第二十五章 概率初步达标测试卷（含答案）
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概率初步自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中靶心 B．经过红绿灯路口，遇到绿灯
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从只装有8个白球的袋子中摸出红球
2．标号为A，B，C，D的四个盒子中均装有白球和黑球共10个，则从下列盒子中最容易摸到黑球的是（ ）
A. 2个白球和8个黑球 B. 8个白球和2个黑球
C. 5个白球和5个黑球 D. 4个白球和6个黑球
3．如图，有4张形状、大小、质地均相同的卡片，正面印有第24届北京冬奥会的“短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球”四种不同的运动项目的图案，背面完全相同.现将这4张卡片洗均匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是冰球的概率是（ ）
A． B． C． D．
第3题图
4. 从﹣2，4，5这3个数中，任取两个数作为点P的坐标，则点P在第四象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．国家出台全面三孩政策，如果一个家庭已有两个孩子，再生一个孩子，那么三个都是男孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘主捕捞到鲢鱼的概率约为（ ）
A． B． C． D．
7．王琳与蔡红在某电商平台购买了同款发卡，并且两人在收货之后都从“好评、一般、差评”中勾选了一项作为反馈，若三种评价是等可能的，则两人中至少有一个给出“差评”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．小明和小亮玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜；如果和为偶数，则小亮胜．问：两人中获胜概率大的是（ ）
A．小明 B．小亮 C．一样 D．无法确定
9．“国庆”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690
落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
下列说法不正确的是（ ）
A．当n很大时，估计指针落子在“铅笔”区域的概率大约是0.70
B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”的概率大约是0.70
C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次
D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”
第9题图 第10题图
10．如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 晓芳抛一枚质地均匀的硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为 ．
社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 ．（填“黑球”或“白球”）
第12题图 第13题图 第14题图
13. 如图，甲、乙、丙3人站在5×6网格的三个格子中，小王随机站在剩下的空格中，与图中3人均不在同一行的概率是 ．
14．如图，正方形二维码的边长为2 cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积为_________cm2．
15．如图所示的两个转盘，被分别分成了三个和四个面积相等的扇形，并被涂上相应的颜色．固定指针，自由转动两个转盘，当转盘停止转动后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两个指针所指颜色相同的概率是___________．
第15题图
16．现有五张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有-1，0，1，5，6五个数．把这五张卡片背面朝上洗匀后放在桌上，小张先随机抽取一张卡片，其上的数字记为x，小李再从剩下的卡片中随机抽取一张卡片，其上的数字记为y，这样就确定了点P（x，y），则点P在直线y=-x+5的概率为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
（6分）儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和若干白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个海宝玩具，已知参加这种游戏的儿童有4000人次，公园游戏场发放海宝玩具800个．请你估计袋中白球的数量接近多少个？
18. （6分）一次抽奖活动设置为翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如图①所示，如果你只能在9个数字中选中一个翻牌，请解决下面的问题：
（1）直接写出抽到“手机”奖品的可能性的大小；
（2）若第一次没有抽到“手机”奖品，请求出第二次抽到“手机”奖品的可能性的大小；
（3）请你根据题意在图②中设计翻奖牌反面的奖品，包含“手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与”，使得最后抽到“球拍”的可能性大小是．
① ② ① ②
第18题图 第19题图
19.（8分）如图①，A，B，C，D，E，F六个小朋友围着一圈做传球游戏，规定：球不得抛给自己，也不得传给其相邻左右两人．若假定球最先在A手上，且游戏过程中传球和接球都没有失误，在图②所示的树状图中列出两次传球的全部可能情况，并求出球又传到A手上的概率.
20.（8分）如图，在3×3的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案．现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是中心对称图形的概率．
第20题图 第21题图
21.（8分）圆周率π是无限不循环小数.历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究.目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位.有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同.
（1）从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为 ；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率.
22．（8分）有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5，把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．
（1）先后两次抽得的数字分别记为s和t，求|s-t|≥l的概率；
（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案，A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问：甲选择哪种方案胜率更高？
23. （10分）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图①，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图②，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，求对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率．
① ②
第23题图
24.（12分）某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．如图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，已知去D地的车票占全部车票的10%.
（1）求出D地车票的数量，并补全条形统计图；
（2）若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小王，否则车票给小李”．试用列表或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平？
第24题图
（参考答案见答案页第3期）
题报第⑤期 概率初步自我评估参考答案
答案详解
三、17. 解：由题意可知参加此项游戏得到海宝玩具的概率约为=.
