第二十三章 旋转达标测试卷（含答案）
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文档简介
旋转自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 第18届亚足联亚洲杯足球赛将于2023年在中国举办．以下是四届亚洲杯会徽的图案部分，其中是中心对称图形的是（ ）
A B C D
2. 如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片，将图片中的“雪花图案”旋转后与原图形重合，至少需要旋转的角度是（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 180
第2题图 第3题图 第4题图
3. 如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定角度得到△A′B′C，此时点A在边B′C上.若BC=5，A′C=3，则AB′的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D．5
4. 如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称，则下列说法不正确的是（ ）
A. AB=A′B′，BC=B′C′ B. BC∥B′C′ C. S△AOB=S△A′OB′ D. △ABC≌△A′OC′
5. （2021·广安）如图，将△ABC绕点逆时针旋转55 得到△ADE.若∠E=70 ，AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
A. 65 B. 70 C. 75 D. 80
第5题图 第7题图 第8题图
6.（2021·苏州）在如图所示的方格纸中，将Rt△AOB绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A′O′B，下列图形正确的是（ ）
A B C D 第6题图
7. 如图，正方形CDEF绕某点旋转与正方形ABCD重合，这样的点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 如图，在△AOB中，OA=4，OB=6，AB=.将△AOB绕原点O旋转90°得到△A′OB′，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A.（4，2）或（﹣4，2） B. 或
C. 或 D. 或
9. （2021·衢州）如图，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转α得到菱形AB′C′D′，∠B=β.当AC平分∠B′AC′时，α与β满足的数量关系是（ ）
A. α=2β B. 2α=3β C. 4α+β=180 D. 3α+2β=180
第9题图 第10题图
10. 如图，矩形ABCD的顶点A，B在两坐标轴上，OA=OB=2，BC=.将矩形ABCD绕原点O顺时针每次旋转90°，则第2022次旋转后点C的坐标是（ ）
A．（3，-5） B．（-5，-3） C．（-3，5） D．（5，3）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 已知点P（-2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），点Q关于原点的对称点为R（m，n），则m+n的值是___________.
12. 如图，一块等腰直角三角尺ABC，在水平桌面上绕点C顺时针旋转到△A′B′C的位置，使A，C，B′三点共线，那么旋转的角度为_________________.
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
13. （2021 青海）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以与自身重合.若每个叶片的面积为4 cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为 cm2.
14. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转，在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的度数是 .
15. （2021·上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离.如图，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为点O，在正方形外有一点P，OP=2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为____________.
16. 如图，在Rt△ABC中，两条直角边AC=8，BC=6，将△ACB绕AC的中点M旋转一定角度得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE与AB交于点G，则AG的长为_____________.
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17.（6分）（2021·黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点分别为A（-1，3），B（-4，3），O（0，0）.
（1）画出△ABO关于原点对称的△A1B1O，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABO绕点顺时针旋转后得到的△A2B2O，并写出点B2的坐标.
第17题图 第18题图 第19题图
18.（6分）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合.
（1）直接写出旋转中心和旋转角的度数；
（2）若AD=4，DE=1，连接EF，求EF的长.
19.（6分）如图，在△ABC和△AEF中，∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，∠EAB=25°，∠F=57°.
（1）求证：∠EAB=∠FAC；
（2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请描述这个变换；
（3）求∠AMB的度数.
20.（8分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，如图所示点D为点C关于点P的“垂直图形”．
（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为_____________；
②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为 _____________．
（2）已知E（-3，3），F（a，0），点E关于点F的“垂直图形”记为E'，求点E'的坐标．（用含a的式子表示）
① ② 第20题图 备用图 第21题图
21. （9分）如图①，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C逆时针旋转α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上.
