人教版九年级上册24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
第二十四章 圆
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识回顾
如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
如图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.
思考1： 如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
O.
P
A
B
PA，PB是⊙O的切线吗？理由呢？PA与PB有什么数量关系？
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知识点一：切线长定理
切线长的概念
经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
A
P
O
B
知识要点
如图，线段PA，PB的长就是点P到⊙O的切线长．
P
B
C
O
切线是：
直线PB和PC
切线长是：
线段PB和PC的长度
切线长和切线的区别：
切线是直线，切线长是切线上一部分线段的长度
已知⊙O及⊙O外的一点P，PA与⊙O相切于A点， PB与⊙O相切于B点，PA=PB吗？你还有什么发现？
你能证明你所发现的结论吗？
PA=PB
∠APO=∠BPO
B
P
O
A
思考2：
已知⊙O及⊙O外的一点P，PA与⊙O相切于A点， PB与⊙O相切于B点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
B
P
O
A
证明：连接OA、OB.
∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点,
∴OA⊥PA，OB⊥PB ,即∠OAP=∠OBP=90°.
∵ OA=OB，OP=OP,
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL),
∴ PA = PB,∠APO=∠BPO.
验证结论：
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
符号表示：
∵ PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PA=PB ，∠APO=∠BPO .
切线长定理为证明线段相等，
角相等提供了新的依据。
B
P
O
A
知识要点
拓展归纳
PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.
B
P
O
A
C
E
D
（1）图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（2）图中与∠OAC和∠AOC相等的角：
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC
（3）图中所有的相等的线段：PA=PB，AC =BC，OA =OB.
（4）图中所有的全等三角形:
△AOP≌ △BOP，
△AOC≌ △BOC，
△ACP≌ △BCP.
（5）图中所有的等腰三角形:
△ABP ，△AOB
例题讲解
例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.
求证：AB+CD=AD+BC.
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H，
∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
·
A
B
C
D
O
E
F
G
H
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知识点二：三角形的内切圆
思考 李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大.下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下.
①
②
③
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B
C
A
D
E
F
O
☉O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心，△ABC是☉O的外切三角形.
知识要点
作法：
1. 作∠A的平分线AM；
2. 作∠B的平分线BN,与AM相交于点O;
3. 作OH⊥BC于点H;
4.以O为圆心，OH为半径作圆.
如何作 ABC的内切圆？
作圆，关键是找圆心和半径
A
B
C
M
N
O
H
⊙O 为所求作的 ABC的内切圆.
B
A
C
O
问题1 如图，☉O是△ABC的内切圆，那么AO、BO、CO有什么特点？
AO、BO、CO 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA.
知识点三：三角形的内心的性质
B
A
C
O
问题2 如图，☉O是△ABC的内切圆，过点O分别作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F、G，那么线段OE、OF、OG之间有什么关系？
E
F
G
OE=OF=OG
三角形内心的性质
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
B
A
C
I
E
F
G
AI、BI、CI 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE=IF=IG.
知识要点
例题讲解
例2 已知：在△ABC中，BC=9 cm，AC=14 cm，AB=13 cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，
求AF、BD和CE的长。
C
B
A
E
D
F
O
r
C
B
A
E
D
F
O
r
解：因为△ABC的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，由切线长定理知AE=AF,CE=CD,BD=BF，
∴AF+CE+BD= (AB+AC+BC) =18.
∵BD+CE=BD+CD=BC=9,
∴AF=18-9=9,
∴BD=BF=AB-AF=13-9=4,
∴CE=CD=BC-BD=9-4=5.
随堂演练
1.下列说法正确的是(　　)
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
C
2.如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是(　　)
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠1
D
3.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为(　　)
A．130° B．100° C．50° D．65°
A
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.
求证：DE∥OC.
∴∠DOC=∠BOC.
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED.
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴∠BOC=∠OED，
∴DE∥OC．
证明：连接OD，
∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠B=90°.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，
OD＝OB ，OC＝OC，
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），
课堂小结
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内心概念及性质
应用