线段的主要区别：
类型 端点 延长线及反向延长线 用两个大写字母表示
直线 个 无 无顺序
射线 个 有反向延长线 第一个表示端点
线段 个 两者都有 无顺序
例1下列说法正确的个数为
（1）过两点有且只有一条直线
（2）连接两点的线段叫做两点间的距离
（3）两点之间的所有连线中，线段最短
（4）射线比直线短一半
（5）直线和直线表示同一条直线．
A．2 B．3 C．4 D．5
例2下列语句准确规范的是( )
A. 直线相交于一点
B. 延长直线
C. 反向延长射线 (是端点)
D. 延长线段到，使
例3 如图所示，根据线段、射线、直线各自的性质，在同一平面内，能够相交的是
A． B．
C． D．
过关检测（10mins）
1．下列说法正确的是
A．射线和射线是同一条射线
B．射线的长度是
C．直线、相交于点
D．两点确定一条直线
2．下列说法正确的是
A．延长线段和延长线段的含义相同
B．射线和射线是同一条射线
C．经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线
D．延长直线
3．下列说法正确的有
①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③过两点只能画一条线段．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
下列四个图形中各有一条射线和一条线段，它们能相交的是（C ）
授课内容2：尺规作图
例1 如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）
（1）作射线；
（2）作直线与直线相交于点；
（3）在射线上作线段，使线段与线段相等．
【解答】解：（1）作射线，如图所示；
（2）作直线与直线相交于点，如图所示；
（3）作法：以为圆心，线段的长为半径，在射线上画弧，交射线于，线段就是所求．
例2下列说法正确的有 ( C )
①射线与其反向延长线成一条直线；
②直线a、b相交于点m；
③两直线相交于两个交点；
④直线A与直线B相交于点M
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
例3.已知线段CD，按要求画出图形并计算：延长线段CD到B，使DB=CB，延长DC到点A，使AC=2DB．若AB=8cm，求出CD与AD的长．
过关检测（10mins）
1．如图所示根据要求作图：⑴连结AB；⑵作射线AC；⑶作直线BC．
射线OA，OB表示同一条射线，下面的图形正确的是( D )．
3.下列说法中，正确的个数有( C )
①已知线段a，b且a-b＝c，则c的值不是正的就是负的；
②已知平面内的任意三点A，B，C则AB+BC≥AC；
③延长AB到C，使BC＝AB，则AC＝2AB；
④直线上的顺次三点D、E、F，则DE+EF＝DF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.平面上有三点A,B,C,如果AB=8,AC=5,BC=3,那么（ D ）
A．点C在线段AB上 B. 点C在线段AB的延长线上
C. 点C在直线AB外 D. 点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外
5.已知：A、B、C、D四点共线，若，，，
画出图形，求AD长.
三．授课内容3：线段和直线公理的应用
内容讲解
两个重要公理：
① 经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”．
② 两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”．
把一根木条固定在墙面上，至少需要两枚钉子，这样做的数学依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．两点之间直线最短
【解答】解：把一根木条固定在墙面上，至少需要两枚钉子，是因为两点确定一条直线．
故选：B．
如图，每年“两会”期间，工作人员都要进行会场布置，他们拉着线将桌子上的茶杯摆放整齐，工作人员这样做依据的数学道理是 两点确定一条直线 ．
【解答】解：每年“两会”期间，工作人员都要进行会场布置，他们拉着线将桌子上的茶杯摆放整齐，工作人员这样做依据的数学道理是：两点确定一条直线，
故答案为：两点确定一条直线．
如图所示，工厂A与工厂B想在公路m旁修建一座共用的仓库O，并且要求O到A与O到B的距离之和最短，请你在m上确定仓库应修建的O点位置，同时说明你选择该点的理由．
【解答】解：如图，连接AB交直线m于点O，
则O点即为所求的点．
理由如下：根据连接两点的所有线中，线段最短，
∴OA+OB最短．
已知平面上点A，B，C，D（每三点都不在一条直线上）．
（1）经过这四点最多能确定 6 条直线．
（2）如图这四点表示公园四个地方，如果点B，C在公园里湖对岸两处，A，D在湖面上，要从B到C筑桥，从节省材料的角度考虑，应选择图中两条路中的哪一条？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择哪一条？为什么？
