湘教版数学九年级下册2.7正多边形与圆 同步课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
第2章 圆
2.7 正多边形与圆
情景引入
多姿多彩的正多边形:生活中的正多边形图案
新知探究
观察下列图形他们有什么特点？
它们的各边都相等，各内角也相等.
正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
1.正多边形的各边相等
2.正多边形的各角相等
正多边形的性质：
菱形是正多边形吗？矩形呢？正方形呢 为什么？
菱形, 矩形都不是正多边形,正方形是正多边形.
×
四角不全相等
四边不全相等
四边相等，四角也相等
×
√
1. 已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC= ∠COA=120°，与⊙O的交点分别为A,B,C．
②依次连AB,BC,CA，则三角形ABC就是所求作的⊙O的内接正三角形，如图所示.
怎样画一个正多边形呢？
由于在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，因此可以用量角器将圆心角n等分，从而使圆n等分，依次连接各等分点，可得到一个正n边形.
120 °
A
O
C
B
用量角器等分圆：
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个 的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”.
这种方法简便，且可以画任意正多边形、误差小．
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
·
A
B
C
D
O
·
A
B
C
D
E
O
O
A
B
C
D
E
F
·
90°
72°
60°
练一练
2. 已知⊙O的半径为r ，求作⊙O的内接正六边形.
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 ，
所以正六边形的边长与圆的半径 .
因此，在半径为r的圆上依次截取等于 的弦，
即可将圆六等分.
60
相等
r
作法：(1)作⊙O的任意一条直径BE；
(2)分别以B，E为圆心，以r为半径作弧，与⊙O
交于点A，C和F，D；
(3)依次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，便
得到正六边形ABCDEF即为所求.
. O
B
E
C
D
F
A
你能说明这么作图的依据吗？连续的在圆上截取半径为r的弦有什么问题吗？
用尺规等分圆：
用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上讲是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在作图的误差．
E
F
C
D
.
O
中心角
半径R
边心距r
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:外接圆的半径
正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离.
将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形叫做这个圆的内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆。
E
F
C
D
.
O
中心角
A
B
G
边心距把△AOB分成2个全等的直角三角形
设正多边形的边长为a,半径为R,边心距为r，
R
a
面积
它的周长为L=na.
r
你能尺规作出正四边形、正八边形吗？
·
A
B
C
D
O
只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形；
再过圆心作各边的垂线与⊙O相交(或作各中心角的角平分线与⊙O相交)即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
练一练
轴对称图形
轴对称图形
轴对称图形；中心对称图形，对称中心为对称轴的交点
观察下列正多边形，哪些是轴对称图形，哪些是中心对称图形,并画出其对称轴或找出其对称中心.
正三角形
（奇数边）
正方形
（偶数边）
正五边形
（奇数边）
我们可以得出哪些结论？
1.正多边形都是轴对称图形。
2.当n为奇数时，正多边形仅为轴对称图形；当n为偶数时，正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形。
1. 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心.
2. 一个正n边形绕它的中心旋转所得的图形与这个正n边形重合.
3. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.此时，正n边形有条对称轴是顶点和中心的连线，有条对称轴是过中心与边垂直的直线。
4. 边数是奇数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.此时，正n边形的n条对称轴是顶点与中心的连线。
正n边形(n为偶数)是中心对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的中心.
正三角形 正方形 正五边形 正六边形
是 否 中 心 对 称 图 形
是 否 旋 转 对 称 图 形
绕 中 心 旋 转 最 少 角 度 数
×
√
×
√
√
√
√
√
120°
90°
72°
60°
归纳总结
例题讲解
例1 用尺规作圆的内接正方形.
已知：如图，⊙O.
求作：正方形ABCD内接于⊙O.
你能简单说明下如何用尺规做出两条垂直的直径吗？
作法：
(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.
(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.
由作图过程可知，四个中心角都是90°，
所以AB=BC= CD=DA.
因为AC，BD都是直径，
所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°.
即四边形ABCD为⊙O的内接正方形.
例2：有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
F
A
D
E
.
O
B
C
r
R
P
解:
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
1．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为_____．
54°
随堂演练
2．边长为a的正六边形的中心到边的距离是____，周长是_____，面积是________．
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于_____．
6a
2π
4．如图，已知圆O的半径为R，OD⊥BC于点D，
求它的内接正三角形ABC的边长．
课堂小结
圆内接正多边形
正多边形和圆的关系
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正n边形各顶点等分其外接圆.