第4节 线段的计算（一）
目标层级图
课中讲解
一．线段中点及其推论
两点之间的距离：两点确定的线段的长度．
线段中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．
关于线段的等分点:
①线段的中点是指在线段上把线段分成两条相等线段的点,线段中点只有一个,而线段的三等分点有两个,四等分点有三个.
②线段中点表示方法有三种：
若点C是AB中点,则①；②；③。
中点问题
模型一
P为线段AB上任意一点，其中E为AP中点，F为PB中点,则
模型二
E为AM中点，F为BN中点，则
例1. 点在线段上，下列条件中不能确定点是线段中点的是
A． B． C． D．
【解答】解：、，则点是线段中点；
、，则可以是线段上任意一点；
、，则点是线段中点；
、，则点是线段中点．
故选：．
例2．如图，是线段上任意一点，，分别是，的中点，如果，那么的长为 ．
【解答】解：点是中点
点是中点
．所以本题应填6．
例3．如图所示，、是线段上任意两点，是的中点，是的中点，若，，则的长为 11 ．
【解答】解：，
，，
，
是的中点，是的中点，
，，
．
所以的长为．
故答案为：11．
过关检测
1．如图，已知点在线段上，且，，点、分别是、的中点，求线段的长度；
【解答】解：（1），点是的中点
，点是的中点
线段的长度为．
2．如图，，，，是直线上顺次四点，，分别是，的中点，且，，则的长等于
A． B． C． D．
【解答】解：
，
．
故选：．
3．如图，点在线段上，是中点，是中点，若，则线段的长为 12 ．
【解答】解：是中点，是中点，
．
线段的长为12．
4．如图所示，、是线段上任意两点，是的中点，是的中点，若，，则的长为 10 ．
【解答】解：，，，
，
．
答：的长为10．
故答案为：10．
5．如图，点在线段上，点、分别是线段、的中点，若，，求线段和线段的长 ．
【解答】解：，，
，
是的中点，
，
点是线段的中点，
，
．
二．线段计算
（一）比例类—见比设元
例1．如图，AB＝12，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB＝1：3，则DB的长度为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．6
【解答】解：∵AB＝12，C为AB的中点，
∴AC＝BC＝6，
∵AD：CB＝1：3，
∴AD＝2，
∴DC＝6﹣2＝4，
∴BD＝DC+BC＝4+6＝10．
故选：C．
例2．如图所示，已知线段AB＝36，点C、D分别是线段AB上的两点，且满足AC：CD：DB＝3：4：5，点K是线段CD的中点，求线段KB的长度．
解：设AC＝3x，则
CD＝4x，DB＝ ，
∵AB＝AC+CD+DB
∴AB＝ （用含x的代数式表示）＝36
∴x＝
∵点K是线段CD的中点
∴KD＝ ＝
∴KB＝KD+DB＝ ．
【解答】解：设AC＝3x，则
CD＝4x，DB＝5x，
∵AB＝AC+CD+DB
∴AB＝12x（用含x的代数式表示）＝36
∴x＝3
∵点K是线段CD的中点
∴KD＝CD＝6
∴KB＝KD+DB＝21．
故答案为；5x，12x，3，CD，6，21．
例3．如图，AB：BC：CD＝2：3：4，如果AB中点M和CD中点N的距离是24cm，求AB，ND，MN的长度．
【解答】解：设AB、BC、CD的长分别为2xcm、3xcm、4xcm，
∵点M是AB中点，点N是CD中点，
∴BM＝x，NC＝2x，
则x+3x+2x＝24，
解得，x＝4，
∴AB＝2x＝8cm，ND＝8cm，MN＝24cm
例4．如图．B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD＝3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF＝24，求线段AB、BC、CD的长．
【分析】根据已知条件“AB：BC：CD＝3：2：5”设AB＝3x，BC＝2x，CD＝5x，则BE＝，CF＝，．从而求得线段AB、BC、CD的长．
【解答】解：设AB＝3x，BC＝2x，CD＝5x，则BE＝，CF＝，
则，
∴AB＝12，
∴BC＝8，CD＝20．
过关检测
