第9节 角的和差及角平分线
目标层级图
课中讲解
授课内容1:角平分线的定义及应用
内容讲解
1.角平分线的定义： 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线。
例1. 如图，为的平分线，下列等式错误的是
A． B． C． D．
【解答】解：为的平分线，
，，，．
故选：．
例2.如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC
C．∠AOC+∠COB＝∠AOB D．∠AOC＝∠AOB
【解答】解：A．∵∠AOC＝∠BOC
∴OC平分∠AOB．
所以A选项正确，不符合题意；
B．∵∠AOB＝2∠BOC
∴OC平分∠AOB．
所以B选项正确，不符合题意；
C．∵∠AOC+∠COB＝∠AOB
∴OC不一定平分∠AOB．
所以C选项错误，符合题意；
D．∵∠AOC＝∠AOB
∴∴OC平分∠AOB．
所以C选项正确，不符合题意．
故选：C．
例3.把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中A、D、B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【解答】解：∵BM为∠ABC的平分线，
∴∠CBM＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵BN为∠CBE的平分线，
∴∠CBN＝∠EBC＝×（60°+90°）＝75°，
∴∠MBN＝∠CBN﹣∠CBM＝75°﹣30°＝45°．
故选：B．
.
过关检测
1.已知三条不同的射线OA、OB、OC，有下列条件，其中能确定OC平分∠AOB的有（ ）
①∠AOC＝∠BOC
②∠AOB＝2∠AOC
③∠AOC+∠COB＝∠AOB
④∠BOC＝∠AOB
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①由∠AOC＝∠BOC能确定OC平分∠AOB；
②如图1，∠AOB＝2∠AOC
所以不能确定OC平分∠AOB；
③∠AOC+∠COB＝∠AOB
不能确定OC平分∠AOB；
④如图2，∠BOC＝∠AOB，
不能确定OC平分∠AOB；
所以只有①能确定OC平分∠AOB；
故选：A．
2．如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点落在处，为折痕，如果为的平分线，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为将顶点折叠落在处，所以，
又因为为的平分线，
所以，
因为，
，
所以．
故选：．
36．如图，点在直线上，射线平分．如果，，那么的度数为 ．
【解答】解：点在直线上，平分，
，
是直角，，
，
，
．
故答案为：．
授课内容2：角的和差倍分计算
内容讲解
例1. 如图，已知，，平分，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
又平分，
，
，
故选：．
例2. 如图为直线上一点，，平分，．
（1）求的度数；
（2）试判断是否平分，并说明理由．
【解答】解：（1）因为，平分，
所以，，
所以；
（2）平分．理由如下：
因为，，
所以．
又因为，
所以，
所以平分．
例3. 如图，已知，是的平分线，在内．
（1）若，求的度数；
（2）若，则与有怎样的位置关系？为什么？
【解答】解：（1），
，
是的平分线，
，
，
，
；
（2），
设，则，
，
，
解得，
，
．
例4. 如图，只用一副三角板可以直接画出的角，则下列度数的角只用一副三角板不能直接画出的是
A． B． C． D．
【解答】解：一副三角板中角的度数有，，，，
、，故本选项不合题意；
、，故本选项不合题意；
、，故本选项不合题意；
、根据，，，不能组合成，即不能画出的角，故本选项符合题意．
故选：．
例5. 已知，，平分，平分，则的度数是
A． B．或 C．或 D．
【解答】解：分为两种情况：如图1，当在内部时，
，，
，
平分，平分，
，，
；
如图2，当在外部时，
．
故的度数是或．
故选：．
例6、3．已知是一个直角，作射线，再分别作和的平分线、．
（1）如图①，当时，求的度数；
（2）如图②，当射线在内绕点旋转时，的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求的度数；
（3）如图③，当射线在外绕点旋转时，画出图形，判断的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求的度数．
【解答】解：（1）、分别平分和，
，，
；
（2）的大小不变等于，
理由：
；
（3）的大小发生变化，或．
如图①，则为；如图②，则为．（说明过程同（2）
例7．（1）如图1，，若，求的度数；
（2）如图2，，平分，若，求的度数（用含的的代数式表示）；
（3）如图3，，，平分，平分，求的度数．
【解答】解：（1）由，
设，
则，，
，
，
解得：，
，，，
；
（2）设，
则，，
，
，
；
平分，
，
；
（3）平分，，
，
平分，，
，
，
例8、如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注
（1）如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 20 ；
（2）如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数；
（3）如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由．
【解答】解：（1）如图①，，
故答案为：20；
（2）如图②，平分，，
，
，
，
，
；
（3），
理由是：如图③，，，
，
即．
过关检测
1. 1．如图，若，是的平分线，则①；②；③；④．正确的是
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【解答】解：设，
，是的平分线，
，，
，，
故选：．
2. 如图，，平分，．试求的度数．
【解答】解：，平分，
，
，
，
，
，
故答案为．
3. 17．如图，已知是的平分线，是的平分线，如果，比的2倍还多，那么是多少度？
【解答】解：设的度数为，
是的平分线，
，
比的2倍还多，
，
是的平分线，
，，
，
，解得，
是50度．
4．用一副三角板拼成的图形如图所示，其中、、三点在同一条直线上．则图中的大小为
A． B． C． D．
【解答】解：、、三点在同一条直线上．
．
故选：．
5. 已知，，射线平分，则的度数为
A． B． C．或 D．或
【解答】解：当在内时，如图1，
则，
；
当在外时，如图2，
则，
．
综上，或．
故选：．
6、如图，已知内部有三条射线，若平分，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，如果将题中“平分”的条件改为，且，求的度数．
【解答】解：（1）平分，平分，
，，
；
（2），
设，，
，
，
，
，
，
，
，
．
7、已知，，是的角平分线．
（1）如图1，当时，求；
