第二十一章 一元二次方程达标测试卷（含答案）

一元二次方程自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A. 2x2-+1=0 B.（x+1）（x﹣1）=x2﹣x
C. 5x2﹣4=0 D. ax2+bx+c=0
2. 用公式法解一元二次方程3x2=2x﹣3时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述正确的是（　　）
A. a=3，b=2，c=3 B. a=﹣3，b=2，c=3
C. a=3，b=2，c=﹣3 D. a=3，b=﹣2，c=3
3. 若x=1是一元二次方程x2+ax+2b=0的一个根，则3a+6b的值为（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 6
4. 如图是用配方法解方程x2﹣x﹣2=0的四个步骤，出现错误的是（　　）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
第4题图
5. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k<5 B. k<5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k>5
6. 若代数式3x2﹣2x+1与﹣x2+5x﹣3的值互为相反数，则x的值为（　　）
A. ﹣或﹣2 B. 或2 C.﹣2或 D.﹣或2
7. 虎年春晚，舞蹈诗剧《只此青绿》以北宋名画《千里江山图》为灵感创作，将中华传统之美娓娓道来.一幅如图所示的长80 cm，高90 cm的《千里江山图》仿品的四周加上宽度相同的边框，装裱成挂图.若仿品的面积占整个挂图面积的80%，所加边框的宽度为x cm，则列出的方程是（　　）
A.（90+x）（80+x）=90×80×80% B.（90+2x）（80+2x）×80%=90×80
C.（90﹣2x）（80﹣2x）=90×80×80% D.（90+x）（80+x）×80%=90×80
第7题图
8. 已知x1，x2是方程x2+3x﹣1=0的两个根，则以x1-1和x2-1为根的一元二次方程是（ ）
A. x2+5x﹣3=0 B. x2-5x﹣3=0 C. x2-5x+3=0 D. x2+5x+3=0
9. 已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根，则m的值是（　　）
A. 34 B. 30 C. 30或34 D. 30或36
10. 将关于x的一元二次方程x2﹣px+q=0变形为x2=px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3=x x2=x（px﹣q）=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知x2﹣x﹣1=0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（　　）
A. 1﹣ B. 3﹣ C. 1+ D. 3+
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1+6x﹣7=0是一元二次方程，则k的值为 　．
12. 一元二次方程x2+x=0的两个实数根中，较大的根是_____________.
13. 已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，则p+q=　 　．
14. 下表是2022年10月的日历表，在此表上可以用一个方框圈出2×2个位置相邻的数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小的数为_______________.
第14题图 第16题图
15. 已知6a2﹣100a+7=0，7b2﹣100b+6=0，且ab≠1，则的值为_______________.
16. 如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，到达点B后停止；点Q以2 cm/s的速度向D移动.当P，Q两点从出发开始到_______________s时，点P和点Q的距离是10 cm.
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17.（每小题3分，共9分）解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣3=0（配方法）； （2）（x﹣3）（2x﹣1）=1（公式法）； （3）2x（x﹣3）=9﹣3x（因式分解法）.
18.（5分）已知关于x的方程x2﹣3x+1=0的一个根是x=a，求代数式3a2+2（1﹣4a）﹣a的值．
19.（6分）某生态果园2019年冬桃产量为80吨，2021年冬桃产量为115.2吨，若该生态果园冬桃产量的年平均增长率相同．
（1）求该生态果园冬桃产量的年平均增长率；
（2）若下一年冬桃产量的年增长率不变，请预估2022年该生态果园的冬桃产量．
20.（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．
（1）求证：方程有两个不等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1，x2，且x12+x22﹣x1x2=13，求m的值．
21.（8分）以描绘浙江山水的名画《富春山居图》为主题的创意音舞诗画《忆江南》登上央视春晚，一句“但远山长，云山乱，晓山青”再次带火了浙江富春山的旅游业.若富春山某景点的纪念品价格为85元，平均每天可销售100个，获得的销售利润为1000元，根据销售经验知道，当售价每上涨1元时，销售量减少5个．
（1）该纪念品每件的成本价为______元；
（2）若该景点每天想通过此纪念品获得1080元的利润，且尽可能让游客获得实惠，问该纪念品价格应定为多少元？
22.（8分）解方程（x-1）4-8（x-1）2+15=0.
解：设t=（x-1）2，则t2-8t+15=0，解得t=3或t=5.
当t=3时，有（x-1）2=3，解得x=1±；当t=5时，有（x-1）2=5，解得x=1±.
所以原方程的根为x=1±或x=1±.
