上海市聚能教育2022-2023学年高一上学期开学考数学试题(含解析)

上海市聚能教育2022-2023学年高一上学期开学考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．计算：___________.
2．已知，，则______
3．已知：点 在反比例函数的图像上，则a___________b（用“>”“=” “<”填）.
4．已知抛物线的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线；②当时，；③方程无实数根．其中正确的说法是___________.（只填写序号）.
5．如图.在中，，为三角形内部一点，其，.则的面积为___________.
6．已知为实数，且，则的值是________.
7．已知方程的两个根为，则的值为________.
8．已知等式恒成立，其中，，为常数，则__________.
9．已知，则代数式__________．．
10．在平面直角坐标系中，对于任意两点的“破晓距离”，给出如下定义：若，则点与点的“破晓距离”为；若，则点与点的“破晓距离”为．例如：点，点，因为，所以点与点的“破晓距离”为，也就是线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）.已知是直线上的一个动点，点D的坐标是，则当点C与点D的“破晓距离”取最小值时相应的点C的坐标为___________.
二、单选题
11．对于等式下列说法中正确的是.
A．对于任意x∈R,等式都成立 B．对于任意x∈R,等式都不成立
C．存在无穷多个x∈R,使等式成立 D．等式只对有限个x∈R成立
12．已知均为正整数，且满足，则（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
13．100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元.那么一个人最多有（ ）元.
A．216 B．218 C．238 D．236
14．函数与的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
三、解答题
15．阅读下面的材料，然后解析问题：
我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的k倍的三角形叫做“k倍三角形”（k为正实数）．
(1)请根据“k倍三角形”的定义填空（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
① 当时，k倍三角形一定是 三角形；
② 当时，k倍三角形一定是 三角形．
(2)探究：当时，已知为“k倍三角形”，且，，求所有满足条件的k值．
(3)拓展：若是“k倍三角形”，且，，，．当时，求的值．
16．如图，点，在反比例函数的图象上，经过点A B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D.
（1）若，求n的值；
（2）求的值；
（3）连接OA OB，若，求直线AB的函数关系式.
17．已知a为常数，设函数的表达式为．
(1)若函数为偶函数，求a的值；
(2)若，求函数的最小值；
(3)若方程有两个不相等的实数解、，且，求a的取值范围．
18．已知，求的值.
19．已知正实数，，满足：，且.
(1)求的值.
(2)证明：.
20．如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，作直线.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，连结.当面积最大时，求点的坐标；
（3）如图，在（2）的条件下，过点作于点交轴于点将绕点旋转得到在旋转过程中，当点或点落在轴上(不与点重合)时，将沿射线平移得到，在平移过程中，平面内是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【详解】原式.
故答案为：．
2．【分析】利用分母有理化分别化简，，进而可求出，以及，再通过平方差公式和完全平方公式化简要求的代数式，将所求代入即可．
【详解】，
，
则，，
故答案为：
3．【分析】结合题意求出，即可求解
【详解】由点在反比例函数的图像上，
得，
由在反比例函数的图像上，
得，
因为，所以，
故答案为：
4．①②③【分析】根据图像确定二次函数图像的对称轴，与轴交点的横坐标，函数的最小值然后判断．
【详解】①由图像知对称轴是直线，正确；
②由对称性得是方程的另一根，因此当时，函数图像对应的点在轴下方，因而，正确；
③函数的最小值是，因而函数值必须不小于，
因而方程无实数根，正确.
故答案为：①②③．
5．【分析】过作与的垂线，得到矩形，设矩形的长与宽，以及等腰的直角边，根据，，利用勾股定理构造方程，整理化简，然后利用面积差，整体代入求解的面积.
【详解】过作于于，
则四边形是矩形，设，
所以，
因为，根据勾股定理可得，
，所以，所以，
所以.
故答案为：.
6．【分析】计算，再根据，带入数据计算得到答案.
【详解】，故，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了代数式的运算，属于简单题.
7．12【分析】利用韦达定理即可求解.
【详解】解：由韦达定理得，，
所以.
故答案为：12.
8．【分析】本题首先可将等式转化为，然后根据等式恒成立即可得出结果.
【详解】因为等式恒成立，
所以恒成立，
则.
故答案为：
9．2【分析】根据绝对值和二次根式的定义化简．
【详解】因为，则，
所以．
故答案为：2．
10．【分析】过点C作x轴的垂线，过点D作y的垂线，两条垂线交于点M，连接CD．当点C在直线上方且使为等腰直角三角形时，点C与点D的“破晓距离”最小，根据新定义证此结论成立，然后求出即得．
【详解】过点C作x轴的垂线，过点D作y的垂线，两条垂线交于点M，连接CD.
当点C在点D的后上方且使为等腰直角三角形时，
点C与点D的“破晓距离”最小.理由如下：
记此时C所在位置的坐标为.
当点C的横坐标大于时，线段CM的长度变大，
由于点C与点D的“破晓距离”是线段CM与线段MD长度的较大值，
所以点C与点D的“破晓距离”变大：
当点C的横坐标小于时，线段MD的长度变大，
点C与点D的“破晓距离”变大.
所以当点C的横坐标等于时，点C与点D的“破晓距离”最小.
因为，所以，
解得，所以点C的坐标是.