1．如图，线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．
【分析】因为点M是AC的中点，则有MC＝AM＝AC，又因为CN：NB＝1：2，则有CN＝BC，故MN＝MC+NC可求．
【解答】解：∵M是AC的中点，
∴MC＝AM＝AC＝×6＝3cm，
又∵CN：NB＝1：2
∴CN＝BC＝×15＝5cm，
∴MN＝MC+NC＝3cm+5cm＝8cm．
2．如图，已知线段AB＝60，点C、D分别是线段AB上的两点，且满足AC：CD：DB＝3：4：5，点K是线段CD的中点，求线段KB的长．
解：设AC＝3x，则CD＝4x，DB＝ ，
∵AB＝AC+CD+DB＝60
∴AB＝ （用含x的代数式表示）＝60．
∴x＝ ．
∵点K是线段CD的中点．
∴KD＝ ＝ ．
∴KB＝KD+DB＝ ．
【解答】解：设AC＝3x，则CD＝4x，DB＝5x，
∵AB＝AC+CD+DB＝60
∴AB＝3x+4x+5x（用含x的代数式表示）＝60．
∴x＝5．
∵点K是线段CD的中点．
∴KD＝CD＝10．
∴KB＝KD+DB＝35．
故答案为：5x；3x+4x+5x；5；CD，10；35．
3．已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM＝6cm，求CM和AD的长．
【解答】解：设AB＝2xcm，BC＝5xcm，CD＝3xcm
所以AD＝AB+BC+CD＝10xcm
因为M是AD的中点
所以AM＝MD＝AD＝5xcm
所以BM＝AM﹣AB＝5x﹣2x＝3xcm
因为BM＝6 cm，
所以3x＝6，x＝2，
故CM＝MD﹣CD＝5x﹣3x＝2x＝2×2＝4cm，
AD＝10x＝10×2＝20 cm．
4．已知A、B、C、D是直线a上的顺次四点，而且AB：BC：CD＝4：5：6，M和N分别是AB、CD的中点，且MN＝20cm，则线段AD的长为 cm．
【解答】解：如图所示：
∵AB：BC：CD＝4：5：6，
∴设AB＝4x，则BC＝5x，CD＝6x，
∵M和N分别是AB、CD的中点，
∴BM＝2x，CD＝3x，
∴MN＝BM+BC+CN＝2x+5x+3x＝20cm，解得x＝2cm，
∴AD＝AB+BC+CD＝4x+5x+6x＝15x＝15×2＝30cm．
故答案为：30．
（二）和差倍分类
例1．已知A、B、C三点在同一条直线上，且AB＝8，BC＝3，则AC＝ ．
【解答】解：当A在线段BC上时：AC＝BC﹣AB＝8﹣3＝5；
当A在CB的延长线上时，AC＝AB+BC＝8+3＝11．
故答案为5或11．
例2．已知：如图，点C是线段AB上一点，且3AC＝2AB．D是AB的中点，E是CB的中点，DE＝6，求：
（1）AB的长；
（2）求AD：CB．
【解答】解：（1）设AB＝x，
∵3AC＝2AB，∴AC＝AB＝x，BC＝AB﹣AC＝x﹣x＝x，
∵E是CB的中点，∴BE＝BC＝x，
∵D是AB的中点，∴DB＝AB＝，
故DE＝DB﹣BE＝﹣＝6，
解可得：x＝18．
故AB的长为18；
（2）由（1）得：AD＝AB＝9，CB＝AB＝6，故AD：CB＝．
例3．如图，已知线段AB和CD的公共部分BD＝AB＝CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．
【解答】解：设BD＝xcm，则AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm．
∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE＝AB＝1.5xcm，CF＝CD＝2xcm．
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝6x﹣1.5x﹣2x＝2.5xcm．∵EF＝10cm，∴2.5x＝10，解得：x＝4．
∴AB＝12cm，CD＝16cm．
例4．如图所示，一条直线上顺次有A、B、C、D四点，C为AD中点，BC﹣AB＝AD，求BC是AB的多少倍？
【解答】解：∵C为AD的中点，
∴AC＝AD，即AB+BC＝AD，
∴2AB+2BC＝AD，
又∵BC﹣AB＝AD，
∴4BC﹣4AB＝AD．
∴2AB+2BC＝4BC﹣4AB，即BC＝3AB．
过关检测