设袋中白球的数量为m个.根据题意，得=，解得m=32.
答：估计袋中白球的数量接近32个.
18. 解：（1）抽到“手机”奖品的可能性是.
（2）第二次抽到“手机”奖品的可能性是＝＝.
（3）不唯一，如：设计九张牌中有四张写着球拍，其他的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张．
19．解：如图所示：
由树状图知，总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中球又传到A手上的结果有3种，所以
P（球又传到A手上）==．
20．解：画树状图如下：
由树状图知，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中新图案是中心对称图形的结果有4种，
所以P（新图案是中心对称图形）==．
21. 解：（1）
（2）将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （丁，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （甲，甲） （丁，乙） （丁，丙）
由树状图知，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一幅是祖冲之的结果有6种，所以P（有一幅是祖冲之）==.
22．解：（1）列表如下：
红桃3 红桃4 黑桃5
红桃3 （红3，红3） （红3，红4） （红3，黑5）
红桃4 （红4，红3） （红4，红4） （红4，黑5）
黑桃5 （黑5，红3） （黑5，红4） （黑5，黑5）
由表格知，总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其|s-t|≥l的结果有6种，所以P（|s-t|≥l）==．
（2）由（1）中表格可知两次抽得相同花色的结果有5种，两次抽得数字和为奇数结果有4种，所以当选择A方案时，P（甲获胜）=；当选择B方案时，P（甲获胜）=.因为>,所以甲选择A方案胜率更高．
23. 解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为（4x+2k+3y）﹣（3x+2y+4k）＝x+y﹣2k.
画树状图如下：
由树状图知，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果有9种，所以P（对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4）==．
24. 解：（1）设D地车票有x张，则x=（x+20+40+30）×10%，解得x=10．所以D地车票有10张．补全条形统计图略．
（2）小胡抽到去A地的概率为=．
（3）这个规则对双方不公平．画树状图如下：
由树状图知，总共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大的结果有6种，所以P（车票给小王）==，P（车票给小李）=1-=.
因为≠，所以这个规则对双方不公平．
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概率初步自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中靶心 B．经过红绿灯路口，遇到绿灯
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从只装有8个白球的袋子中摸出红球
2．标号为A，B，C，D的四个盒子中均装有白球和黑球共10个，则从下列盒子中最容易摸到黑球的是（ ）
A. 2个白球和8个黑球 B. 8个白球和2个黑球
C. 5个白球和5个黑球 D. 4个白球和6个黑球
3．如图，有4张形状、大小、质地均相同的卡片，正面印有第24届北京冬奥会的“短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球”四种不同的运动项目的图案，背面完全相同.现将这4张卡片洗均匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是冰球的概率是（ ）
A． B． C． D．
第3题图
4. 从﹣2，4，5这3个数中，任取两个数作为点P的坐标，则点P在第四象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．国家出台全面三孩政策，如果一个家庭已有两个孩子，再生一个孩子，那么三个都是男孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘主捕捞到鲢鱼的概率约为（ ）
A． B． C． D．
7．王琳与蔡红在某电商平台购买了同款发卡，并且两人在收货之后都从“好评、一般、差评”中勾选了一项作为反馈，若三种评价是等可能的，则两人中至少有一个给出“差评”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．小明和小亮玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜；如果和为偶数，则小亮胜．问：两人中获胜概率大的是（ ）
A．小明 B．小亮 C．一样 D．无法确定
9．“国庆”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690
落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
下列说法不正确的是（ ）
A．当n很大时，估计指针落子在“铅笔”区域的概率大约是0.70
B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”的概率大约是0.70
C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次
D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”
第9题图 第10题图
10．如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 晓芳抛一枚质地均匀的硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为 ．
社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 ．（填“黑球”或“白球”）
第12题图 第13题图 第14题图
13. 如图，甲、乙、丙3人站在5×6网格的三个格子中，小王随机站在剩下的空格中，与图中3人均不在同一行的概率是 ．
14．如图，正方形二维码的边长为2 cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积为_________cm2．
15．如图所示的两个转盘，被分别分成了三个和四个面积相等的扇形，并被涂上相应的颜色．固定指针，自由转动两个转盘，当转盘停止转动后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两个指针所指颜色相同的概率是___________．
第15题图
16．现有五张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有-1，0，1，5，6五个数．把这五张卡片背面朝上洗匀后放在桌上，小张先随机抽取一张卡片，其上的数字记为x，小李再从剩下的卡片中随机抽取一张卡片，其上的数字记为y，这样就确定了点P（x，y），则点P在直线y=-x+5的概率为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