【分析】（1）两点确定一条直线，即可得出经过这四点最多能确定6条直线；
（2）依据两点之间线段最短，即可得到结论．
【解答】解：（1）经过这四点最多能确定6条直线：直线AB，直线AD，直线BC，直线CD，直线AC，直线BD，
故答案为：6；
（2）从节省材料的角度考虑，应选择图中路线2；如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择路线1，
因为两点之间，线段最短，路线2比路线1短，可以节省材料；而路线1较长，可以在桥上较长时间观赏湖面风光．
【点评】本题主要考查了线段的性质，解题时注意：两点之间，线段最短．
过关检测（5mins）
如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
故选：B．
在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案．
【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释．
故选：C．
如图，A，B，C是同一平面内的三点，且A与B距离为5，B与C距离为6，A与C距离为8，直线l经过点A，且可以绕点A转动，点P是直线l上的任意一点．
（1）若直线l与线段BC有交点，在图1中画出使BP+PC取最小值的点P，并写出BP+PC的最小值；
（2）如图2．
若图中表示的是直线l的一个确定的位置，画图表示线段BP长度最小的位置，并说明理由；
【解答】解：（1）如图1，BP+PC的最小值是BC＝6；
（2）如图2，理由：垂线段最短；
如图，设A、B、C、D为4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小？说明理由．
【解答】解：应建在AC、BD连线的交点处．
如图c，有一正方体的盒子ABCD﹣A1B1 lDl，在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛，而在对角的顶点C1处有一只苍蝇．蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇？（假设苍蝇在 l处不动）
【解答】解：把盒面展开，使包含点A和点C1的两个盒面在同一平面内，如图是其中的一种，据两点之间线段最短，只要连接AC1，即可，设AC1与BB1交于点B'，则AB'+B'C就是最短路径．
【点评】此题考查了同学们的空间想象能力，将立体图形展开，转化为平面图形是解题的关键．
授课内容4：线段中点及其推论
内容讲解
两点之间的距离：两点确定的线段的长度．
线段中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．
关于线段的等分点:
①线段的中点是指在线段上把线段分成两条相等线段的点,线段中点只有一个,而线段的三等分点有两个,四等分点有三个.
②线段中点表示方法有三种：
若点C是AB中点,则①；②；③。
中点问题
模型一
P为线段AB上任意一点，其中E为AP中点，F为PB中点,则
模型二
E为AM中点，F为BN中点，则
已知点A，B，C为平面内三点，给出下列条件：①AC＝BC；②AB＝2BC；③AC＝BC＝AB．选择其中一个条件就能得到“点C是线段AB中点”的是（ ）
A．① B．③ C．①或③ D．①或②或③
【分析】利用线段中点的意义：在线段上平分线段的点判定即可．
【解答】解：①点C在线段AB上，且AC＝BC，则C是线段AB中点故①不符合题意；
②AB＝2BC，C不一定是线段AB中点故②不符合题意；
③AC＝BC＝AB，则C是线段AB中点，故③符合题意．
故选：B．
画直线l，并在直线l上任取三个点A、B、C，使AB＝10，BC＝4，分别画线段AB、BC的中点E、F，求线段EF的长．
【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．
【解答】解：因为点E、F分别是线段AB、BC的中点，
所以，；
第一种：点C在点B的右侧，
因为 EF＝BE+BF，
所以＝＝；
第二种：点C在点B的左侧，
因为 EF＝BE﹣BF，
所以＝＝．
综上：EF＝7或3．
【点评】本题考查了求两点之间的距离和线段的中点，能根据线段的中点定义得出AE＝EB＝AB和CF＝FB＝CB是解此题的关键．
已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，
（1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣16|+（b﹣4）2＝0，求a+b的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE的长；
（3）如图2，若AB＝17，AD＝2BE，求线段CE的长．
【分析】（1）由|a﹣16|+（b﹣4）2＝0，根据非负数的性质即可推出a、b的值；
（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC＝8，然后由AE＝AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度；
