第9讲 角的计算（三）
目标层级图
课中讲解
一。简单的动角问题
例1．已知：如图，点是直线上一点，过点作射线，使．
（1） 70 ；
（2）现将射线绕点以每秒角的速度顺时针旋转至与射线重合为止．
设运动时间为秒．当射线、射线、射线分别构成两个相等的角（重合除外）时，此时的值为 ．
【分析】（1）根据平角的概念计算即可；
（2）分、两种情况，结合图形计算即可．
【解答】解：（1），故答案为：70；
（2）当时，射线旋转了，则（秒，
当时，射线旋转了，则（秒，
故答案为：4秒或14.5秒；
例2．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角的顶点放在点处，．
（1）如图1，当的一边与射线重合时，则 ；
（2）将绕点逆时针运动至图2时，若，则 ； ．
（3）在上述从图1运动到图3的位置过程中，当的边所在直线恰好平分时，求此时是多少度？
【分析】（1）根据平角的定义以及，即可得出的度数，又，根据角的和差关系计算即可；
（2）根据角的和差关系即可得出的度数；根据平角的定义以及，即可得出的度数，再根据角的和差关系计算即可；
（3）分情况讨论：①根据角平分线的定义可得，再根据角的和差关系计算即可；
②作的反向延长线（记为’ 平分，根据角平分线的定义求解即可．
【解答】解：（1），
， 故答案为：；
（2）；
，，
； 故答案为：；；
（3）①，，，
平分，，；
②作的反向延长线，如图：
，’平分，，
，，
．
故的度数为或．
例3．以直线上点为端点作射线，使，若，将的顶点放在点处．
（1）如图1，若的边放在射线上，求的度数？
（2）如图2，将绕点按逆时针方向转动，使得平分，说明是的平分线；
（3）如图3，将绕点按逆时针方向转动，使得．求的度数．
【分析】（1）可直接将的度数的度数；
（2）证明即可根据角平分线的定义判断；
（3）要分情况讨论，一种是在的内部，另一种是在的外部，可通过列方程求解．
【解答】解：（1），又，；
（2）平分，，
，，，
，所在射线是的平分线；
（3）设，则，
①若在的内部，
，，，解得：
，；
②若在的外部，
，，解得：
即．的度数是或者．
过关检测
1．如图，是直角，平，平分．
求：（1）的度数．
（2）当在内绕点转动时，的值会不会改变？
【分析】（1）由于是直角，平，平分，那么利用角平分线有，，再利用等式性质，可得，即可求；
（2）由（1）的结论可知，而的度数不变，则就不变，也就是在内绕点转动时，的值不会改变．
【解答】解：（1）是直角，平，平分．
，，
，即；
（2）当在内绕点转动时，的值不会改变．
由（1）知，而的度数不变，则就不变．
2.已知：如图，点是直线上一点，过点作射线，使．
（1）求 ；
（2）现将射线绕点以每秒角的速度顺时针旋转至与射线重合为止．设运动时间为秒．当射线、射线、射线分别构成两个相等的角（重合除外）时，请画出所有满足条件的射线，并求此时的值．
【分析】（1）根据平角的定义，可得，即可解答；
（2）分两种情况进行解答，①当时；②当时，即可解答．
【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）如图，画出射线、即为满足条件的射线；
①当时，则
所以（秒．
②当时，则，
所以，
所以（秒， 因此的值为4或10秒．
3．如图，，，平分，平分．
（1）求的度数；
（2）若以点为观察中心，为正东方向，求射线的方位角；
（3）若的两边，分别以每秒和每秒的速度，同时绕点按逆时针方向旋转，当回到原处时，，停止运动，则经过多少秒时，？
【分析】（1）根据图示得到；然后由角平分线的定义得到，进而得出的度数；
（2）根据方向角的表示方法，可得答案；
（3）设经过秒，，依据题意列出方程并解答即可．
【解答】解：（1）因为平分，，所以，
因为平分，，所以，
因为，所以；
（2）因为，所以射线的方位角是北偏东；
（3）设经过秒时，，
①如图1所示，当未追上时，依题意，得，解得，；
②如图2所示，当超过时，依题意，得，解得，．
二。动角问题综合
例1如图，已知，射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针方向旋转；同时，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针方向旋转．当与成时，与同时停止旋转．
（1）当旋转10秒时， 40 ．
（2）当与的夹角是时，求旋转的时间．
（3）当平分时，求旋转的时间．
【解答】解：（1）当旋转10秒时，
射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针方向旋转，，
射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针方向旋转，，
．故答案为：40；
（2）设转动秒，与的夹角是30度，
①如图1，，，
②如图2，，，旋转的时间是12秒或24秒；
（3）如图3，设转动秒时，平分，
则，解得，，旋转的时间是30秒．
【评】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，熟记角平分线的定义是解题的关键．
例2．如图，，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每分钟；射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每分钟，和同时旋转，设旋转的时间为．
（1）当为何值时，射线与重合；
（2）当为何值时，射线；
（3）试探索：在射线与旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可得，射线与重合时，，可得的值；