故答案为：．
11．C【详解】因为， ，显然成立．所以存在无穷多个x∈R,使等式成立．
12．D【分析】根据表达式进行转化．
【详解】，
∴，∴．
故选：D．
【点睛】本题考查小数与分数的转化，掌握分数的变形是解题基础．
13．B【分析】由题可得存在9人的钱数的和不少于162元，结合条件进而即得.
【详解】因为任意10个人的钱数的和不超过380元，
所以任意90个人的钱数的和不少于1620元，
所以存在9人的钱数的和不少于162元，
所以一个人最多能有元.
故选：B.
14．D【分析】的图象为过原点的折线，关于y轴对称，的图象是直线，斜率为1，按的正负分类作出图象后，分析可得．
【详解】的图象为过原点的折线，关于y轴对称，
分两种情况讨论，①当a>0时，的图象过第一 二象限，直线斜率为1，
当a>0时，直线过第一 二 三象限，若使其图象恰有两个公共点，如图1，必有a>1；
②当a<0时，过第三 四象限；而y=x+a过第二 三 四象限，若使共图象恰有两个公共点，如图2，必有,
故选：D.
　　　　　　　　　图1
　　　　　　　　图2
15．(1)① 直角；② 钝角；
(2)2、3、5；
(3)
【分析】（1）当，时，直接由三边平方关系判断三角形形状即可；
（2）考虑或为斜边，先由勾股定理求出边长，再由k倍三角形的定义分情况求出即可；
（3）由勾股定理结合k倍三角形的定义联立方程组，用表示出即可求解.
（1）
设三角形的三边分别为，① 当时，可得，则k倍三角形一定是直角三角形；
② 当时，可得，则k倍三角形一定是钝角三角形；
（2）
当时，又为直角三角形，当为斜边时，则，即，解得，
又为“k倍三角形”，则或，解得（舍去）或；
当为斜边时，则，即，则，又为“k倍三角形”，
则或或，解得或或（舍去）；
综上：k的值为2、3、5；
（3）
由，，，可得，又是“k倍三角形”，，
则或，联立方程组可得或，解得或，
则或，即.
16．【分析】（1）先把A点坐标代入求出k的值得到反比例函数解析式为，然后把代可求出n的值；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m＝k，﹣4n＝k，然后把两式相减消去k即可得到m+n的值；
（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，利用正切的定义得到tan∠AOE，，则，加上，于是可解得，从而得到，，然后利用待定系数法求直线AB的解析式．
【详解】（1）当m＝2，则A（2，4），
把A（2，4）代入得k＝2×4＝8，
所以反比例函数解析式为，
把代入得﹣4n＝8，解得n＝﹣2；
（2）因为点A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函数的图象上，
所以4m＝k，﹣4n＝k，
所以4m+4n＝0，即m+n＝0；
（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，
在Rt△AOE中，tan∠AOE，
在Rt△BOF中，，
而tan∠AOD+tan∠BOC＝1，
所以，
而m+n＝0，解得m＝2，n＝﹣2，
则A（2，4），B（﹣4，﹣2），
设直线AB的解析式为y＝px+q，
把代入得，解得，
所以直线AB的解析式为y＝x+2．
17．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）由偶函数定义取特殊值计算可得；
（2）展开后用基本不等式可解；
（3）换元后转化为根据一元二次方程，由两根的关系直接解不等式可得.
(1)
因为为偶函数，
所以有，即，得
此时,满足，
(2)
因为，所以
所以当，即时y有最小值
(3)
令，因为单调递增，所以方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的正根，
记，，则，
因为，所以，即，
由求根公式得：，不妨设，
则，解得：，
又，即，
所以a的取值范围为：.
18．.【解析】先求出，再化简原式为，即得解.
【详解】.
由题得原式=
.
故答案为：21
【点睛】本题主要考查因式分解、配方和求代数式的值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）已知等式化简得，求值式通分后可得结论；
（2）作差后，凑配成非负数的和，即证．
（1）
由等式，
去分母得，
，
，
∴，∵，∴，
∴，∴，
∴原式.
（2）
由（1）知，又，，为正实数，
，
∴
.
所以.
20．(1);(2)；(3) 所有符合条件的点坐标为或【分析】(1)分别根据对称轴方程,再代入点的坐标进行求解即可.
(2) 过作轴交于,进而根据表达出关于的横坐标的表达式,再根据二次函数的最值求解即可.
(3)分两种情况,设平移的距离为,再根据菱形满足即可求得,进而根据菱形的性质可求得
【详解】抛物线对称轴为.
且点的坐标为.点的坐标为
.解得
抛物线的解析式为
(2)过作轴交于.设,
设的解析式为,则,解得.
故的解析式为.则
则
.
故当时,取最大值.此时
(3) 存在,所有符合条件的坐标为,.
提示：.
①当落在轴上时,如图,点,,
设平移距离是,则,.
由得 ,解得.
此时,,所以.
②当落在轴上时,如图,点,,
设平移距离是,则,.
由得 ,解得.
此时,,所以.
综上所述,所有符合条件的点坐标为或
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解,同时也考查了抛物线上的点构成的三角形的面积最值问题.也考查了三角形旋转以及是否存在点满足条件的问题.需要根据题意,利用二次函数与菱形的性质建立适当的等式进行求解.属于难题.
答案第1页，共2页
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