【解答】解：（1）∵|a﹣16|+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣16＝0，b﹣4＝0，
∴a＝16，b＝4，
（2）∵点C为线段AB的中点，AB＝16，CE＝4，
∴AC＝AB＝8，
∴AE＝AC+CE＝12，
∵点D为线段AE的中点，
∴DE＝AE＝6，
过关检测（10mins）
如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，下列结论：①CD＝AC﹣DB，②CD＝AB，③CD＝AD﹣BC，④BD＝2AD﹣AB，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据线段中点定义即可判断A、B、C正确．
【解答】解：∵点C是AB的中点，点D是BC的中点，
∴AC＝BC＝AB，CD＝BD＝BC＝AC，
∴①CD＝BC﹣DB＝AC﹣DB，正确；
②CD＝BC＝AB，正确；
③CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，正确；
④BD＝AB﹣AD≠2AD﹣AB，错误．
所以正确的有①②③3个．
故选：C．
已知点A，B，C在同一直线上，若AB＝20cm，AC＝30cm，点M、N分别是线段AB、AC中点，求线段MN的长是（ ）
A．5cm B．5cm或15cm C．25cm D．5cm或25cm
【分析】题中没有指明点C的具体位置故应该分两种情况进行分析，从而求得线段NM的长．
【解答】解：（1）当点C位于点B的右边时，MN＝（AC﹣AB）＝5cm，
（2）当点C位于点A的左边时，MN＝（AC+AB）＝25cm
故线段MN的长为5cm或25cm．
故选：D．
【点评】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键，根据线段中点的性质，线段的和差，可得出答案．
如图，已知点B在线段AC上，AB＝8cm，BC＝10cm，点P，Q分别为AB，AC的中点．
（1）线段AC的长为 18 cm，线段PC的长为 14 cm；
（2）求线段PQ的长．
【分析】（1）分别求出AC与AP，则PC＝AC﹣AP＝18﹣4＝14（cm）；
（2）由已知可得PA＝AB＝AB＝4（cm）；AQ＝AC＝AC＝9cm，则PQ＝AQ﹣PA＝9﹣4＝5（cm）．
【解答】解：（1）由图可知，AC＝AB+BC，
∵AB＝8cm，BC＝10cm，
∴AC＝18cm，
∵P是AB的中点，
∴AP＝4cm，
∴PC＝AC﹣AP＝18﹣4＝14（cm）；
故答案为18，14；
（2）∵点P分别为AB的中点，
∴PA＝AB＝AB＝4（cm），
∵点Q分别为AC的中点，
∴AQ＝AC＝AC＝9（cm），
∴PQ＝AQ﹣PA＝9﹣4＝5（cm），
∴线段PQ的长为5 cm．
【点评】本题考查两点间距离；熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活运用线段中点的定义解题是关键．
如图，线段AB＝8cm，C是线段AB上一点，AC＝3.2cm，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）求线段CM的长；
（2）求线段MN的长．
【分析】（1）根据M是AB的中点，求出AM，再利用CM＝AM﹣AC求得线段CM的长；
（1）根据N是AC的中点求出NC的长度，再利用MN＝CM+NC即可求出MN的长度．
【解答】解：（1）由AB＝8，M是AB的中点，所以AM＝4，
又AC＝3.2，所以CM＝AM﹣AC＝4﹣3.2＝0.8（cm）．
所以线段CM的长为0.8cm；
（2）因为N是AC的中点，所以NC＝1.6，
所以MN＝NC+CM，1.6+0.8＝2.4（cm），
所以线段MN的长为2.4cm．
【点评】本题主要考查线段中点的运用，线段的中点把线段分成两条相等的线段．
5．（1）如图，已知点C在线段AB上，AC＝8cm，BC＝6cm，M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
（2）在（1）题中，如果AC＝acm，BC＝bcm，其他条件不变，求此时线段MN的长度．
【分析】（1）根据点M、N分别是AC、BC的中点，先求出CM、CN的长度，则MN＝CM+CN；
（2）根据点M、N分别是AC、BC的中点，CM＝AC，CN＝BC，所以MN＝（AC+BC）＝cm．
【解答】解：（1）∵AC＝8cm，点M是AC的中点，
∴CM＝AC＝4cm，
∵BC＝6cm，点N是BC的中点，
∴CN＝BC＝3cm，
∴MN＝CM+CN＝7cm，
∴线段MN的长度为7cm；
（2）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM＝AC，CN＝BC，
∵AC＝acm，BC＝bcm，
∴MN＝（AC+BC）＝cm．
【点评】考查了两点间的距离，利用线段中点的性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