（2）根据题意可得，射线时，或，可得值；
（3）分三种情况，一种是以为角平分线，一种是以为角平分线，一种是以为角平分线，然后分别进行讨论即可解答本题．
【解解：（1）由题意可得，解得，即时，射线与重合；
（2）由题意得，或，解得，或
即当或时，射线；
（3）存在，由题意得，或或，
解得或或，即当以为角平分线时，的值为；当以为角平分线时，的值为，当以为角平分线时，的值为．
例3. 已知，，平分，平分．
（1）求的度数；
（2）若以为观察中心，为正东方向，射线的方向角是 北偏东 ；
（3）若的两边、分别以每秒、每秒的速度，同时绕点逆时针方向旋转，当回到原处时，、停止运动，则经过几秒，．
【分析】（1）根据图示得到；然后由角平分线的定义来求的度数；
（2）根据方向角的表示方法，可得答案；
（3）设经过秒，则依据题意列出方程并解答即可．
【解答】解：（1），，
．
又平分，平分，
，，
；
（2）由（1）知，，
射线在东偏北，即射线在北偏东；
故答案是：北偏东；
（3）设经过秒，则
，或，
解得或．
即经过29或71秒，．
过关检测
1．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．
（1）如图①，将三角板的一边与射线重合时，则 ；
（2）如图②，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角和的度数；
（3）将三角板绕点逆时针旋转至图③时，，求的度数．
【分析】（1）根据和的度数可以得到的度数．
（2）根据是的角平分线，可以求得的度数，由，可得的度数，从而可得的度数．
（3）由，，，从而可得的度数，由，从而得到的度数．
【解答】解：（1），，
故答案为：．
（2），是的角平分线，
．
．
．
（3），
， ．
，．
．
．
．
【点评】本题考查角的计算和旋转的知识，关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的量．
2．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注
（1）如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 20 ；
（2）如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数；
（3）如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由．
【分析】（1）根据图形得出，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出，代入，求出，代入求出即可；
（3）根据图形得出，，相减即可求出答案．
【解答】解：（1）如图①，，故答案为：20；
（2）如图②，平分，，，
，，
，；
（3），
理由是：如图③，，，
，即．
3.如图1，已知，的余角比小，
（1）求的度数；
（2）经过点作射线，使得，求的度数；
（3）如图2，在的内部作，、分别为和的平分线，当绕点在的内部转动时，请说明．
【分析】（1）设，则，根据的余角比小列方程求解；
（2）分两种情况：①当射线在内部②当射线在外部，分别求出的度数即可；
（3）、分别为和的平分线，可得，，所以，即可得．
【解答】解：（1）设，则，
依题意列方程，解得：，即．
（2）由（1）得，，，
①当射线在内部时，，则；
②当射线在外部时，则；
（3）、分别为和的平分线，
，，
，
．
即．
学习任务
1.点，是半圆弧上的两个动点，在运动的过程中保持
（1）如图①，平分，平分，求的度数；
（2）如图②，已知的度数为，平分，平分，求的度数．
【分析】（1）由角平分线的定义可得，，则可求的度数；
（2）由题意可得，，由角平分线的性质可得，，即可求的度数．
【解答】解：（1）平分，平分，
，，
，
（2）
，
平分，平分，
，
2.如图，有一个长方形纸条，点，是线段上的两个动点，且点始终在点左侧，在上有一点，连接、，以，为折痕翻折纸条，使点、点、点、点分别落在点、点、点、点上．
（1）当时， 40 ．
（2）当与重合时， ．
（3）当时，求的度数．
【分析】（1）根据折叠可得平分，即可求解；
（2）当与重合时，，根据、分别平分、可得，进而求解；
（3）当时，，根据、分别平分、得，进而求得的度数．
【解答】解：（1）根据折叠可知：
平分
；
故答案为；
（2）当与重合时，
、分别平分、
，
故答案为；
（3）当时，
、分别平分、
．
当在左侧时，
，
即，
解得，
．
答：的度数为或．
3. 已知将一副三角尺（直角三角尺和直角三角尺，，如图1摆放，点、、在一条直线上，将直角三角尺绕点逆时针方向转动，变化后如图2、图3摆放．
（1）如图1，当点、、在同一条直线上，的度数是 ；
（2）如图2，若要恰好平分，则的度数是 ；
（3）如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角尺在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．
【分析】（1）根据角的和差关系即可求解；
（2）根据角平分线的定义和角的和差关系即可求解；
（3）由图可得角之间的关系：，依此即可求解．
【解答】解：（1）．
故答案为：；
（2）恰好平分，
，
．
故答案为：；
（3）不变，；
平分，平分，
，，
，
，
．
4. 如图，是的平分线，是的平分线．
（1）如果，，那么是多少度？
（2）如果的大小保持与上图中相同，而射线在的内部绕点转动，那么射线，的位置是否发生变化？为什么？
（3）的大小是否发生变化？如果不变，请说出其度数；如果变化，请说出变化范围．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，然后利用计算即可；
