湘教版数学九年级下册2.5.2 第2课时 切线的性质 同步课件(共14张PPT)

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第2章 圆
2.5.2 第2课时 切线的性质
知识回顾
思考：
1.什么是圆的切线 判断一条直线是圆的切线有哪些方法
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．
即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
2.前面我们已学过的切线的性质有哪些？
答：
①切线和圆有且只有一个公共点；
②切线和圆心的距离等于半径.
3.切线还有什么性质？
获取新知
观察下图：
如果直线AT是⊙O 的切线，A 为切点，那么AT和半径OA是不是一定垂直？
A
T
O
如果AT是 ⊙O的切线，A为切点，那么AT⊥OA.
你能说明理由吗？
A
T
M
反证法：
假设AT与OA不垂直则过点O作OM⊥AT,垂足为M，
根据垂线段最短，得OM＜OA，
即圆心O到直线AT的距离d＜R，
∴直线AT与⊙O 相交，
这与已知“AT是⊙O 的切线”矛盾，
∴假设不成立，即AT⊥OA.
O
几何符号语言：
∵AT是⊙O的切线，A为切点，
∴AT⊥OA.
O
A
T
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
练一练
按图填空：
(1)如果AB切⊙O于A，那么
A
O
B
(2)如果半径OA⊥AB，那么AB是 .
切点
(3)如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是 .
切线
⊥
OA
AB.
例题讲解
例1 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，BD和过点C的切线CD垂直，垂足为D.
求证：BC平分∠ABD.
证明： 连接OC.
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD.
又∵BD⊥CD,
∴ BD∥OC.
∴∠1=∠2.
又OC=OB，
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3，即BC平分∠ABD.
l1
O
B
A
l2
例2 证明：经过直径两端点的切线互相平行.
已知：如图，AB是圆O的直径，l1,l2分别是经过点A，B的切线.
求证：l1//l2.
证明：∵AB是圆O的直径，l1是过点A的切线，
∴ l1⊥OA.
同理 l2⊥OB.
∴ l1⊥AB，且l2⊥AB.
∴ l1//l2.
例3 如图，AB是⊙O的直径，DC切⊙O于点C，连接CA，CB，AB＝12 cm，∠ACD＝30°，求AC的长．
解：连接OC.因为DC是⊙O的切线，
所以OC⊥DC，而∠ACD＝30°.
所以∠ACO＝60°.
又因为OA＝OC，
所以△AOC是等边三角形，
所以AC＝OA＝AB＝ ×12＝6(cm)．
切线性质的应用及辅助线的作法：
(1)如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；
②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
(2)辅助线的作法：连切点、圆心，得垂直关系．
随堂演练
1．如图1，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C.若∠P＝20°，则∠A＝____°.
2．如图2，PA是⊙O的切线，A是切点，PA＝4，OP＝5，则⊙O的周长为______(结果保留π)．
35
图1
6π
图2
3.如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝6 cm，PB＝8 cm，则BC＝____cm.
4.8
4．已知：如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为4，AB＝8.求OB的长．
解：因为AB与⊙O相切于点C，
所以OC⊥AB.
因为OA＝OB，
所以C是AB的中点．
由已知，得OC＝2，BC＝4.
在Rt△OBC中，由勾股定理，
得OB＝＝2 .
课堂小结
①切线和圆有且只有一个公共点
③圆的切线垂直于经过切点的半径
②切线和圆心的距离等于半径
1.切线性质：
2.能运用切线性质定理进行计算与证明
3.掌握常见的关于切线辅助线作法