学习任务
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
得分
1. 下列说法正确的是 C
A．延长射线到
B．过三点能作且只能做一条直线
C．两点确定一条直线
D．若，则是线段的中点
2．直线，线段，射线的位置如图所示，下图中不可能相交的是 A
A． B．
C． D．
3.下列现象：
（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上．
（2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．
（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．
（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）
【解答】解：（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线；
（2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，根据是两点之间线段最短；
（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，根据是两点确定一条直线；
（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是两点之间线段最短．
故选：B．
4.下列说法正确的个数是（ ）
①射线MN与射线NM是同一条射线；
②两点确定一条直线；
③两点之间直线最短；
④若2AB＝AC，则点B是AC的中点
1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①射线MN的端点是M，射线NM的端点是N，故不是同一条射线，故选项错误；
②两点确定一条直线；正确；
③两点之间线段最短，而不是两点之间直线最短，故选项错误；
④若2AB＝AC，则点B是AC的中点，错误，因为点A，B，C不一定在同一条直线上，故选项错误；．
故选：A．
5. 已知线段AB＝10cm，直线AB上有一点C，BC＝4cm，则线段AC＝ cm．
【分析】分点C在线段AB上和点C在线段AB的延长线上两种情况，结合图形计算即可．
【解答】解：当点C在线段AB上时，AC＝AB﹣BC＝6cm，
当点C在线段AB的延长线上时，AC＝AB+BC＝14cm，
故答案为：6或14．
7. 如图，AC：CD：DB＝2：3：4，E、F、G分别是AC、CD、DB的中点，且EG＝12cm，则AF的长＝ cm．
【解答】解：∵AC：CD：DB＝2：3：4，
∴设AC＝2xcm，则CD＝3xcm，DB＝4xcm．
∴EC＝xcm，DG＝2xcm．
∴EG＝x+3x+2x＝6x＝12cm．
∴x＝2．
∴AF＝AC+CF＝2x+CD＝2x+x＝7cm．
故答案为：7．
8. 已知平面上四点A、B、C、D，如图：
（1）画直线AD；
（2）画射线BC，与AD相交于O；
（3）连结AC、BD相交于点F．
9. 如图，C为线段AB上的一点，AC：CB＝3：2，D、E两点分别为AC、AB的中点，若线段DE为2cm，则AB的长为多少？
【分析】设AB＝x，则AC＝x，BC＝x，再由线段DE＝2cm，根据题目中几何图形，运用方程思想求解．
【解答】解：设AB＝x，由已知得：
AC＝x，BC＝，
∵D、E两点分别为AC、AB的中点，
∴DC＝x，BE＝x，
DE＝DC﹣EC＝DC﹣（BE﹣BC），
即：x﹣（x﹣x）＝2，
解得：x＝10，
则AB的长为10cm．
10.如图，已知直线l有两条可以左右移动的线段：AB=m，CD=n，且m，n满足|m﹣4|+（n﹣8）2=0．
（1）求线段AB，CD的长；
（2）线段AB的中点为M，线段CD中点为N，线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN=4，求线段BC的长；
11、如图，点C在线段AB上，线段AB＝15cm，点M，N分别是AC，BC的中点，CN＝3cm，求线段MC的长度．
【解答】解：∵CN＝3cm，点N是BC的中点；
∴BC＝2CN＝2×3＝6（cm），
∵AB＝15cm，
∴AC＝AB﹣BC＝15﹣6＝9（cm），
又∵点M是AC的中点，
∴（cm）．
12、如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长；
（2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长．
【解答】解：（1）因为AB＝8cm，M是AB的中点，
所以AM＝＝4cm，
又因为AC＝3.2cm，N是AC的中点，
所以AN＝＝1.6cm，
所以MN＝AM﹣AN＝4﹣1.6＝2.4cm；
（2）因为M是AB的中点，
所以AM＝，
因为N是AC的中点，
所以AN＝，
∴MN＝AM﹣AN＝＝＝＝．第4节 线段的基本概念
目标层级图
课中讲解
一．直线、线段、射线的概念
① 在直线的基础上定义射线、线段：