（2）如图2，若在内部运动，且是的角平分线时，求的值；
（3）在（1）的条件下，若射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若射线、同时开始旋转秒后得到，求的值．
【解答】解：（1），
，
，
，
平分，
，
；
（2）平分，
，
平分，
，
，
又，
；
（3）分三种情况：
①当射线、在内部时，即时，
由题意得：，，
，，
，
，
解得：（舍去）；
②当射线在外部时，射线在外部时，即时，
则，，
，
解得：；
③当射线在外部时，即时，
则，，
，
解得：；
综上所述，的值为秒或秒．
8．已知：是直线上的一点，是直角，平分．
（1）如图1．若．求的度数；
（2）在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）；
（3）将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．
【解答】解：（1）是直角，，
，
，
平分，
，
．
（2）是直角，，
，
，
平分，
，
．
（3），
理由是：，平分，
，
，
，
，
即．
学习任务
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分
1.如图∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP＝（ ）
A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°
【解答】解：∵∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝AOB＝30°，
又∠COP＝15°
①当OP在∠BOC内，
∠BOP＝∠BOC﹣∠COP＝30°﹣15°＝15°，
②当OP在∠AOC内，
∠BOP＝∠BOC+∠COP＝30°+15°＝45°，
综上所述：∠BOP＝15°或45°．
故选：D．
2.下列说法：①若C是AB的中点，则AC＝BC；②若AC＝BC，则点C是AB的中点；③若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠AOB；④若∠AOC＝∠AOB，则OC是∠AOB的平分线，其中正确的有（ ）
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
【解答】解：①若C是AB的中点，则AC＝BC，该说法正确；
②若AC＝BC，则点C不一定是AB的中点，该说法错误；
③若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠AOB，该说法正确；
④若∠AOC＝∠AOB，则OC不一定是∠AOB的平分线，该说法错误；
故选：C．
3.如图，OC是∠AOB内部的一条射线，OM、ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线．若∠MON＝65°，则∠AOB的度数为（ ）
A．115° B．125° C．130° D．140°
【解答】解：∵OM、ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线．
∴2∠MOC＝∠AOC，
2∠NOC＝∠BOC
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC
＝2（∠MOC+∠NOC）
＝2∠MON
＝2×65°
＝130°，
所以∠AOB的度数为130°．
故选：C．
4.α，β都是钝角，有四名同学分别计算（α+β），却得到了四个不同的结果，分别为26°，50°，72°，90°，老师判作业时发现其中有正确的结果，那么计算正确的结果是（ ）
A．26° B．50° C．72° D．90°
【解答】解：∵α、β都是钝角，
∴90°＜α＜180°，90°＜β＜180°，
∴180°＜α+β＜360°，
∴30°＜（α+β）＜60°，
∴计算正确的结果是50°．
故选：B．
5.在同一平面内，已知∠AOB＝50°，∠COB＝30°，则∠AOC等于（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．10°
【解答】解：①如图1，OC在∠AOB内，
∵∠AOB＝50°，∠COB＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝50°﹣30°＝20°；
②如图2，OC在∠AOB外，
∵∠AOB＝50°，∠COB＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝50°+30°＝80°；
综上所述，∠AOC的度数是20°或80°．
故选：C．
6.如图，∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝40.5°，求∠AOB度数．
【解答】解：设∠AOC＝x°，
∵∠AOC：∠BOC＝1：4，
∴∠BOC＝4x，∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝5x，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD＝2.5x，
又∵∠COD＝40.5°，即，∠AOD﹣∠AOC＝40.5°，
2.5x﹣x＝40.5°，
解得，x＝27°
∴∠AOB＝5x＝135°
答：∠AOB的度数是135°．
7.如图，已知锐角∠AOB，射线OC不与OA，OB重合，OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC．
（1）当OC在∠AOB的内部
①若∠BOC＝50°，∠AOC＝20°，求∠MON的大小；
②若∠MON＝30°，求∠AOB的大小；
（2）当射线OC在∠AOB外部，且∠AOB＝80°，请直接写出∠MON的大小．
【解答】解：（1）当OC在∠AOB的内部
①∵∠BOC＝50°，∠AOC＝20°，
OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC
∴∠MOC＝∠AOC＝10°，∠NOC＝∠BOC＝25°
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝10°+25°＝35°
答：∠MON的大小为35°；
②∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC
∴∠AOC＝2∠MOC，∠BOC＝2∠NOC
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC
＝2（∠MOC+∠NOC）
＝2∠MON
∵∠MON＝30°，
∴∠AOB＝60°
答：∠AOB的大小为60°．
（2）当射线OC在∠AOB外部，且∠AOB＝80°，
分两种情况：
①如图1所示，
OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC
∴∠MON＝∠NOC﹣∠MOC
＝∠BOC﹣∠AOC
