1.2空间向量基本定理 同步训练-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册(含答案)

1.2 空间向量基本定理（同步训练）
一、选择题
1.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)
A.2a B.2b
C.2a＋3b D.2a＋5c
2.如图，设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)
A. B. C. D.
3.已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)
A.－　 B.－　
C.　 D.
4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为(　　)
A.a＋b－c B.a＋b＋c C.a－b＋c D.a＋b＋c
5.已知{e1，e2，e3}为空间向量的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，
d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值为(　　)
A.α＝，β＝－1，γ＝－ B.α＝－1，β＝，γ＝－
C.α＝－，β＝，γ＝－1 D.α＝－1，β＝－，γ＝
6.如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示向量＝(　　)
A.a－b＋c B.a＋b－c C.－a＋b＋c D.a＋b＋c
7.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)
A.(12，14，10) B.(14，12，10)
C.(10，12，14) D.(12，10，14)
8.(多选)(2021年张家口期中)下列说法中正确的是(　　)
A.空间向量的一个基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3一定都是非零向量
B.在空间向量基本定理中，若a＝0，则λ1＝λ2＝λ3＝0
C.若单位向量e1，e2的夹角为，则e1在e2方向上的投影向量是－e2
D.空间的基底是唯一的
9.(多选)(2021年青岛月考)已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是(　　)
A.＝＋＋ B.＝＋
C.＝＋＋ D.6＝＋2＋3
二、填空题
10.从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
11.已知在四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________
12.若{a，b，c}是空间向量的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________
13.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若向量在以{，，}为单位正交基底下的坐标为(1，x，y)，则x＝________，y＝________
三、解答题
14.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，M是PC的中点，问向量，，是否可以组成一个基底，并说明理由．
15.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示，；(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
参考答案：
一、选择题
1.D 2.A 3.D 4.D 5.A 6.A 7.A 8.ABC 9.AC
二、填空题
10.答案：－a＋b＋c 11.答案：3a＋3b－5c 12.答案：x＝y＝z＝0 13.答案：，
三、解答题
14.解：，，不可以组成一个基底．
理由如下：如图，连接AC，BD相交于点O，连接OM．
因为ABCD是平行四边形，所以O是AC，BD的中点．
在△BDM中，＝(＋)，
在△PAC中，M是PC的中点，O是AC的中点，
则＝，即＝＋，即与，共面．所以，，不可以组成一个基底．
15.解：(1)＝＋＝－＋－＝a－b－c，
＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．
(2)＝(＋)＝＋＝＋(－)＝－＋－＝－c＋a－b，
所以x＝，y＝－，z＝－1．