2022-2023学年度第一学期高二开学考
数
学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题
目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内
作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.已知集合M={-1,0,1,2},集合N={x∈RIx2=x},则M∩N=
A.{1}
B.{0}
C.{0,1}
D.{-1,0}
2若复数：=2(i是虚数单位)的共轭复数是：，则-
4号
c5子
3.已知m,n是平面α内的两条不同的直线，则“直线lLm且1Ln”是“l⊥a”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.若cos2a
2,则sina·cosa=
sin a-4】
A.8
B、3
8
c
D
5.某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低
物流成本.已知购买x台机器人的总成本为P(x)
600+x+150(单位：万元).若要使每台机器人的
1
平均成本最低，则应买机器人
A.100台
B.200台
C.300台
D.400台
6.已知向量a是非零向量，b是单位向量，a,b的夹角为120°，且a⊥(a+b),则|a=
A
C.1
D.2
7.已知实数a,b,c满足3×2-2+1=0，且a=c+log2(x2-x+2)(x∈R),则a,b,c的大小关系是
A.a>b>c
B.b>a>c
C.a>c>b
D.c>b>a
【2022-2023学年度第一学期高二开学考·数学试卷第1页（共4页）】
8.设直三棱柱ABC-A,B,C,的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且AB=AC=AA,,∠BAC=
120°，则该直三棱柱的体积是
A.4V6
B.46
3
C.26
D.26
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题中正确的是
A.幂函数y=x3在(0，+)内是减函数
B函数)一在区间（1，+a)内是减函数
C.如果函数y=+在a,]上是增函数，那么它在[-b,-l上是减函数
D.若定义在R上的函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，且f(x)在直线x=a的右侧单减，则函数
f(x)在直线x=a的左侧单增
10.对于函数f(x)=sinx+
有如下四个判断，其中判断正确的是
sinx
A.f(x)的定义域是{xx≠kπ，k∈Z}
B.f(x)的最小值是2
C.π是f(x)的最小正周期
D人x)的图象关于直线x=受对称
11.已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点.当四边形ABCD满足下列什
么条件时，四边形MNPQ为矩形
A.AC⊥BD
B.AC=BD
C.A-BCD是正三棱锥
D.AB=AD,且CB=CD
12.如图，P为△ABC内任意一点，角A,B,C的对边分别为a,b,c,则
总有优美等式SAPc·P+SAc·P店+SAB·P元=0成立.此结论
称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有
A.若P是△ABC的重心，则有PA+PB+PC=0
B.若a·PA+b·PB+c·P元=0，则P是△ABC的内心
C.若A=B+2A元，则SAc:SAPc:SaPB=2:2:1
D若P是△AC的外心，且A=牙，则isin∠APC,丽+sin(LAPC)·P元=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.抛掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则(m-ni)(n+mi)(i是虚数单位)为实数的概率是
14.我们知道，在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,若I为内切圆的圆心，则由SA4B+SABc+SAC4=SAARG得
到，△ABC内切圆的半径r=
=SAc将此结论类比到空间，得到：在三棱锥D-ABC中，SAc=Sn,
S△BcD=SA,SAcD1=Sg,SADAR=Sc,则三棱锥D-ABC内切球的半径R=
【2022-2023学年度第一学期高二开学考·数学试卷第2页（共4页）】数学参考答案
题
号
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答
案
C
D
B
B
C
A
B
A
ABD
AD
ACD
ABD
1.【解析】因为N={x|x2=x}={0,1},所以M∩N={0,1,故选c
2号导
2【解折]：=，
4
,因此-=亏.故选D,
551
3.【解析】由“直线I⊥m且l⊥n”不能推出“1⊥ax”,但由“1⊥”能推出“直线l⊥m且l⊥n”,
所以“直线I1m且I1n”是“I1a”的必要不充分条件.故选B.
4.【解析】因为一
cos2a
cosa-sina-(cosa+sina)
2(sina-cosa)
2
所以sina+cosa&=
2sincoi
故选B.
8
5.【解析】每台机器人的平均成本为P(=Lx+150+1≥2，Lx.150+1=2,当且仅当
。X+
-X·
x600
V600x
Lx=150,即x=300时取等号.因此应买300台机器人，可使每台机器人的平均成本最低.
-X=
600x
故选C.
6【解折】因为a1(G+列，所以aa+可列=0即a+a-6=0,-日=0，问=2故选A
7.【解析】因为3×2°-2+1=0，所以2-a+1=3,b-a+1>1,b-a>0,b>a因为
a=c+log:2-x+2所以a-c=log,2-x+2)=log,[c-+2log,7>0a>e迹B
&.【解析】设AB=AC=AA=2m因为∠BAC=120,所以∠ACB=30.于是2m=2rC
sin30°
是△ABC外接圆的半径)，r=2m.又球心到平面ABC的距离等于侧棱长AA的一半，所以球的
半径为V(2m)2+m2=V5m.所以球的表面积为4π(W5m)2=40z,解得m=V2.因此该直三
棱柱的体积是54cM=)4m.92m=25m=46放达
2
9.【解析】y=
1+一关国家关于市心对称，所以在区间0，回内足城西数
x-1
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函数y=x+是奇函数，所以它在[b,-]上应是增函数.故选BD
l0.【解析】由sinx≠0得，x≠kπ，k∈Z.因为sinx+
≤-2或sinx+1≥2，所以f(x)
sinx
sinx
的最小值不是2.因为sin(x+)+，】
一=-(sinx+1),所以π不是f(x)的最小正周
sin(x+π)
sin x
期.因为f(r-)=sin(z-x)+。1
=sinx+L=f,所以)的图象关于直线
sin(-x
sinx
x= 对称故选AD.
2
11.【解析】由于平行四边形MNPQ中，MN/AC,NP/BD,因此只要AC⊥BD,就可以得到MN⊥
NP,即MNPQ是矩形.当A一BCD为正三棱锥时，显然有AC⊥BD成立.当AB=AD,且CB=CD时，
取BD的中点E,易得AE⊥BD,CE⊥BD,则BD⊥面AEC,因此AC⊥BD.故选ACD.
12.【解析】对A,P是△ABC的重心，则SAPEC=SSPAC=SAPB·代入奔驰定理就得到
PA+PB+PC=0.对B,由SPCPA+-SAPc·PB+SABPC=0得，
4-i+6-P丽+元-6.即hi+历+%元-d与D如张行
2
a.PA+bPB+c.PC=0比较知，h=h=h,则P是△ABC的内心.
对C,AP=AB+2AC=(PB-P列+2(PC-PA,即2P+PB+2PC=0.与奔驰定理
比较就得到，SAPBC:SAPAC:SaBC=2:I:2.
对D,P是△ABC的外心，且∠A=T,则∠BPC=T
4
2
所以Se方.Se号Rsn∠APC,Sw号Rsn受-∠APO.代入奔定理即可
得到Pi+sn∠MPC-P西+sim(子-∠APO)-PC-0放选ABD
13.【答案】上【解析】(m-nm(n+mi）=2mn+(m2-n2i,由其为实数，得m2=n2,m=n.
即求两颗骰子点数相同的概率.基本事件总数是6×6=36，点数相同有6种，于是
(m-nmin+m)为实数的概率是6=1
366
14.【答案】
3-8c。【解析】由。-+V,-cD+,-cD4+,-aB=V。-c（O为
Sa+SB+Sc+SD
内切球的球心)即可推出.
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