＝（∠BOC﹣∠AOC）
＝AOB
＝40°；
②如图2所示，
OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC
∴∠MON＝∠NOC+∠MOC
＝∠BOC+∠AOC
＝（∠BOC+∠AOC）
＝（360°﹣∠AOB）
＝280°
＝140°；
答：∠MON的大小为40°或140°
8.如图，OC是∠AOB内的一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
（1）若∠BOC＝80°，∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
（2）若∠BOC＝α，∠AOC＝50°，求∠DOE的度数；
（3）若∠BOC＝α，∠AOC＝β，试猜想∠DOE与α、β的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，∠AOC＝40°，
∴∠AOE＝∠EOC＝∠AOC＝20°，
∠AOB＝2∠AOD＝2∠DOB，
∵∠BOC＝∠BOD+∠COD＝∠AOD+∠COD，
∴∠BOC＝∠AOC+2∠COD，
即：80°＝40°+2∠COD，
∴∠COD＝20°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝20°+20°＝40°；
（2）∵OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
∴∠AOE＝∠EOC＝∠AOC＝25°，
∠AOB＝2∠AOD＝2∠DOB，
∵∠BOC＝∠BOD+∠COD＝∠AOD+∠COD，
∴∠BOC＝∠AOC+2∠COD，
即：α＝50°+2∠COD，
∴∠COD＝，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝+25°＝；
（3），与β无关
∵OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
∴∠AOE＝∠EOC＝∠AOC＝，
∠AOB＝2∠AOD＝2∠DOB，
∵∠BOC＝∠BOD+∠COD＝∠AOD+∠COD，
∴∠BOC＝∠AOC+2∠COD，
即：α＝β+2∠COD，
∴∠COD＝，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝+＝；
9.如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度数；
（2）将OC绕着点O顺时针旋转，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由；
（3）若∠AOB＝α（0°＜α＜90°），∠BOC＝β，仍然分别作（2）中操作，能否求出∠MON的度数？若能，直接写出∠MON的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝120°×＝60°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠BOC＝×30°＝15°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°；
（2）设∠BOC＝（2x）°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+（2x）°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝45°+x°
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠BOC＝×（2x）°＝x°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°
（3）规律：∠MON的度数与∠BCO无关，∠MON＝．
∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝（α+β），
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠BOC＝，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（α+β）﹣＝．
10.一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t．
（1）当t＝5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 85 度；
（2）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．
①当t为何值时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD＝2∠APC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由
【解答】解：（1）180°﹣45°﹣5×10°＝85°，
故答案为：85；
（2）①如图1所示：
∵PB平分∠CPD；
∴∠CPB＝∠BPD＝∠CPD＝30°，
∴∠APC＝∠APB﹣∠CPB＝45°﹣30°＝15°，
由∠MPN＝180°得，10°t+15°+60°+2°t＝180°，
（或者10°t＝180°﹣45°﹣30°﹣2°t）
解得，t＝，
∴当t＝秒时，边PB平分∠CPD；
②设时间为t秒，则∠APM＝10°t，∠DPN＝2°t，
Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：
此时，∠APC＝180°﹣10°t﹣60°﹣2°t＝120°﹣12°t，
∠BPD＝180°﹣45°﹣10°t﹣2°t＝135°﹣12°t，
若∠BPD＝2∠APC，则135°﹣12°t＝2（120°﹣12°t），
解得，t＝，
如图3，
此时，∠APC＝10°t+2°t+60°﹣180°＝12°t﹣120°，
∠BPD＝180°﹣45°﹣10°t﹣2°t＝135°﹣12t°，
若∠BPD＝2∠APC，则135°﹣12°t＝2（12°t﹣120°），
解得，t＝．
综上所述，
当t＝秒或秒时，∠BPD＝2∠APC．
家长签字：____________第7节 角的和差及角平分线
目标层级图
课中讲解
一．角平分线的定义及应用
内容讲解
1．角平分线的定义： 。
例1. 如图，为的平分线，下列等式错误的是
A． B．
C． D．
例2．如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC
C．∠AOC+∠COB＝∠AOB D．∠AOC＝∠AOB
例3．把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中A、D、B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
过关检测
1.已知三条不同的射线OA、OB、OC，有下列条件，其中能确定OC平分∠AOB的有（ ）