（6分）儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和若干白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个海宝玩具，已知参加这种游戏的儿童有4000人次，公园游戏场发放海宝玩具800个．请你估计袋中白球的数量接近多少个？
18. （6分）一次抽奖活动设置为翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如图①所示，如果你只能在9个数字中选中一个翻牌，请解决下面的问题：
（1）直接写出抽到“手机”奖品的可能性的大小；
（2）若第一次没有抽到“手机”奖品，请求出第二次抽到“手机”奖品的可能性的大小；
（3）请你根据题意在图②中设计翻奖牌反面的奖品，包含“手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与”，使得最后抽到“球拍”的可能性大小是．
① ② ① ②
第18题图 第19题图
19.（8分）如图①，A，B，C，D，E，F六个小朋友围着一圈做传球游戏，规定：球不得抛给自己，也不得传给其相邻左右两人．若假定球最先在A手上，且游戏过程中传球和接球都没有失误，在图②所示的树状图中列出两次传球的全部可能情况，并求出球又传到A手上的概率.
20.（8分）如图，在3×3的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案．现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是中心对称图形的概率．
第20题图 第21题图
21.（8分）圆周率π是无限不循环小数.历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究.目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位.有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同.
（1）从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为 ；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率.
22．（8分）有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5，把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．
（1）先后两次抽得的数字分别记为s和t，求|s-t|≥l的概率；
（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案，A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问：甲选择哪种方案胜率更高？
23. （10分）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图①，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图②，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，求对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率．
① ②
第23题图
24.（12分）某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．如图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，已知去D地的车票占全部车票的10%.
（1）求出D地车票的数量，并补全条形统计图；
（2）若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小王，否则车票给小李”．试用列表或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平？
第24题图
（参考答案见答案页第3期）
题报第⑤期 概率初步自我评估参考答案
答案详解
三、17. 解：由题意可知参加此项游戏得到海宝玩具的概率约为=.
设袋中白球的数量为m个.根据题意，得=，解得m=32.
答：估计袋中白球的数量接近32个.
18. 解：（1）抽到“手机”奖品的可能性是.
（2）第二次抽到“手机”奖品的可能性是＝＝.
（3）不唯一，如：设计九张牌中有四张写着球拍，其他的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张．
19．解：如图所示：
由树状图知，总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中球又传到A手上的结果有3种，所以
P（球又传到A手上）==．
20．解：画树状图如下：
由树状图知，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中新图案是中心对称图形的结果有4种，
所以P（新图案是中心对称图形）==．
21. 解：（1）
（2）将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （丁，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （甲，甲） （丁，乙） （丁，丙）
由树状图知，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一幅是祖冲之的结果有6种，所以P（有一幅是祖冲之）==.
22．解：（1）列表如下：
红桃3 红桃4 黑桃5
红桃3 （红3，红3） （红3，红4） （红3，黑5）
红桃4 （红4，红3） （红4，红4） （红4，黑5）
黑桃5 （黑5，红3） （黑5，红4） （黑5，黑5）
由表格知，总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其|s-t|≥l的结果有6种，所以P（|s-t|≥l）==．
（2）由（1）中表格可知两次抽得相同花色的结果有5种，两次抽得数字和为奇数结果有4种，所以当选择A方案时，P（甲获胜）=；当选择B方案时，P（甲获胜）=.因为>,所以甲选择A方案胜率更高．
23. 解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为（4x+2k+3y）﹣（3x+2y+4k）＝x+y﹣2k.
画树状图如下：
由树状图知，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果有9种，所以P（对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4）==．
24. 解：（1）设D地车票有x张，则x=（x+20+40+30）×10%，解得x=10．所以D地车票有10张．补全条形统计图略．
（2）小胡抽到去A地的概率为=．
（3）这个规则对双方不公平．画树状图如下：
由树状图知，总共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大的结果有6种，所以P（车票给小王）==，P（车票给小李）=1-=.
因为≠，所以这个规则对双方不公平．
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