直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．
直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点．
② 在线段的基础上定义直线、射线：
把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线，
把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线．
点与直线的关系：点在直线上；点在直线外．
两点之间的距离：两点确定的线段的长度．
⑴ 点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：，，，，……
⑵ 直线的表示方法：
①用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如直线，如下图⑴；也可以写作直线．
② 用一个小写字母来表示，如直线，如上图⑵．
注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字；用两个大写字母表示时字母不分先后顺序．
⑶ 射线的表示方法：
① 用两个大写字母来表示．第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点．如射线，如图⑶，但不能写作射线．
② 用一个小写字母来表示，如射线，如图⑷．
注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．用两个大写字母表示射线时字母有先后顺序，射线的端点在前．
⑷ 线段的表示方法：
① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段，如图⑸，也可以写作线段．
② 也可以用一个小写字母来表示：如线段，如图⑹．
注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序．
直线、射线、线段的主要区别：
类型 端点个数 延长线及反向延长线 用两个大写字母表示
直线 无 无顺序
射线 有反向延长线 第一个表示端点
线段 两者都有 无顺序
例1．下列说法正确的个数为
（1）过两点有且只有一条直线
（2）连接两点的线段叫做两点间的距离
（3）两点之间的所有连线中，线段最短
（4）射线比直线短一半
（5）直线和直线表示同一条直线．
A．2 B．3 C．4 D．5
例2．下列语句准确规范的是( )
A. 直线相交于一点 B. 延长直线
C. 反向延长射线 (是端点) D. 延长线段到，使
例3．如图所示，根据线段、射线、直线各自的性质，在同一平面内，能够相交的是
A． B．
C． D．
过关检测
1．下列说法正确的是
A．射线和射线是同一条射线
B．射线的长度是
C．直线、相交于点
D．两点确定一条直线
2．下列说法正确的是
A．延长线段和延长线段的含义相同
B．射线和射线是同一条射线
C．经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线
D．延长直线
3．下列说法正确的有
①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③过两点只能画一条线段．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
下列四个图形中各有一条射线和一条线段，它们能相交的是（ ）
二．尺规作图
例1． 如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）
（1）作射线；
（2）作直线与直线相交于点；
（3）在射线上作线段，使线段与线段相等．
例2．下列说法正确的有 ( )
①射线与其反向延长线成一条直线；
②直线a、b相交于点m；
③两直线相交于两个交点；
④直线A与直线B相交于点M
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
例3.已知线段，按要求画出图形并计算：延长线段到，使，延长到点，使．若，求出与的长．
过关检测
1．如图所示根据要求作图：⑴连结AB；⑵作射线AC；⑶作直线BC．
2.射线与射线表示同一条射线，下面的图形正确的是( )．
3.下列说法中，正确的个数有( )
①已知线段a，b且a-b＝c，则c的值不是正的就是负的；
②已知平面内的任意三点A，B，C则AB+BC≥AC；
③延长AB到C，使BC＝AB，则AC＝2AB；
④直线上的顺次三点D、E、F，则DE+EF＝DF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.平面上有三点A,B,C,如果AB=8,AC=5,BC=3,那么（ ）
A．点C在线段AB上 B. 点C在线段AB的延长线上
C. 点C在直线AB外 D. 点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外
5.已知：A、B、C、D四点共线，若，，，
画出图形，求AD长.