1．如果A、B、C在同一直线上，线段AB＝6厘米，BC＝2厘米，则A、C两点间的距离是 ．
【解答】解：当C在线段AB上时，AC＝6﹣2＝4（cm），
当C在AB延长线上时，AC＝6+2＝8（cm）．
故答案为：4cm或8cm．
2．已知线段AB＝6cm，AB所在直线上有一点C，若AC＝2BC，则线段AC的长为 4或12 cm．
】解：
如图，有两种情况：当C在AB的延长线上时，如图①，
∵AB＝6cm，AC＝2BC，
∴AB＝BC＝6cm，
∴AC＝12cm；
当C在线段AB上时，如图②
∵AB＝6cm，AC＝2BC，
∴AC＝4cm；
故答案为：4或12．
3．在线段AB上取一点C，使AC＝AB，再在线段AB的延长线上取一点D，使DB＝AD，则线段BC的长度是线段DC长度的（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
∵AC＝AB，DB＝AD，
∴AB＝3AC，AB＝3BD，BC＝2AC，
∴AC＝BD，
∴DC＝3BD＝3AC，
∴BC÷DC＝2AC÷3AC＝，
故选：B．
4．如图，AD＝DB，E是BC的中点，BE＝AC＝3cm，求线段DE的长．
【解答】解：E是BC的中点，BE＝AC＝3cm，
BC＝2BE＝6（cm），
AC＝3×5＝15（cm），
AB＝AC﹣BC
＝15﹣6
＝9（cm），
AD＝DB，
AD+DB＝AB，
DB+DB＝9
DB＝6，
DE＝DB+BE
＝6+3
＝9（cm）
学习任务
1．如图，线段，是上一点，是的中点，是的中点，则 8 ．
【解答】解：是的中点，是的中点，
．
2．如图，AC：CD：DB＝2：3：4，E、F、G分别是AC、CD、DB的中点，且EG＝12cm，则AF的长＝ cm．
【解答】解：∵AC：CD：DB＝2：3：4，
∴设AC＝2xcm，则CD＝3xcm，DB＝4xcm．
∴EC＝xcm，DG＝2xcm．
∴EG＝x+3x+2x＝6x＝12cm．
∴x＝2．
∴AF＝AC+CF＝2x+CD＝2x+x＝7cm．
故答案为：7．
3．如图，线段，是线段上一点，，是的中点，是的中点，则线段的长是 3 ．
【解答】解：线段，是的中点，
，
，是的中点，
，
．
故答案为：3．
4．如图，已知点是线段的中点，点是线段的中点，若，则 2.5 ．
【解答】解：是线段的中点，，
，
又是线段的中点，
．
5．如图，C为线段AB上的一点，AC：CB＝3：2，D、E两点分别为AC、AB的中点，若线段DE为2cm，则AB的长为多少？
【解答】解：设AB＝x，由已知得：
AC＝x，BC＝，
∵D、E两点分别为AC、AB的中点，
∴DC＝x，BE＝x，
DE＝DC﹣EC＝DC﹣（BE﹣BC），
即：x﹣（x﹣x）＝2，
解得：x＝10，
则AB的长为10cm．
6．如图，点C在线段AB上，线段AB＝15cm，点M，N分别是AC，BC的中点，CN＝3cm，求线段MC的长度．
【解答】解：∵CN＝3cm，点N是BC的中点；
∴BC＝2CN＝2×3＝6（cm），
∵AB＝15cm，
∴AC＝AB﹣BC＝15﹣6＝9（cm），
又∵点M是AC的中点，
∴（cm）．
7．如图已知点为上一点，，，、分别为、的中点，求的长．
【解答】解：根据题意，，，
所以，
所以，
又、分别为、的中点，
所以．
即．
故答案为．
8．如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长；
（2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长．
【解答】解：（1）因为AB＝8cm，M是AB的中点，
所以AM＝＝4cm，
又因为AC＝3.2cm，N是AC的中点，
所以AN＝＝1.6cm，
所以MN＝AM﹣AN＝4﹣1.6＝2.4cm；
（2）因为M是AB的中点，
所以AM＝，
因为N是AC的中点，
所以AN＝，
∴MN＝AM﹣AN＝＝＝＝．第4节 线段的计算（一）
目标层级图
课中讲解
一．线段中点及其推论
两点之间的距离：两点确定的线段的长度．
线段中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．
关于线段的等分点:
①线段的中点是指在线段上把线段分成两条相等线段的点,线段中点只有一个,而线段的三等分点有两个,四等分点有三个.
