湘教版数学九年级下册2.5.3 切线长定理 同步课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
第2章 圆
2.5.3　切线长定理
情景引入
50°
1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
2、这样的切线能画出几条？
如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线。
3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数。
130°
2条。
130°
O
P
A
B
获取新知
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长.
·
O
P
A
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
切线长概念
如图，PA,PB的长度是点P
到⊙O的切线长.
切线和切线长是两个不同的概念：
1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
O
P
A
B
切线和切线长
PA=PB，OPA=∠OPB
我们猜测过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.接下来我们验证这个猜测.
思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么
请证明你所发现的结论。
B
P
O
A
证明：∵PA，PB与⊙O相切，
点A，B是切点,
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°.
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)，
∴ PA = PB，∠OPA=∠OPB.
A
B
P
O
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
几何语言：
∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，
∴PA=PB， ∠APO=∠BPO ，
OP⊥AB， OP平分AB.
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
切线长定理
练一练
知识点一 切线长定义
过圆外一点作圆的切线，这点和 的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
知识点二 切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等；这一点和圆心的连线平分 ，垂直平分切点所成的 ，平分切点所成的两 .
切点
切线长
两条切线的夹角
弦
弧
例题讲解
例1 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD.
求证：CO∥BD.
分析：连接AB，因为AD是直径，那么∠ABD=90°，即BD⊥AB.因此要证CO∥BD,只要证CO⊥AB即可.
证明：连接AB.
∵CA和CB是⊙O的切线,点A,B为切点，
∴CA=CB,∠ACO=∠BCO.
∴CO⊥AB.
∵AD是⊙O的直径.
∴∠ABD=90°，即BD⊥AB.
∴CO∥BD.
例2 如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，Q为上一点，过点Q作⊙O的切线，分别交PA，PB于点E，F.已知PA＝12 cm，∠P＝70°.求：
(1)△PEF 的周长；
(2)∠EOF 的度数．
解：(1)∵PA，PB，EF是⊙O的切线，
∴PA＝PB，EA＝EQ，FQ＝FB，　
∴△PEF的周长为PE＋PF＋EQ＋FQ＝PA＋PB＝24(cm)．
(2)连接OA，OB，OQ.
∵PA，PB，EF是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，EF⊥OQ，
∠AEO＝∠QEO，∠QFO＝∠BFO，
∴∠AOE＝∠QOE，∠BOF＝∠QOF.
又∵∠AOB＝180°－∠P＝110°，
∴∠EOF＝∠AOB＝55°.
解决切线长问题常见的辅助线作法：
(1)连接圆心和切点；
(2)连接两个切点；
(3)连接圆心和两切线的交点．
随堂演练
1．如图1，PA，PB切⊙O于点A，B，PA＝8，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，则△PCD的周长是(　　)
A．8 B．18 C．16 D．14
2．如图2，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB＝50°，则∠AOP＝____°.
C
65
图1
图2
3. 如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F.如果AF=2cm，BD=7cm，CE=4cm,则BC=_______， AC= _____,AB=______
11cm
6cm
9cm
B
D
A
C
F
E
2
7
4
4．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.
求证：AC＝BC.
证明：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.
又∵PC＝PC，
∴△APC≌△BPC，
∴AC＝BC.
切线长
切线长定理
作用
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
内容
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点
之间的线段的长.
课堂小结