1.1.2 空间向量的数量积运算 同步训练-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册(含答案)

1.1.2 空间向量的数量积运算（同步训练）
1.设a，b，c是任意的非零向量，且它们互相不共线，则下列命题：
①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；
③(a·b)c－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2．
其中正确的有(　　)
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
2.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
3.在正四面体P－ABC中，棱长为1，且D为棱AB的中点，则·的值为(　　)
A.－ B.
C.－ D.
4.已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|等于(　　)
A.22 B.48
C.28 D.32
5.设a，b，c为非零向量，则(a·b)·c(　　)
A.是三个向量的数量积 B.是与a共线的向量
C.是与c共线的向量 D.无意义
6.已知非零向量b在非零向量a方向上的投影为零，则向量a，b的关系是(　　)
A．a∥b B．a⊥b
C．a与b相交 D．a与b重合
7.已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，若m⊥n，则λ＝(　　)
A．－1 B．－
C．－2 D．1
8.(多选)(2021年邢台月考)下列关于数量积的运算正确的是(　　)
A．|a·b|＝|a|·|b| B．|a－b|＝
C．(a·b)·c＝a·(b·c) D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
9.(多选)如图，在四面体A－BCD中，各棱长均为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　)
A．2· B．2· C．2· D．2·
二、填空题
10.如图，在 ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，则线段PC的长为________
11.如图，在空间四边形ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M，N分别是AB，AD的中点，则·＝________
12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面给出命题：
①|＋＋|2＝3||2；②·(－)＝0；
③与的夹角为60°；④此正方体体积为|··|．
其中错误命题的序号是__________
13.已知两个单位向量a，b的夹角为60°．
(1)若c＝λa＋b(λ∈R)，且b·c＝0，则λ的值为________；
(2)向量a＋b在b方向上的投影数量为________
三、解答题
14.如图，已知正四面体OABC的棱长为1，求：
(1)(＋)·(＋)；(2)|＋＋|．
15．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝．设＝a，＝b，＝c．
(1)试用a，b，c表示向量，；
(2)若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求直线AC与BD1所成的角．
参考答案：
一、选择题
1.D 2.A 3.D 4.A 5.C 6.B 7.B 8.BD 9.BD
二、填空题
10.答案：7 11.答案：－ 12.答案：③④ 13.答案：(1)－2或3　(2)
三、解答题
14.解：(1)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1．
(2)|＋＋|＝＝
＝＝．
15.解：(1)由向量的加减运算法则知＝＋＝a＋b，＝－＝b＋c－a．
(2)由题意知|a|＝|b|＝1，|c|＝，〈a，b〉＝90°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝120°，
·＝(a＋b)·(b＋c－a)＝a·c－a2＋b2＋b·c＝1··cos 120°－1＋1＋1·cos 120°＝－－＝－．
因为||＝．
||＝＝＝＝＝2，
所以cos〈，〉＝＝＝－．所以〈，〉＝120°，
即AC与BD1所成的角为60°．