②线段中点表示方法有三种：
若点C是AB中点,则①；②；③。
中点问题
模型一
P为线段AB上任意一点，其中E为AP中点，F为PB中点,则
模型二
E为AM中点，F为BN中点，则
例1. 点在线段上，下列条件中不能确定点是线段中点的是
A． B． C． D．
例2．如图，是线段上任意一点，，分别是，的中点，如果，那么的长为 ．
例3．如图所示，、是线段上任意两点，是的中点，是的中点，若，，则的长为 ．
过关检测
1．如图，已知点在线段上，且，，点、分别是、的中点，求线段的长度；
2．如图，，，，是直线上顺次四点，，分别是，的中点，且，，则的长等于
A． B． C． D．
3．如图，点在线段上，是中点，是中点，若，则线段的长为 ．
4．如图所示，、是线段上任意两点，是的中点，是的中点，若，，则的长为 ．
5．如图，点在线段上，点、分别是线段、的中点，若，，求线段和线段的长 ．
二．线段计算
（一）比例类—见比设元
例1．如图，AB＝12，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB＝1：3，则DB的长度为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．6
例2．如图所示，已知线段AB＝36，点C、D分别是线段AB上的两点，且满足AC：CD：DB＝3：4：5，点K是线段CD的中点，求线段KB的长度．
解：设AC＝3x，则
CD＝4x，DB＝ ，
∵AB＝AC+CD+DB
∴AB＝ （用含x的代数式表示）＝36
∴x＝
∵点K是线段CD的中点
∴KD＝ ＝
∴KB＝KD+DB＝ ．
例3．如图，AB：BC：CD＝2：3：4，如果AB中点M和CD中点N的距离是24cm，求AB，ND，MN的长度．
例4．如图．B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD＝3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF＝24，求线段AB、BC、CD的长．
过关检测
1．如图，线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．
2．如图，已知线段AB＝60，点C、D分别是线段AB上的两点，且满足AC：CD：DB＝3：4：5，点K是线段CD的中点，求线段KB的长．
解：设AC＝3x，则CD＝4x，DB＝ ，
∵AB＝AC+CD+DB＝60
∴AB＝ （用含x的代数式表示）＝60．
∴x＝ ．
∵点K是线段CD的中点．
∴KD＝ ＝ ．
∴KB＝KD+DB＝ ．
3．已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM＝6cm，求CM和AD的长．
4．已知A、B、C、D是直线a上的顺次四点，而且AB：BC：CD＝4：5：6，M和N分别是AB、CD的中点，且MN＝20cm，则线段AD的长为 cm．
（二）和差倍分类
例1．已知A、B、C三点在同一条直线上，且AB＝8，BC＝3，则AC＝ ．
例2．已知：如图，点C是线段AB上一点，且3AC＝2AB．D是AB的中点，E是CB的中点，DE＝6，求：
（1）AB的长；
（2）求AD：CB．
例3．如图，已知线段AB和CD的公共部分BD＝AB＝CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．
例4．如图所示，一条直线上顺次有A、B、C、D四点，C为AD中点，BC﹣AB＝AD，求BC是AB的多少倍？
过关检测
1．如果A、B、C在同一直线上，线段AB＝6厘米，BC＝2厘米，则A、C两点间的距离是 ．
2．已知线段AB＝6cm，AB所在直线上有一点C，若AC＝2BC，则线段AC的长为 cm．
3．在线段AB上取一点C，使AC＝AB，再在线段AB的延长线上取一点D，使DB＝AD，则线段BC的长度是线段DC长度的（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AD＝DB，E是BC的中点，BE＝AC＝3cm，求线段DE的长．
学习任务
1．如图，线段，是上一点，是的中点，是的中点，则 ．
2．如图，AC：CD：DB＝2：3：4，E、F、G分别是AC、CD、DB的中点，且EG＝12cm，则AF的长＝ cm．
3．如图，线段，是线段上一点，，是的中点，是的中点，则线段的长是 ．
4．如图，已知点是线段的中点，点是线段的中点，若，则 2.5 ．
5．如图，C为线段AB上的一点，AC：CB＝3：2，D、E两点分别为AC、AB的中点，若线段DE为2cm，则AB的长为多少？
6．如图，点C在线段AB上，线段AB＝15cm，点M，N分别是AC，BC的中点，CN＝3cm，求线段MC的长度．
7．如图已知点为上一点，，，、分别为、的中点，求的长．
8．如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长；
（2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长．
