鲁教版（五四制）七年级数学上册 第三章 勾股定理 单元测试（含解析）

鲁教版数学七上勾股定理单元测试
（共21题）
一、选择题（共10题）
如图，在 的网格中，点 ，， 都在格点上，每个小正方形的边长为 ，则 的值为
A． B． C． D．
以下列长度的线段为边长作三角形，可以构成直角三角形的是
A． ，， B． ，， C． ，， D． ，，
如图所示，小颖利用有一个锐角是 的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离 为 ， 为 （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是
A． B． C． D．
如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为 的正六边形，则原来的纸条宽为
A． B． C． D．
如图，点 ，， 在 上，， 是 的切线，点 为切点， 的延长线交 于点 ，若 的长为 ，则 的长是
A． B． C． D．
如图， 是 的内接三角形，，， 是直径，，则 的长为
A． B． C． D．
如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 ，点 ，， 均在网格交点上， 是 的外接圆，则 的值为
A． B． C． D．
如图，在 中，，， 平分 ，交 于点 ，，垂足为 ．若 ，则 的长为
A． B． C． D．
如图，平面直角坐标系中，点 在第一象限，点 在 轴的正半轴上，，．将 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点 的坐标是
A． B．
C． D．
为宣传上海世博会，小亮设计了形状如图所示的彩旗，其中 ，，点 在 上，，则 的长为
A． B． C． D．
二、填空题（共5题）
如图，在 中，，，，则 ．
等腰直角三角形中，若斜边长为 ，则直角边的长为 ．
如图，在 中，，点 是 上一点，，若 ，，则 ．
如图，点 是正方形 内一点，且点 到点 ，， 的距离分别为 ，，，则正方形 的面积为 ．
如图，在 中，，， 是斜边 上两点，且 ，将 绕点 顺时针旋转 后，得到 ，连接 ，下列结论：① ；② ；③ ，
其中正确的是 ．（填序号）
三、解答题（共6题）
如图，已知 ，垂足为 ，，，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到线段 ，连接 ，．
(1) 线段 ；
(2) 求线段 的长度．
如图， 为 的直径，， 为 上的两个点，，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ．
(1) 求证： 是 的切线；
(2) 若直径 ，求 的长．
如图，在 中，，以 为直径的 交 边于点 ，过点 作 ，与过点 的切线交于点 ，连接 ．
(1) 求证：；
(2) 若 ，，求 的长．
如图，在正方形 中，， 是对角线 上两点，且 ，将 绕点 顺时针旋转 后，得到 ，连接 ，求证：
(1) 是 的平分线；
(2) ．
如图， 中，，，，若点 从点 出发以每秒 的速度向点 运动，设运动时间为 秒．
(1) 若点 恰好在 的平分线上，求出此时 的值；
(2) 若点 使得 ，求出此时 的值．
探究问题：
(1) 阅读理解：
①如图（A），在 所在平面上存在一点 ，若它到 三个顶点的距离之和最小，则称点 为 的费马点，此时 的值为 的费马距离．
②如图（B），若四边形 的四个顶点在同一个圆上，则有 ，此为托勒密定理．
知识迁移：
①请你利用托勒密定理解决如下问题：
如图（C），已知点 为等边 外接圆的 上任意一点．求证：；
②根据（）①的结论，我们有如下探寻 （其中 ，， 均小于 ）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图（D），在 的外部以 为一边作等边 及其外接圆；
第二步：在 上任取一点 ，连接 ，，，．易知 ；
第三步：请你根据（）①中定义，在图（D）中找出 的费马点 ，则线段 的长度即为 的费马距离．
(2) 知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到该市某地打井取水．已知三村庄 ，， 构成了如图（E）所示的 （其中 ，， 均小于 ），现选取一点 打水井，使从水井 到三村庄 ，， 所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】D
【解析】如图，过点 作 于点 ，
易得 ，，
边上的高 ，
在 中，，
．
【知识点】正弦、勾股定理
2. 【答案】D
【解析】根据勾股定理的逆定理判断：验证两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方．
【知识点】勾股逆定理
3. 【答案】A
【解析】 在 中，，，
，，
．
【知识点】勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半
4. 【答案】C
