第5讲 线段的计算（二）
目标层级图
一．动点类问题
例1．如图，，是线段上一个动点，沿以的速度往返运动一次，是线段的中点，设点的运动时间为秒．
（1）当时，求线段的长．
（2）当时，求线段的长．
（3）求运动过程中线段的长．（用含的代数式表示）
【解答】解：（1），
，
，
，
是线段的中点，
；
（2），
，
（3）当时，，
当时，；
例2．如图，是线段上一点，，点从点出发沿以的速度匀速向点运动，点从点出发沿以的速度匀速向点运动，两点同时出发，结果点比点先到．
（1）求的长；
（2）设点、出发时间为，
①求点与点重合时（未到达点，的值；
②直接写出点与点相距时，的值．
【分析】（1）设的长为，则，根据时间路程速度结合点比点先到，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）①根据路程速度时间结合点与点重合得出等式，即可得出结论；
②分别利用点追上点前和追上后分别相距分别得出答案．
【解答】解：（1）设，根据题意可得：
，
解得：，
答：的长为；
（2）①由题意可得：，
解得：，
故点与点重合时（未到达点，的值为；
②当点追上点前相距，
由题意可得：，
解得：，
当追上后相距，
由题意可得：，
解得：，
总上所述：或．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
过关检测
1．已知点为数轴原点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，、之间的距离记作，且．
（1）求线段的长；
（2）设点在数轴上对应的数为，当时，求的值；
2．如图，线段，动点从出发，以2个单位秒的速度沿射线运动，为的中点．
（1）出发多少秒后，
（2）当在线段上运动时，试说明为定值．
【分析】（1）分两种情况讨论，①点P在点B左边，②点P在点B右边，分别求出t的值即可．
（2）AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，表示出2BM﹣BP后，化简即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，设出发x秒后PB＝2AM，
当点P在点B左边时，PA＝2x，PB＝24﹣2x，AM＝x，
由题意得，24﹣2x＝2x，
解得：x＝6；
当点P在点B右边时，P′A＝2x，P′B＝2x﹣24，AM＝x，
由题意得：2x﹣24＝2x，方程无解；
综上可得：出发6秒后PB＝2AM．
（2）∵AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，
∴2BM﹣BP＝2（24﹣x）﹣（24﹣2x）＝24；
二．计数规律问题
直线、射线、线段的主要区别：
类型 端点 延长线及反向延长线 用两个大写字母表示
直线 0 无 无顺序
射线 1 有反向延长线 第一个表示端点
线段 2 两者都有 无顺序
例1．如图，点、、、是直线上的四个点，图中共有线段条数是
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
【解答】解：图中的线段有、、、、、；
故选：．
例2．如图，是一段火车行驶路线图，图中字母所示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制 种车票．
A．21 B．42 C．6 D．12
【分析】先求得单程的车票数，再求出往返的车票数即可．
【解答】解：7个点中线段的总条数是；
本题是要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应印制（种．
故选：．
例3．如图，该图中不同的线段共有 条．
【分析】本题只要确定了之间的线段即可确定图中线段的条数．
【解答】解：从点到，，，有4条线段；
同一直线上的，，，四点之间有条；
所以共10条线段．
例4．平面上有四点，经过其中的两点画直线最多可画出
A．三条 B．四条 C．五条 D．六条
【分析】画出图形即可确定最多能画的直线的条数．
【解答】解：如图，最多可画6条直线．
，
故选：．
过关检测
1．如图，在直线上依次有，，三点，则图中线段共有
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【解答】解：图中线段共有、、三条，
故选：．
2．2014年底巴中至达州铁路客运正式开通，途经平昌、石梯两站，铁路部门将制作 种火车票．
A．12 B．10 C．8 D．6
【分析】分别写出各段火车票，然后即可得出总共的火车票种数．
【解答】解：火车票有：巴中平昌，巴中石梯，巴中达州，平昌石梯，平昌达州，石梯达州，达州石梯，达州平昌，达州巴中，石梯平昌，石梯巴中，平昌巴中，共12种．
故选：．
3．图中，以点，，，，，为端点的线段有 条．
【分析】根据线段的定义结合图形可得出线段的条数．
【解答】解：共有13条不同的线段，
分别是线段，，，，，，，，，，，，．
故答案为：13．
4．平面上有任意三点，过其中两点画直线，共可以画
A．1条 B．3条 C．1条或3条 D．无数条
【分析】平面上有任意三点的位置关系有两种：①三点共线；②任意三点不共线，再确定直线的条数．
【解答】解：①如果三点共线，过其中两点画直线，共可以画1条；
②如果任意三点不共线，过其中两点画直线，共可以画3条，故选．
学习任务
1．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有，，，四点．点沿直线从右向左移动，当出现点与，，，四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点最多有
