人教版九年级上册：24.2.2 第2课时 切线的判定和性质 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
24.2.2 第2课时 切线的判定和性质
第二十四章 圆
24.2.2 第2课时 切线的判定和性质
知识回顾
直线和圆的位置关系有哪几种？
d r;
d r;
直线和圆相切
直线和圆相离
d r.
●O
●O
相交
●O
相切
相离
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
<
=
>
直线和圆相交
情景导入
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
如何判断一条直线是否为切线呢？
获取新知
思考一
如图，⊙O的半径为r,在⊙O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA.
(1)圆心O到直线l的距离d与r的关系是______
(2)直线l和⊙O的位置关系是______
d=r
相切
知识点一：切线的判定
切线的判定定理：经过半径的________并且________于这条半径的直线是圆的切线.
外端
垂直
∵OA为⊙O的半径，
l ⊥ OA于A，
∴l为⊙O的切线.
符号语言：
定理成立的依据：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线，定理是此方法的另一种表述方式.
要点归纳
判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为不是垂直关系.
(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点.
在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径” 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
注意
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切.
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
归纳总结
例题讲解
例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.
分析：要证AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是＿＿＿＿＿＿＿就可以了.而OD是⊙O的半径，则只要证OE=OD.
⊙O的半径
证明： 过点O作OE⊥AC，垂足为E,连接OD,OA.
∵AB与⊙O相切于点D,
∴ ________.
又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点,
∴AO是∠BAC的平分线,
∴__________,即OE是⊙O的半径,
∴AC经过⊙O的半径OE的外端E，OE⊥AC,
∴AC是⊙O的切线．
OD⊥AB
OE=OD
例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线.
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　
∴ AB⊥OC.
∵OC是⊙O的半径,
∴AB是⊙O的切线.
O
B
A
C
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
证切线时辅助线的添加方法
例2
例1
获取新知
知识点二：切线的性质
思考二
如图，⊙O的半径为r，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？为什么？
解：OA⊥l,理由如下：
假设OA与直线l不垂直，则OA不是点O到直线l的垂线段.
过点O作OM⊥l于点M,OM的长为点O到直线l的距离d,
根据垂线段最短的性质，有OM直线l与⊙O相交,与已知矛盾 ,
故假设不成立 ,所以OA⊥l.
此为反证法
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
符号语言：
要点归纳
例题讲解
例3 如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,
OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=OP2，即r2+42=(2+r)2.
解得 r=3.
O
P
B
A
利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质或建立方程解题.
∴⊙O的半径为3.
1. 如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为 (　　)
A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6
B
随堂演练
2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是 .
相切
3. 如图,A,B是☉O上的两点,AC是过点A的一条直线.如果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数为　　时,AC才能成为☉O的切线.
60°
A
P
O
第2题
第3题
4. 如图，PA为⊙O的切线，切点为A，OP = 2，∠APO=30° ，求⊙O的半径.
解：连接OA，则OA为⊙O的半径，
因为PA是⊙O的切线，
所以OA⊥AP，
又∠APO＝30°，OP＝2，
所以OA＝ OP＝1，
即⊙O的半径为1.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
O
A
B
C
E
P
课堂小结
切线的判定
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时： 连切点，得垂直；
作垂直，得切点
常见辅助线
证切线时： 有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径
切线