（1）求∠CDE的度数；（用含α的代数式表示）
（2）如图②，若α=60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
22. （9分）如图均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影，请在余下的空白正三角形中，按下列要求涂上阴影：
（1）在图①中涂上1个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）在图②中涂上2个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）在图③中涂上3个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
① ② ③ ① ② ③
第22题图 第23题图
23. （10分）问题情境（1）如图①，已知△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE，BD，线段AE，BD具有怎样的数量和位置关系？说明你的理由；
解决问题（2）如图②，在△ABE中，AB=4，AE=6，AC是△ABE的中线，求AC的取值范围；
拓展应用（3）如图③，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE=EF，求证：BF=AC.
（共享数学人教九年级小专题特训P38第6题）
24. （12分）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，将边BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，P是边AC上的一点，将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BQ，则CP与DQ的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）若P是直线AC上的任意一点，其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请用图②（点P在AC的延长线上）证明；若不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点Q恰好落在△ABC的边上，求PC的长.
① ②
第24题图
（参考答案见答案页第2期）
题报第③期 旋转自我评估参考答案
答案详解
16. 解析：连接CF.因为AC=8，BC=6，所以AB===10.因为M是AC的中点，所以AM=MC=4.由旋转的性质，知∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10，所以AM=MF=CM.所以∠AFC=90°.因为AB·CF=AC·BC，所以CF=.所以AF==.因为∠A=∠D，∠A=∠AFM，所以∠D=∠AFM.又因为∠DFE=90°，所以DG=GF，∠E=∠GFE.所以GF=GE.所以GF=GD=GE=5.所以AG=AF-GF=-5=.
三、17.（1）图略，B1（4，-3）. （2）图略，B2（3，4）.
18. 解：（1）旋转中心为点Ａ，旋转角的度数是90°.
（2）因为四边形ABCD是正方形，所以∠D=90°.所以AE===.
由旋转的性质，知AF=AE=，∠EAF=90°，所以EF=.
19.（1）证明：因为AB=AE，∠B=∠E，BC=EF，所以△ABC≌△AEF.
所以∠BAC=∠EAF.所以∠BAC﹣∠BAF=∠EAF﹣∠BAF.所以∠FAC=∠EAB=25°.
（2）解：将△ABC绕点A顺时针旋转25°得到△AEF.
（3）解：由（1）易得∠C=∠F=57°，∠FAC=∠EAB=25°，所以∠AMB=∠C+∠FAC=57°+25°=82°.
20. 解：（1）①（2，0） ②（-1，2）
（2）过点E作EH⊥x轴于点H，过点E′作E′K⊥x轴于点K，如图所示．
因为∠EHF=∠EFE′=∠E′KF=90°，所以∠EFH+∠E=90°，∠EFH+∠E′FK=90°.所以∠E=∠E′FK.
在△EHF和△FKE′中，∠EHF=∠FKE′，∠E=∠E′FK，EF=FE′，所以△EHF≌△FKE′（AAS）.所以EH=FK=3，FH=KE′=a+3.所以OK=a+3.所以E′（a+3，a+3）．
第20题图
21. 解：（1）由旋转的性质，得△BCE≌△ACD，所以CE=CD，∠BCE=∠ACD.所以∠CDE=∠CED，∠BCE+∠BCD=∠ACD+∠BCD，即∠DCE=∠ACB=α.所以∠CDE==.
（2）AE=BE+CF.
理由：补全图形，如图所示.因为将△CAD绕点C逆时针旋转60°得到△CBE，所以△CAD≌△CBE.所以AD=BE，CD=CE，∠DCE=60°.所以△CDE是等边三角形.
因为CF⊥DE，所以DF=EF=CD.所以CF==CD，即CD=DE=CF.
因为AE=AD+DE，所以AE=BE+CF.
① ② ③
第21题图 第22题图
22. 解：（1）如图①所示. （2）给出示例如图②所示（答案不唯一）. （3）如图③所示.
23. 解：（1）AE∥BD且AE=BD.理由：因为△ABC与△DEC关于点C成中心对称，所以AC=CD，BC=CE.所以四边形ABDE是平行四边形.所以AE∥BD且AE=BD.
