湘教版数学九年级下册2.3 垂径定理 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
第2章 圆
2.3 垂径定理
问题：左图中AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，与直径AB相交于点E，当弦CD在圆上运动的过程中有没有特殊情况？
直径AB和弦CD互相垂直
情景引入
E
A
O
D
B
C
在⊙O中，AB为弦，CD为直径，AB⊥CD
提问：你在圆中还能找到那些相等的量？并证明你猜得的结论。
线段：AE=BE
弧： ＝ ， ＝
获取新知
E
D
C
O
A
B
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE，＝ ， ＝ 。
证明：连结OA、OB，则OA＝OB.
∴△OAB是等腰三角形.
∵OE⊥AB，
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE ，
∴∠AOC=∠BOC ，
∴ ＝ ， ＝ .
C
.
O
A
E
B
D
┗
垂径定理
1、文字语言
2、符号语言
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.过点M作直径CD.你能发现图中有哪些等量关系 说说你的想法和理由.
②CD⊥AB,
由① CD是直径
③ AM=BM
可推得
④ ＝ ,
⑤ ＝ .
●O
C
D
●
M
A
B
┗
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,
并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的本质是:
满足其中任两条，必定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分弦
（4）这条直线平分弦所对的优弧
（5）这条直线平分弦所对的劣弧
知二推三
判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
是
不是
是
练一练
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长。
.
A
E
B
O
C
┐
例题讲解
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴
设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
∴ CD=2r=10cm
例2 证明：圆的两条平行弦所夹弧相等．
·
A
B
C
D
O
E
F
证明:
作直径EF 垂直于弦AB，
由于AB∥CD，因此 EF⊥CD．
从而
即
因此
由于 EF⊥CD
由于EF⊥AB，因此，
已知：如图,圆O 中，弦AB与弦CD 平行．
求证：＝
例3 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以AC＝BD.
E
.
A
C
D
B
O
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
┐
1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是 （ ）
A.∠COE=∠DOE
B.CE=DE
C.OE=AE
D.BD=BC
⌒
⌒
·
O
A
B
E
C
D
C
随堂演练
2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。
·
O
A
B
E
解：连接OA，∵ OE⊥AB
∴
∴ AB=2AE=16cm
16
3．如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC的长为(　　)
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
B
4．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管内水面上升了0.2 m，则此时排水管的水面宽CD＝____m.
1.6
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
课后小结