（2）由于射线在的内部绕点转动，则与的大小发生变化，所以的平分线，的平分线的位置发生变化；
（3）由于，，所以．
【解答】解：（1）是的平分线，是的平分线，
，，
；
（2）射线在的内部绕点转动，射线，的位置发生变化．因为与的大小发生变化，而是的平分线，是的平分线，所以射线，的位置发生变化；
（3）的大小不发生变化．理由如下：
是的平分线，是的平分线，
，，
．
5．已知：如图，、分别为定角内的两条动射线
（1）当、运动到如图的位置时，，，求的度数；
（2）在（1）的条件下，射线、分别为、的平分线，当绕着点旋转时，下列结论：①的值不变；②的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．
【分析】（1）根据角的定义可知，根据题意得出，求出的度数，即可求出的度数，
（2）根据角平分线的定义得出．
【解答】解：（1），
，，
，
，
；
（2）②正确，，
、分别为、的平分线，
，
．
6．已知将一副三角板（直角三角板和直角板，，，，
（1）如图1摆放，点、、在一条直线上，的度数是 ；
（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板绕点逆时针方向转动，若要恰好平分，则的度数是 ；
（3）如图3，当三角板摆放在内部时，作射线平分．射线平分，如果三角板在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．
【解答】解：（1），，
；
（2）恰好平分，
，
；
故答案为：；；
（3）的度数不发生变化，．理由如下：
平分，平分，
，，
，
．
【点评】本题考查了角的计算：会进行角的倍、分、差计算．也考查了角平分线的定义．
7．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分．问：此时直线是否平分？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值．
（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，试探索：在旋转过程中，与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．
【分析】（1）由角平分线的定义可知，根据等角的余角相等可知，由对顶角相等可知，从而可证明，故此
平分；
（2）由直线恰好平分锐角可知旋转或时直线平分，根据旋转速度可求得需要的时间；
（3）由，，可知、，最后求得两角的差，从而可做出判断．
【解答】解：（1）直线平分．
理由：如图所示，设的反向延长线为．
平分，
．
又，
．
．
又（对顶角相等），
．
平分，即直线平分．
（2），
．
．
即旋转或时直线平分．
由题意得，或240．
解得：或40；
（3）的差不变．
，，
、．
．
【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，用含的式子表示出和的长是解题的关键．
8．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过秒后，恰好平分．①求的值；②此时是否平分？请说明理由；
（2）在（1）问条件的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间平分？请说明理由；
（3）在（2）问条件的基础上，经过多长时间平分？请画图并说明理由．
【分析】（1）根据图形和题意得出，，再根据，即可得出平分；
（2）根据图形和题意得出，，再根据转动速度从而得出答案；
（3）分别根据转动速度关系和平分画图即可．
【解答】解：（1）①，，
，
，
，
，
，
解得：秒；
②是，理由如下：
，，
平分；
（2）5秒时平分，理由如下：
，，
，
，
三角板绕点以每秒的速度，射线也绕点以每秒的速度旋转，
设为，为，
，
可得：，
解得：秒；
（3）平分
，，
三角板绕点以每秒的速度，射线也绕点以每秒的速度旋转，
设为，为，
，
，
可得：，
解得：秒；
如图：
【点评】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．第9讲 角的计算（三）
目标层级图
课中讲解
一．简单的动角问题
例1．已知：如图，点是直线上一点，过点作射线，使．
（1） ；
（2）现将射线绕点以每秒角的速度顺时针旋转至与射线重合为止．
设运动时间为秒．当射线、射线、射线分别构成两个相等的角（重合除外）时，此时的值为 ．
例2．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角的顶点放在点处，．
（1）如图1，当的一边与射线重合时，则 __________ ；
（2）将绕点逆时针运动至图2时，若，则 ； ．
（3）在上述从图1运动到图3的位置过程中，当的边所在直线恰好平分时，求此时是多少度？
例3．以直线上点为端点作射线，使，若，将的顶点放在点处．
（1）如图1，若的边放在射线上，求的度数？
（2）如图2，将绕点按逆时针方向转动，使得平分，说明是的平分线；
（3）如图3，将绕点按逆时针方向转动，使得．求的度数．
过关检测
1．如图，是直角，平，平分．
求：（1）的度数．
（2）当在内绕点转动时，的值会不会改变？
2.已知：如图，点是直线上一点，过点作射线，使．
（1）求 ；
（2）现将射线绕点以每秒角的速度顺时针旋转至与射线重合为止．设运动时间为秒．当射线、射线、射线分别构成两个相等的角（重合除外）时，请画出所有满足条件的射线，并求此时的值．
3．如图，，，平分，平分．
（1）求的度数；