①∠AOC＝∠BOC
②∠AOB＝2∠AOC
③∠AOC+∠COB＝∠AOB
④∠BOC＝∠AOB
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点落在处，为折痕，如果为的平分线，则
A． B． C． D．
3. 如图，点在直线上，射线平分．如果，，那么的度数为 ．
二．角的和差倍分计算
内容讲解
例1. 如图，已知，，平分，则的度数为
A． B． C． D．
例2. 如图为直线上一点，，平分，．
（1）求的度数；
（2）试判断是否平分，并说明理由．
例3. 如图，已知，是的平分线，在内．
（1）若，求的度数；
（2）若，则与有怎样的位置关系？为什么？
例4. 如图，只用一副三角板可以直接画出的角，则下列度数的角只用一副三角板不能直接画出的是
A． B． C． D．
例5. 已知，，平分，平分，则的度数是
A． B．或 C．或 D．
例6. ．已知是一个直角，作射线，再分别作和的平分线、．
（1）如图①，当时，求的度数；
（2）如图②，当射线在内绕点旋转时，的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求的度数；
（3）如图③，当射线在外绕点旋转时，画出图形，判断的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求的度数．
例7．（1）如图1，，若，求的度数；
（2）如图2，，平分，若，求的度数（用含的的代数式表示）；
（3）如图3，，，平分，平分，求的度数．
例8．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注
（1）如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 ；
（2）如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数；
（3）如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由．
过关检测
1. 如图，若，是的平分线，则①；②；③；④．正确的是
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
2. 如图，，平分，．试求的度数．
3. 如图，已知是的平分线，是的平分线，如果，比的2倍还多，那么是多少度？
4. 用一副三角板拼成的图形如图所示，其中、、三点在同一条直线上．则图中的大小为
A． B． C． D．
5. 已知，，射线平分，则的度数为
A． B． C．或 D．或
6．如图，已知内部有三条射线，若平分，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，如果将题中“平分”的条件改为，且，求的度数．
7．已知，，是的角平分线．
（1）如图1，当时，求；
（2）如图2，若在内部运动，且是的角平分线时，求的值；
（3）在（1）的条件下，若射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若射线、同时开始旋转秒后得到，求的值．
8．已知：是直线上的一点，是直角，平分．
（1）如图1．若．求的度数；
（2）在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）；
（3）将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．
学习任务
1.如图∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP＝（ ）
2.下列说法：①若C是AB的中点，则AC＝BC；②若AC＝BC，则点C是AB的中点；③若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠AOB；④若∠AOC＝∠AOB，则OC是∠AOB的平分线，其中正确的有（ ）
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
3.如图，OC是∠AOB内部的一条射线，OM、ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线．若∠MON＝65°，则∠AOB的度数为（ ）
A．115° B．125° C．130° D．140°
4．α，β都是钝角，有四名同学分别计算（α+β），却得到了四个不同的结果，分别为26°，50°，72°，90°，老师判作业时发现其中有正确的结果，那么计算正确的结果是（ ）
A．26° B．50° C．72° D．90°
5．在同一平面内，已知∠AOB＝50°，∠COB＝30°，则∠AOC等于（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．10°
6．如图，∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝40.5°，求∠AOB度数。
7．如图，已知锐角∠AOB，射线OC不与OA，OB重合，OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC。
（1）当OC在∠AOB的内部
①若∠BOC＝50°，∠AOC＝20°，求∠MON的大小；
②若∠MON＝30°，求∠AOB的大小；
（2）当射线OC在∠AOB外部，且∠AOB＝80°，请直接写出∠MON的大小。
8．如图，OC是∠AOB内的一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
（1）若∠BOC＝80°，∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
（2）若∠BOC＝α，∠AOC＝50°，求∠DOE的度数；
（3）若∠BOC＝α，∠AOC＝β，试猜想∠DOE与α、β的数量关系并说明理由．
9．如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。
（1）求∠MON的度数；
（2）将OC绕着点O顺时针旋转，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由；
（3）若∠AOB＝α（0°＜α＜90°），∠BOC＝β，仍然分别作（2）中操作，能否求出∠MON的度数？若能，直接写出∠MON的度数。
10．一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t。
（1）当t＝5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 度；
（2）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转。
①当t为何值时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD＝2∠APC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由。