【解析】如图，过点 作 于点 ，
由题意可知， 是边长为 的等边三角形，
在 中，
，，
，
即原来的纸条宽为 ．
【知识点】等边三角形是轴对称图形、正多边形的有关计算、勾股定理
5. 【答案】B
【解析】 是 的切线，点 为切点，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理、切线的性质、圆周角定理及其推理
6. 【答案】B
【解析】连接 ，
，，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理、圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推理
7. 【答案】B
【解析】如图，作直径 ，连接 ，
由勾股定理得 ，在 中，，
，
．
【知识点】圆周角定理及其推理、勾股定理、余弦
8. 【答案】A
【解析】如图，过 作 于 ．
因为 平分 ，，，
所以 ．
在 中，，
所以 ，
在 中，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
【知识点】角平分线的性质、勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半
9. 【答案】A
【解析】如图，过点 作 轴于 ．
由旋转的性质可知，，，，
在 中，
，，
，
，，
，
的坐标是 ．
【知识点】勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半、坐标平面内图形的旋转变换
10. 【答案】B
【解析】 ，，
，
，
在 中，，，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质、勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半
二、填空题（共5题）
11. 【答案】
【解析】在 中，，，，
，
．
【知识点】余弦、勾股定理
12. 【答案】
【解析】设等腰直角三角形的直角边长为 ，由勾股定理得 ，则 ，，故答案为 ．
【知识点】勾股定理、等腰直角三角形
13. 【答案】
【解析】设 ，则 ，
在 中，，
在 中，，
，
，解得 ，
．
【知识点】勾股定理
14. 【答案】
【解析】如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，过点 作 于 ．
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，， 三点共线，
，
，
，
，
，
正方形 的面积为 ．
【知识点】勾股定理、旋转及其性质、正方形的性质
15. 【答案】①③
【解析】如图，
由已知得，，
又 ，
，
由旋转的性质得，，，
，
又 ，
，故①正确．
，，
，
由旋转的性质知 ，
，
在 中，，
由 ，得 ，
由旋转的性质得 ，
，故③正确，②不正确．
综上，①③正确．
【知识点】勾股定理、旋转及其性质
三、解答题（共6题）
16. 【答案】
(1)
(2) 过点 作 于点 ，
因为 是等边三角形，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以在 中，，，
所以 ．
所以在 中，．
【解析】
(1) 因为 ，，
所以 是等边三角形，
所以 ．
【知识点】旋转及其性质、勾股定理
17. 【答案】
(1) 如图，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的切线．
(2) 如图，连接 ，
为 的直径，
，
，，
，
．
【知识点】圆周角定理及其推理、弧、弦、圆心角的关系定理、30度所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、切线的判定
18. 【答案】
(1) ，
．
，
，
，
是 的直径，
．
是 的切线，
．
，
，
．
又 ，
，
．
(2) ，，
．
在 中，．
在 中，，
即 的长为 ．
【知识点】圆周角定理及其推理、切线的性质、勾股定理
19. 【答案】
(1) 将 绕点 顺吋针旋转 后，得到 ，
，，，
，
，
，
．
在 和 中，
，
，
是 的平分线．．
(2) 由（）得 ，
，
由旋转知 ，
又 ，
，即 ．
在 中，，
则 ．
【知识点】旋转及其性质、勾股定理、边角边
20. 【答案】
(1) 作 于 ，如图，，
，，，
，
平分 ，
，
，
，
解得 ，
即此时 的值为 ．
(2) ，，
，
在 中，
，
，解得 ，
即此时 的值为 ．
【知识点】勾股定理、角平分线的性质
21. 【答案】
(1) ①由托勒密定理可知 ．
是等边三角形，
，
．
② ；
点 的位置（ 与 的交点）如图所示：
(2) 以 为一边作如图所示的等边 ，连接 ，则线段 的长即为 的费马距离．
为等边三角形，，
，，
，
，
在 中，
，，
，
从水井 到三村庄 ，， 所铺设的输水管总长度的最小值为 ．
【知识点】等边三角形的概念、勾股定理、等边三角形三个角相等，都等于60°