（2）若以点为观察中心，为正东方向，求射线的方位角；
（3）若的两边，分别以每秒和每秒的速度，同时绕点按逆时针方向旋转，当回到原处时，，停止运动，则经过多少秒时，？
二．动角问题综合
例1．如图，已知，射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针方向旋转；同时，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针方向旋转．当与成时，与同时停止旋转．
（1）当旋转10秒时， ．
（2）当与的夹角是时，求旋转的时间．
（3）当平分时，求旋转的时间．
例2．如图，，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每分钟；射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每分钟，和同时旋转，设旋转的时间为．
（1）当为何值时，射线与重合；
（2）当为何值时，射线；
（3）试探索：在射线与旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值，若不存在，请说明理由．
例3． 已知，，平分，平分．
（1）求的度数；
（2）若以为观察中心，为正东方向，射线的方向角是 ；
（3）若的两边、分别以每秒、每秒的速度，同时绕点逆时针方向旋转，当回到原处时，、停止运动，则经过几秒，．
过关检测
1．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．
（1）如图①，将三角板的一边与射线重合时，则 ；
（2）如图②，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角和的度数；
（3）将三角板绕点逆时针旋转至图③时，，求的度数．
2．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注
（1）如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 ；
（2）如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数；
（3）如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由．
3．如图1，已知，的余角比小，
（1）求的度数；
（2）经过点作射线，使得，求的度数；
（3）如图2，在的内部作，、分别为和的平分线，当绕点在的内部转动时，请说明．
学习任务
1．点，是半圆弧上的两个动点，在运动的过程中保持
（1）如图①，平分，平分，求的度数；
（2）如图②，已知的度数为，平分，平分，求的度数．
2．如图，有一个长方形纸条，点，是线段上的两个动点，且点始终在点左侧，在上有一点，连接、，以，为折痕翻折纸条，使点、点、点、点分别落在点、点、点、点上．
（1）当时， ．
（2）当与重合时， ．
（3）当时，求的度数．
3．已知将一副三角尺（直角三角尺和直角三角尺，，如图1摆放，点、、在一条直线上，将直角三角尺绕点逆时针方向转动，变化后如图2、图3摆放．
（1）如图1，当点、、在同一条直线上，的度数是 ；
（2）如图2，若要恰好平分，则的度数是 ；
（3）如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角尺在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．
4．如图，是的平分线，是的平分线．
（1）如果，，那么是多少度？
（2）如果的大小保持与上图中相同，而射线在的内部绕点转动，那么射线，的位置是否发生变化？为什么？
（3）的大小是否发生变化？如果不变，请说出其度数；如果变化，请说出变化范围．
5．已知：如图，、分别为定角内的两条动射线
（1）当、运动到如图的位置时，，，求的度数；
（2）在（1）的条件下，射线、分别为、的平分线，当绕着点旋转时，下列结论：①的值不变；②的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．
6．已知将一副三角板（直角三角板和直角板，，，，
（1）如图1摆放，点、、在一条直线上，的度数是 ；
（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板绕点逆时针方向转动，若要恰好平分，则的度数是 ；
（3）如图3，当三角板摆放在内部时，作射线平分．射线平分，如果三角板在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．
7．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分．问：此时直线是否平分？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值．
（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，试探索：在旋转过程中，与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．
8．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过秒后，恰好平分．①求的值；②此时是否平分？请说明理由；
（2）在（1）问条件的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间平分？请说明理由；
（3）在（2）问条件的基础上，经过多长时间平分？请画图并说明理由．
