湘教版数学九年级下册 1.4 二次函数与一元二次方程的联系 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
第1章 二次函数
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为( ， ),
一元一次方程x＋2＝0的根为________.
（2）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为( ， ),
一元一次方程－3x＋6＝0的根为_______.
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次
方程kx＋b＝0的根有什么关系？
答：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根.
－2 0
－2
2 0
2
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你知道二次函数与一元二次方程有什么关系吗？
画出二次函数 的图象，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？
(-1,0)与(3,0)
(-1,0)
(3,0)
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二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0又有怎样的关系？
当x=-1时，y=0，即x2-2x-3=0，
也就是说，x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根；
同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0，
也就是说，x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根.
知识归纳
一般地,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0 )， 那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x=x1、x=x2.
1
x
y
O
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
观察图象，完成下表
抛物线与x轴交点个数 交点横 坐标 相应的一元二次
方程的根
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
0个
2个重合的点
x2-x+1=0无解
3
x2-6x+9=0，
x1=x2=3
二次函y=ax2+bx+c 的图象与x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有两个重合的交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
例1 二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)
A．k<3 B．k<3且k≠0
C．k≤3 D．k≤3且k≠0
D
例题讲解
例2 求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）.
分析：一元二次方程 x -2x-1=0 的根就是抛物线 y=x -2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解：画出函数 y=x -2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x … -0.4 -0.5 …
y … -0.04 0.25 …
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
同理可得另一近似值为x2≈2.4.
例3 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.
解：由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始
位置的水平距离是1m或5m.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
解：由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.
解：由抛物线的表达式得
即
因为
所以方程无实根.
所以铅球离地面的高度不能达到3m.
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
1.根据下列表格的对应值:
随堂演练
2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；
-1
y
O
x
1
3
3.一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根
是x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标是 .
(-2，0) ( ，0)
4. 求抛物线 y＝3x2－8x＋4与x轴的两个公共点的坐标．
解：令y＝0，则3x2－8x＋4＝0，
解方程得：x1＝ x2＝2.
∴抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的两个公共点的坐标为 (2，0)．
5.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0， )，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．
设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－ (x－4)2＋4.
将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－ (7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中；
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.
因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式 的符号
一元二次方程根的情况
课堂小结