湘教版数学九年级下册2.2.2圆周角定理及其推论 同步课件(共19张PPT)

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第2章 圆
2.2.2 圆周角定理及其推论1
复习引入
1.什么叫圆心角
.
O
A
B
顶点在圆心的角叫圆心角
2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.
.
O
A
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C，观察得到的∠ACB有什么特征？
C
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角.
B
探究点一 圆周角的概念
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边与圆相交的角叫做圆周角.
获取新知
我们把∠ACB叫作所对圆周角， 叫作圆周角∠ACB所对的弧.
探究点二 圆周角定理
圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们从团旗上的图案抽象出如图所示图形，图形中就有很多圆周角．
E
·
A
O
D
B
C
每位同学画一个圆，然后任意画一个圆周角，以及相应的圆心角（它所对的弧也是圆周角所对的弧），量出它们的度数，看它们之间有什么关系？
·
O
A
C
B
量出∠BAC与∠BOC的度数，它们有什么关系？
∠BAC= ∠BOC
与同桌或邻近桌的同学交流，猜测一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系．你能证明这个猜测吗？
猜测：同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.
变动点的位置，看看上述结论是否依然成立？
变动点的位置，圆周角的度数没有变化，它的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.
验证:
为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相对位置关系分三种情况来证明：
（1）圆心在圆周角的一边上；
（2）圆心在圆周角的内部；
（3）圆心在圆周角的外部
动态演示
我们先来证第（1）种情况：圆心在圆周角的一边上；
证明：∵ OB=OP，
∴∠P=∠B.
∵∠AOB是△OBP的外角，
∴∠P=∠AOB.
证明第（2）情况：圆心在圆周角的内部；
连结PO并延长交⊙于C
由（1）可知：
∠APC= ∠AOC，
∠BPC= ∠BOC，
∴ ∠APC+ ∠BPC= （ ∠AOC+ ∠BOC），
即∠APB= ∠AOB.
证明第（3）种情况：圆心在圆周角的外部
连结PO并延长交⊙O于C，
由（1）可知：
∠APC= ∠AOC，
∠BPC= ∠BOC，
∴ ∠BPC- ∠APC = （ ∠BOC- ∠AOC ），
即∠APB= ∠AOB.
圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半．
圆周角定理
例1 如图，∠A是圆O的圆周角,∠A=40°，求∠OBC的度数。
O
C
B
A
例题讲解
如图，∠A、∠A1、∠A2和∠A3都是弧BC所对的圆周角，那么他们相等吗？
因为∠A、∠A1、∠A2和∠A3所对弧上的圆心角均为∠BOC，由圆周角定理可知∠A=∠A1=∠A2=∠A3.
A1
A2
A3
获取新知
在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
动态演示
圆周角定理的推论
例2 如图，OA，OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°，求∠ACB和∠BAC的度数.
解：∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB
所对的弧为 ,
∴∠ACB = ∠AOB=25°.
同理∠BAC = ∠BOC=35°.
例题讲解
1、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
不是
不是
图１
图２
图３
图４
图５
随堂演练
2.圆周角的两个特征：
（1） ，
（2）___________________.
3.在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_____.
顶点在圆上
两边都与圆相交
一半
4．如图1，A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC＝_____°.
150
图1
5. 如图2，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角，若∠BCD=25°，则∠AOD= .
图2
130°
O
A
B
C
D
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）