湘教版数学九年级下册 1.5利用二次函数解决与最值有关的实际问题( 第2课时) 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
第1章 二次函数
1.5 第2课时 利用二次函数模型解决与最值有关的问题
【动脑筋】 用长为8m的铝材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积S(m2)最大？最大透光面积是多少？（铝材宽度不计）
x
新课导入
分析：由于做窗框的铝材长度已确定，而窗框的面积S随矩形一边长的变化而变化。
解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m.
这里应有x＞0，
故0＜x＜ .
矩形窗框的透光面积S与x之间的函数关系式是：
即
配方得
所以，当x= 时，函数取得最大值，最大值S= .
因此，所做矩形窗框的宽为 m、高为2 m时，它的透光面积最大，最大面积是 m2.
x= 满足0＜x＜ ，这时
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
例题讲解
解:根据题意得
S=l(30-l),
即 S=-l2+30l (0因此，当 时S有最大值，
也就是说，当l=15m时，场地的面积S最大.
此时，
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
x
60-2x
问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？
问题3 面积S与x的函数关系式是什么？
问题1 变式1与例题有什么不同？
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
设垂直于墙的边长为xm
问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
问题5 如何求最值？
最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.
归纳总结
例2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每月利润（元）
正常销售
涨价销售
10
180
10+x
180-10x
y=(10+x)(180-10x)
1800
建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),
即：y=-10x2+80x+1800.
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是x ≤18.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+80x+1800
=-10(x-4)2+1960.
当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.
答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最
大利润1960元.
②自变量x的取值范围如何确定？
利用二次函数解决最大利润问题的“四点注意”：
(1)灵活选取自变量．自变量可以是上涨的价格(或下降的价格)，也可以是售价(或定价)．
(2)列函数表达式时要注意自变量的取值范围(特别需要注意挖掘题目中的隐含条件)．
(3)若抛物线顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，则应根据函数的增减性来确定最值．
(4)解由二次函数得到的不等式，应先解相应的一元二次方程，然后再根据图象确定不等式的解集．
归纳总结
1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m(墙足够长)，则所围成矩形ABCD的最大面积是(　　)
A．60 m2 B．63 m2
C．64 m2 D．66 m2
C
随堂演练
2.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（600－20x）件，为使利润最大，则每件售价应定为 元.
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3. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
解：(1)因为矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;
∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，
矩形面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
4．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元/个的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现，该产品每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)满足一次函数关系：y＝－10x＋1200.
(1)求出每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数表达式(不必写出自变量的取值范围)；
(2)当销售单价定为多少时，该公司每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
解：
(1)w＝y(x－40)＝(－10x＋1200)(x－40)
＝－10x2＋1600x－48000.
(2)w＝－10x2＋1600x－48000
＝－10(x－80)2＋16000，
则当销售单价定为80元/个时，该公司每天获得的利润最大，最大利润是16000元．
最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
课堂小结
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.
确定自变量取值范围
涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数图象简图和性质求出.