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
解：由题意知，当点经过任意一条线段中点的时候会发出警报
图中共有线段、、、、、
发出警报的可能最多有6个．
故选：．
2．如图，线段AB＝12，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．
（1）出发多少秒后，PB＝2AM？
（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．
【分析】（1）由题意表示：AP＝2t，则PB＝12﹣2t，根据PB＝2AM列方程即可；
（2）把BM＝12﹣t和BP＝12﹣2t代入2BM﹣BP中计算即可；
【解答】解：（1）如图1，由题意得：AP＝2t，则PB＝12﹣2t，
∵M为AP的中点，
∴AM＝t，
由PB＝2AM得：12﹣2t＝2t，
t＝3，
答：出发3秒后，PB＝2AM；
（2）如图1，当P在线段AB上运动时，BM＝12﹣t，
2BM﹣BP＝2×（12﹣t）﹣（12﹣2t）＝24﹣2t﹣12+2t＝12，
∴当P在线段AB上运动时，2BM﹣BP为定值12；
3．由东营南到德州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：东营南﹣﹣滨州﹣﹣阳信﹣﹣商河﹣﹣德州，那么要为这次列车制作的火车票有 种．
4．如图，OA，OB是两条射线，C是OA上一点，D，E分别是OB上两点，则图中共有 条线段，共有 条射线．
5．平面内两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…，那么五条直线最多有 个交点．
家长签字：____________第5讲 线段的计算（二）
目标层级图
一．动点类问题
例1．如图，，是线段上一个动点，沿以的速度往返运动一次，是线段的中点，设点的运动时间为秒．
（1）当时，求线段的长．
（2）当时，求线段的长．
（3）求运动过程中线段的长．（用含的代数式表示）
例2．如图，是线段上一点，，点从点出发沿以的速度匀速向点运动，点从点出发沿以的速度匀速向点运动，两点同时出发，结果点比点先到．
（1）求的长；
（2）设点、出发时间为，
①求点与点重合时（未到达点，的值；
②直接写出点与点相距时，的值．
过关检测
1．已知点为数轴原点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，、之间的距离记作，且．
（1）求线段的长；
（2）设点在数轴上对应的数为，当时，求的值；
2．如图，线段，动点从出发，以2个单位秒的速度沿射线运动，为的中点．
（1）出发多少秒后，
（2）当在线段上运动时，试说明为定值．
二．计数规律问题
直线、射线、线段的主要区别：
类型 端点 延长线及反向延长线 用两个大写字母表示
直线 无 无顺序
射线 有反向延长线 第一个表示端点
线段 两者都有 无顺序
例1．如图，点、、、是直线上的四个点，图中共有线段条数是
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
例2．如图，是一段火车行驶路线图，图中字母所示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制 种车票．
A．21 B．42 C．6 D．12
例3．如图，该图中不同的线段共有 条．
例4．平面上有四点，经过其中的两点画直线最多可画出
A．三条 B．四条 C．五条 D．六条
过关检测
1．如图，在直线上依次有，，三点，则图中线段共有
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
2．2014年底巴中至达州铁路客运正式开通，途经平昌、石梯两站，铁路部门将制作 种火车票．
A．12 B．10 C．8 D．6
3．图中，以点，，，，，为端点的线段有 条．
4．平面上有任意三点，过其中两点画直线，共可以画
A．1条 B．3条 C．1条或3条 D．无数条
学习任务
1．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有，，，四点．点沿直线从右向左移动，当出现点与，，，四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点最多有
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
2．如图，线段AB＝12，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．
（1）出发多少秒后，PB＝2AM？
（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．
3．由东营南到德州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：东营南﹣﹣滨州﹣﹣阳信﹣﹣商河﹣﹣德州，那么要为这次列车制作的火车票有 种．
4．如图，OA，OB是两条射线，C是OA上一点，D，E分别是OB上两点，则图中共有 条线段，共有 条射线．
5．平面内两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…，那么五条直线最多有 个交点．
家长签字：____________