（2）作△DEB与△ABE关于点C成中心对称.由（1）易得四边形ABDE是平行四边形，所以BD=AE=6.
在△ABD中，AB=4，BD=6，所以BD﹣AB＜AD＜BD+AB.所以2＜2AC＜10.所以1＜AC＜5.
（3）因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD.
作△BDH与△CDA关于点D成中心对称，则HD=AD，BH=AC，∠H=∠CAD.
因为AE=EF，所以∠EAF=∠AFE.因为∠AFE=∠BFH，所以∠H=∠BFH.所以BF=BH.所以AC=BF.
（共享数学人教九年级小专题特训参考答案P22第6题答案）
24. 解：（1）CP=DQ CP⊥DQ
（2）成立.证明：如图①，延长DQ交AC于点H.
因为将边BC绕点B旋转90°得到线段BD，所以BD=BC，∠DBC=90°. 因为将线段BP绕点B旋转90°得到线段BQ，所以BQ=BP，∠QBP=90°.所以∠QBP=∠DBC.所以∠DBQ=∠CBP.
所以△QBD≌△PBC.所以DQ=CP，∠D=∠BCP.
因为∠BCP+∠BCH=180°，所以∠D+∠BCH=180°.
因为∠D+∠BCH+∠DBC+∠CHD=360°，所以∠CHD=90°.所以CP⊥DQ.
① ② ③
第24题图
（3）当点Q在边AB上时，如图②，因为∠A=30°，∠PBQ=90°，所以∠P=60°，BC=AB=2.所以∠PBC=30°.所以BP=2PC.在Rt△PBC中，由勾股定理，得BP2=PC2+BC2，即4PC2=PC2+4.解得PC=±（负值舍去）.
当点Q在边AC上时，如图③，因为BP=BQ，∠PBQ=90°，BC⊥AP，所以BC=PC=CQ=2.
综上所述，PC的长为或2.
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 第18届亚足联亚洲杯足球赛将于2023年在中国举办．以下是四届亚洲杯会徽的图案部分，其中是中心对称图形的是（ ）
A B C D
2. 如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片，将图片中的“雪花图案”旋转后与原图形重合，至少需要旋转的角度是（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 180
第2题图 第3题图 第4题图
3. 如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定角度得到△A′B′C，此时点A在边B′C上.若BC=5，A′C=3，则AB′的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D．5
4. 如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称，则下列说法不正确的是（ ）
A. AB=A′B′，BC=B′C′ B. BC∥B′C′ C. S△AOB=S△A′OB′ D. △ABC≌△A′OC′
5. （2021·广安）如图，将△ABC绕点逆时针旋转55 得到△ADE.若∠E=70 ，AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
A. 65 B. 70 C. 75 D. 80
第5题图 第7题图 第8题图
6.（2021·苏州）在如图所示的方格纸中，将Rt△AOB绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A′O′B，下列图形正确的是（ ）
A B C D 第6题图
7. 如图，正方形CDEF绕某点旋转与正方形ABCD重合，这样的点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 如图，在△AOB中，OA=4，OB=6，AB=.将△AOB绕原点O旋转90°得到△A′OB′，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A.（4，2）或（﹣4，2） B. 或
C. 或 D. 或
9. （2021·衢州）如图，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转α得到菱形AB′C′D′，∠B=β.当AC平分∠B′AC′时，α与β满足的数量关系是（ ）
A. α=2β B. 2α=3β C. 4α+β=180 D. 3α+2β=180
第9题图 第10题图
10. 如图，矩形ABCD的顶点A，B在两坐标轴上，OA=OB=2，BC=.将矩形ABCD绕原点O顺时针每次旋转90°，则第2022次旋转后点C的坐标是（ ）
A．（3，-5） B．（-5，-3） C．（-3，5） D．（5，3）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 已知点P（-2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），点Q关于原点的对称点为R（m，n），则m+n的值是___________.