三．线段和直线公理的应用
内容讲解
两个重要公理：
经过两点有且只有一条直线，也称为“ ”．
两点之间的连线中，线段最短，简称“ ”．
例1.把一根木条固定在墙面上，至少需要两枚钉子，这样做的数学依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．两点之间直线最短
例2.如图，每年“两会”期间，工作人员都要进行会场布置，他们拉着线将桌子上的茶杯摆放整齐，工作人员这样做依据的数学道理是 ．
例3.如图所示，工厂与工厂B想在公路m旁修建一座共用的仓库O，并且要求O到A与O到B的距离之和最短，请你在m上确定仓库应修建的O点位置，同时说明你选择该点的理由．
例4.已知平面上点A，B，C，D（每三点都不在一条直线上）．
（1）经过这四点最多能确定 条直线．
（2）如图这四点表示公园四个地方，如果点B，C在公园里湖对岸两处，A，D在湖面上，要从B到C筑桥，从节省材料的角度考虑，应选择图中两条路中的哪一条？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择哪一条？为什么？
过关检测
1.如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2.在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
3.如图，A，B，C是同一平面内的三点，且A与B距离为5，B与C距离为6，A与C距离为8，直线l经过点A，且可以绕点A转动，点P是直线l上的任意一点．
（1）若直线l与线段BC有交点，在图1中画出使BP+PC取最小值的点P，并写出BP+PC的最小值；
（2）如图2．若图中表示的是直线l的一个确定的位置，画图表示线段BP长度最小的位置，并说明理由；
4.如图，设A、B、C、D为4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小？说明理由．
5.如图c，有一正方体的盒子ABCD﹣A1B1 lDl，在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛，而在对角的顶点C1处有一只苍蝇．蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇？（假设苍蝇在 l处不动）
四．线段中点及其推论
内容讲解
两点之间的距离：两点确定的线段的长度．
线段中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．
关于线段的等分点:
①线段的中点是指在线段上把线段分成两条相等线段的点,线段中点只有一个,而线段的三等分点有两个,四等分点有三个.
②线段中点表示方法有三种：
若点C是AB中点,则①；②；③。
中点问题
模型一
为线段上任意一点，其中为中点，为中点,则
模型二
为中点，为中点，则
例1.已知点A，B，C为平面内三点，给出下列条件：①AC＝BC；②AB＝2BC；③AC＝BC＝AB．选择其中一个条件就能得到“点C是线段AB中点”的是（ ）
A．① B．③ C．①或③ D．①或②或③
例2．画直线l，并在直线l上任取三个点A、B、C，使AB＝10，BC＝4，分别画线段AB、BC的中点E、F，求线段EF的长．
例3.已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，
（1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣16|+（b﹣4）2＝0，求a+b的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE的长；
过关检测
1.如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，下列结论：①CD＝AC﹣DB，②CD＝AB，③CD＝AD﹣BC，④BD＝2AD﹣AB，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.已知点A，B，C在同一直线上，若AB＝20cm，AC＝30cm，点M、N分别是线段AB、AC中点，求线段MN的长是（ ）
A．5cm B．5cm或15cm C．25cm D．5cm或25cm
3.如图，已知点B在线段AC上，AB＝8cm，BC＝10cm，点P，Q分别为AB，AC的中点．
（1）线段AC的长为 cm，线段PC的长为 cm；
（2）求线段PQ的长．
4.如图，线段AB＝8cm，C是线段AB上一点，AC＝3.2cm，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）求线段CM的长；
（2）求线段MN的长．
5.（1）如图，已知点C在线段AB上，AC＝8cm，BC＝6cm，M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
在（1）题中，如果AC＝acm，BC＝bcm，其他条件不变，求此时线段MN的长度．
学习任务
1. 下列说法正确的是
A．延长射线到
B．过三点能作且只能做一条直线
C．两点确定一条直线
D．若，则是线段的中点
2．直线，线段，射线的位置如图所示，下图中不可能相交的是
A． B．
C． D．
3.下列现象：
（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上．
（2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．
（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．
（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）
4.下列说法正确的个数是（ ）
①射线MN与射线NM是同一条射线；
②两点确定一条直线；
③两点之间直线最短；
④若2AB＝AC，则点B是AC的中点
1个 B．2个 C．3个 D．4个
5. 已知线段AB＝10cm，直线AB上有一点C，BC＝4cm，则线段AC＝ cm．
6. 如图，AC：CD：DB＝2：3：4，E、F、G分别是AC、CD、DB的中点，且EG＝12cm，则AF的长＝ cm．
7. 已知平面上四点A、B、C、D，如图：
（1）画直线AD；
（2）画射线BC，与AD相交于O；
（3）连结AC、BD相交于点F．
8. 如图，C为线段AB上的一点，AC：CB＝3：2，D、E两点分别为AC、AB的中点，若线段DE为2cm，则AB的长为多少？
9．如图，点C在线段AB上，线段AB＝15cm，点M，N分别是AC，BC的中点，CN＝3cm，求线段MC的长度．
10．如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长；
（2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长．
