湘教版数学九年级下册 2.5.4 三角形的内切圆 同步课件 (共15张PPT)

(共15张PPT)
第2章 圆
2.5.4　三角形的内切圆
情景引入
想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板,应当怎样剪 你觉得以下几种情况，哪一种情况的圆面积最大？
如图,为了使圆形纸板的最大,这个圆应当与三角形的三条边都尽可能贴近.
A
B
C
①
A
B
C
②
A
B
C
③
A
B
C
④
第②种面积最大
·
C
A
B
l
C
A
B
由此猜想:这个圆应当与三角形的三条边都________.
相切
与三角形的三条边都相切的圆存在吗 如果存在,那么如何画出这样的圆
获取新知
因此圆心O是∠A的___________与∠B的___________的_____点.
如果与△ABC的三条边都相切,那么圆心O 到三条边的距离都等于_____,从而这些距离相等.
我们已经知道,到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上,
半径
角平分线
交
·
C
A
B
角平分线
O
探究活动一 画一个圆关键是确定圆心和半径，如何确定与三角形的三条边都相切的圆的圆心和半径？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：
（1）作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
（2）过点O作OD⊥BC.垂足为D.
（3）以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
M
N
D
探究活动二 如何画一个圆与三角形的三条边都相切
A
B
C
O
（3）类似地,BC 与圆O 相_______.
探究活动三 上面所作的圆O真的与△ABC的三条边都相切吗
（1）由于圆心O到AB 的距离等于OM 的长,即等于半径,因此AB与圆O 相_____;
（2）由于圆心O 在∠BAC 的平分线上,因此圆心O到AC 的距离与O 到AB 的距离_______，从而也等于______,所以AC 与圆O 相______;
切
切
相等
半径
切
A
B
M
C
·
D
· O
与三角形的三条边都相切的圆有且只有一个.
探究活动四 与△ABC的三条边都相切的圆有几个
根据探究活动一的结论，与△ABC的三条边都相切的圆，其圆心是∠A的平分线与∠B的平分线的交点O，其半径等于O到AB的距离，因此与△ABC的三条边都相切的圆只有一个。
结合探究活动二的画法得出:
C
A
B
从而圆心O在△ABC的每个内角的_________上,
三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆
内切圆的圆心叫作三角形的内心
这个三角形叫作圆的外切三角形
设点O是△ABC 的内心
由于AB,BC,AC 都与圆O相切,
因此圆心O 到AB,BC,AC 的距离都等于______
半径
平分线
C
A
B
·
O
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条角平分线的交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
O
A
B
C
O
A
B
C
总结：
例题讲解
例1 在△ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠ A=70°，
求∠ BOC的度数。
A
B
C
O
解：∵∠ A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°
∵⊙O是△ABC的内切圆
∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线
即∠ OBC= ∠ABC ∠OCB= ∠ACB
∴∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠OCB)
=180°- ( ∠ABC +∠ACB)
=180°- ×110°
= 125°.
例2 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.
求Rt△ABC的内切圆的半径 r.
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连接OD、OE、OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.
B
·
A
C
E
D
F
O
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
则有
x＋r＝b
y＋r＝a
x＋y＝c
解得
r＝
a＋b－c
2
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径
r＝ 或 r＝
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
随堂演练
1．三角形的内心是(　　)
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
2．已知点O是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BOC的度数为(　　)
A．100° B．115° C．130° D．125°
B
B
3．如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝____°.
90
随堂演练
4．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，M是⊙O上一点．若∠EMF＝55°，则∠A＝______°.
5．有一块直角三角形的白铁皮，其两条直角边长分别为6 cm和8 cm.若从这块白铁皮上剪出一块尽可能大的圆铁皮，则这块圆铁皮的面积为_____cm2.
70
4π
三角形内切圆半径的计算方法：
若三角形的三边长分别为a，b，c，内切圆的半径为r内，三角
形的面积为S，则有：
①S＝(a＋b＋c)·r内； ②r内＝ .
(2)直角三角形中，a，b为直角边长，c为斜边长，内切圆半径为r内，则有
r内＝ .
课后小结
只适合于直角三角形
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内切圆
应用
重要结论
内心(三角形三条角平分线的交点)
外切三角形