12. 如图，一块等腰直角三角尺ABC，在水平桌面上绕点C顺时针旋转到△A′B′C的位置，使A，C，B′三点共线，那么旋转的角度为_________________.
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
13. （2021 青海）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以与自身重合.若每个叶片的面积为4 cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为 cm2.
14. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转，在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的度数是 .
15. （2021·上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离.如图，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为点O，在正方形外有一点P，OP=2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为____________.
16. 如图，在Rt△ABC中，两条直角边AC=8，BC=6，将△ACB绕AC的中点M旋转一定角度得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE与AB交于点G，则AG的长为_____________.
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17.（6分）（2021·黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点分别为A（-1，3），B（-4，3），O（0，0）.
（1）画出△ABO关于原点对称的△A1B1O，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABO绕点顺时针旋转后得到的△A2B2O，并写出点B2的坐标.
第17题图 第18题图 第19题图
18.（6分）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合.
（1）直接写出旋转中心和旋转角的度数；
（2）若AD=4，DE=1，连接EF，求EF的长.
19.（6分）如图，在△ABC和△AEF中，∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，∠EAB=25°，∠F=57°.
（1）求证：∠EAB=∠FAC；
（2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请描述这个变换；
（3）求∠AMB的度数.
20.（8分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，如图所示点D为点C关于点P的“垂直图形”．
（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为_____________；
②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为 _____________．
（2）已知E（-3，3），F（a，0），点E关于点F的“垂直图形”记为E'，求点E'的坐标．（用含a的式子表示）
① ② 第20题图 备用图 第21题图
21. （9分）如图①，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C逆时针旋转α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上.
（1）求∠CDE的度数；（用含α的代数式表示）
（2）如图②，若α=60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
22. （9分）如图均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影，请在余下的空白正三角形中，按下列要求涂上阴影：
（1）在图①中涂上1个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）在图②中涂上2个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）在图③中涂上3个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
① ② ③ ① ② ③
第22题图 第23题图
23. （10分）问题情境（1）如图①，已知△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE，BD，线段AE，BD具有怎样的数量和位置关系？说明你的理由；
解决问题（2）如图②，在△ABE中，AB=4，AE=6，AC是△ABE的中线，求AC的取值范围；
拓展应用（3）如图③，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE=EF，求证：BF=AC.
（共享数学人教九年级小专题特训P38第6题）
24. （12分）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，将边BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，P是边AC上的一点，将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BQ，则CP与DQ的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）若P是直线AC上的任意一点，其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请用图②（点P在AC的延长线上）证明；若不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点Q恰好落在△ABC的边上，求PC的长.
① ②
第24题图
（参考答案见答案页第2期）
题报第③期 旋转自我评估参考答案
答案详解
16. 解析：连接CF.因为AC=8，BC=6，所以AB===10.因为M是AC的中点，所以AM=MC=4.由旋转的性质，知∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10，所以AM=MF=CM.所以∠AFC=90°.因为AB·CF=AC·BC，所以CF=.所以AF==.因为∠A=∠D，∠A=∠AFM，所以∠D=∠AFM.又因为∠DFE=90°，所以DG=GF，∠E=∠GFE.所以GF=GE.所以GF=GD=GE=5.所以AG=AF-GF=-5=.
三、17.（1）图略，B1（4，-3）. （2）图略，B2（3，4）.
18. 解：（1）旋转中心为点Ａ，旋转角的度数是90°.
（2）因为四边形ABCD是正方形，所以∠D=90°.所以AE===.
由旋转的性质，知AF=AE=，∠EAF=90°，所以EF=.
19.（1）证明：因为AB=AE，∠B=∠E，BC=EF，所以△ABC≌△AEF.
所以∠BAC=∠EAF.所以∠BAC﹣∠BAF=∠EAF﹣∠BAF.所以∠FAC=∠EAB=25°.
（2）解：将△ABC绕点A顺时针旋转25°得到△AEF.
（3）解：由（1）易得∠C=∠F=57°，∠FAC=∠EAB=25°，所以∠AMB=∠C+∠FAC=57°+25°=82°.
20. 解：（1）①（2，0） ②（-1，2）
（2）过点E作EH⊥x轴于点H，过点E′作E′K⊥x轴于点K，如图所示．
因为∠EHF=∠EFE′=∠E′KF=90°，所以∠EFH+∠E=90°，∠EFH+∠E′FK=90°.所以∠E=∠E′FK.
在△EHF和△FKE′中，∠EHF=∠FKE′，∠E=∠E′FK，EF=FE′，所以△EHF≌△FKE′（AAS）.所以EH=FK=3，FH=KE′=a+3.所以OK=a+3.所以E′（a+3，a+3）．
第20题图
21. 解：（1）由旋转的性质，得△BCE≌△ACD，所以CE=CD，∠BCE=∠ACD.所以∠CDE=∠CED，∠BCE+∠BCD=∠ACD+∠BCD，即∠DCE=∠ACB=α.所以∠CDE==.
（2）AE=BE+CF.
理由：补全图形，如图所示.因为将△CAD绕点C逆时针旋转60°得到△CBE，所以△CAD≌△CBE.所以AD=BE，CD=CE，∠DCE=60°.所以△CDE是等边三角形.
因为CF⊥DE，所以DF=EF=CD.所以CF==CD，即CD=DE=CF.
因为AE=AD+DE，所以AE=BE+CF.
① ② ③
第21题图 第22题图
22. 解：（1）如图①所示. （2）给出示例如图②所示（答案不唯一）. （3）如图③所示.
23. 解：（1）AE∥BD且AE=BD.理由：因为△ABC与△DEC关于点C成中心对称，所以AC=CD，BC=CE.所以四边形ABDE是平行四边形.所以AE∥BD且AE=BD.
（2）作△DEB与△ABE关于点C成中心对称.由（1）易得四边形ABDE是平行四边形，所以BD=AE=6.
在△ABD中，AB=4，BD=6，所以BD﹣AB＜AD＜BD+AB.所以2＜2AC＜10.所以1＜AC＜5.
（3）因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD.
作△BDH与△CDA关于点D成中心对称，则HD=AD，BH=AC，∠H=∠CAD.
因为AE=EF，所以∠EAF=∠AFE.因为∠AFE=∠BFH，所以∠H=∠BFH.所以BF=BH.所以AC=BF.
（共享数学人教九年级小专题特训参考答案P22第6题答案）
24. 解：（1）CP=DQ CP⊥DQ
（2）成立.证明：如图①，延长DQ交AC于点H.
因为将边BC绕点B旋转90°得到线段BD，所以BD=BC，∠DBC=90°. 因为将线段BP绕点B旋转90°得到线段BQ，所以BQ=BP，∠QBP=90°.所以∠QBP=∠DBC.所以∠DBQ=∠CBP.
所以△QBD≌△PBC.所以DQ=CP，∠D=∠BCP.
因为∠BCP+∠BCH=180°，所以∠D+∠BCH=180°.
因为∠D+∠BCH+∠DBC+∠CHD=360°，所以∠CHD=90°.所以CP⊥DQ.
① ② ③
第24题图
（3）当点Q在边AB上时，如图②，因为∠A=30°，∠PBQ=90°，所以∠P=60°，BC=AB=2.所以∠PBC=30°.所以BP=2PC.在Rt△PBC中，由勾股定理，得BP2=PC2+BC2，即4PC2=PC2+4.解得PC=±（负值舍去）.
当点Q在边AC上时，如图③，因为BP=BQ，∠PBQ=90°，BC⊥AP，所以BC=PC=CQ=2.
综上所述，PC的长为或2.
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