认真阅读例题的解法，体会解法中蕴含的数学思想，解方程（2x+1）4-7（2x+1）2-8=0．
23. （10分）设a，b，c是△ABC的三边长，关于x的方程x2+x+2c﹣a=0有两个相等的实数根，关于x的方程3cx+2b=2a的根为0．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）若a，b为方程x2+mx﹣3m=0的两根，求m的值．
24.（12分）如图，已知A（a，0），B（0，b）分别是x轴，y轴正半轴上的点，且满足+|4-b|=0，点P从点O开始在线段OA上向点A以每秒2个单位长度的速度运动；点Q从点B开始在线段BO上向点O以每秒1个单位长度的速度运动.如果P，Q同时出发，运动时间为t秒.
（1）求a，b的值；
（2）Rt△AOB斜边上的高h=___________；
（3）当△POQ的面积是△AOB面积的时，求t的值；
（4）连接AQ，试探究：△APQ能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.
第24题图
题报第①期 一元二次方程自我评估参考答案
10. C 解析：因为x2-x-1=0，所以x2-x=1，x2=1+x.所以x4﹣2x3+3x=x4-x3-x3+3x=x2（x2-x）-x（x2-3）=x2-x（1+x-3）=1+x-x2+2x=1-1+2x=2x.因为方程x2-x-1=0，且x＞0，解得x1=（舍去），x2=.所以原式=2×=.
15. 解析：因为7b2﹣100b+6=0，所以.因为6a2﹣100a+7=0，所以a，是方程6x2﹣100x+7=0的两根.所以由根与系数的关系，得=.
三、17.（1）x1=3+2，x2=3﹣2. （2）x1=，x2=. （3）x1=3，x2=﹣．
18. 解：因为x=a是方程x2﹣3x+1=0的根，所以a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1.
所以原式=3a2+2﹣8a﹣a=3（a2﹣3a）+2=-1．
19. 解：（1）设该生态果园冬桃产量的年平均增长率为x.
根据题意，得80（1+x）2=115.2，解得x1=20%，x2=﹣220%（不符合题意，舍去）.
该生态果园冬桃产量的年平均增长率为20%.
（2）115.2×（1+20%）=138.24（吨）.
预计该生态果园2022年冬桃产量为138.24吨．
20.（1）证明：由题意，得Δ=[-（m﹣3）]2﹣4×（﹣m）=m2﹣6m+9+4m=m2﹣2m+1+8=（m﹣1）2+8.
因为（m﹣1）2≥0，所以（m﹣1）2+8>0.所以方程有两个不等的实数根.
（2）解：由根与系数的关系，得x1+x2=m﹣3，x1x2=﹣m.
因为x12+x22﹣x1x2=13，所以（x1+x2）2﹣3x1x2=13，即（m﹣3）2+3m=13.整理，得m2﹣3m﹣4=0，解得m=-1或m=4.所以m的值为-1或4.
21. 解：（1）75
（2）设该纪念品每件的售价为（85+x）元.
由题意，得（85+x﹣75）（100﹣5x）=1080.整理，得x2﹣10x+16=0，解得x1=8，x2=2.
因为尽可能让游客获得实惠，所以x=2.
85+2=87（元），所以该纪念品每件的售价应定为87元．
22. 解：设t=（2x+1）2，方程变形为t2-7t-8=0，解得t=-1或t=8.
因为（2x+1）2≥0，所以t的值为8.
当t=8时，（2x+1）2=8，解得x1=，x2=.
综上，原方程的根为x1=，x2=.
23.（1）证明：因为方程x2+2x+2c﹣a=0有两个相等的实数根，所以Δ=（2）2﹣4（2c﹣a）=0.所以b+a=2c.因为方程3cx+2b=2a的根为0，所以b=a.所以b=a=c.所以△ABC为等边三角形.
（2）解：因为a，b为方程 x2+mx﹣3m=0的两根，由（1）知a=b，所以m2﹣4×（﹣3m）=0，解得m1=0，m2=﹣12.因为a，b，c是△ABC的三边长，所以a>0.所以m的值为﹣12．
24. 解：（1）a=8，b=4. （2）
（3）由已知，得0≤t≤4，OP=2t，BQ=t，OQ=4-t.
当△POQ的面积是△AOB面积的时，得OP OQ=×OA OB，即·2t（4-t）=××8×4.整理，得t2-4t+3=0，解得t1=1，t2=3.
当△POQ的面积是△AOB面积的时，t的值为1或3.
（4）△APQ能成为等腰三角形.
由（3）可得AP=8-2t.在Rt△POQ中，PQ2=OP2+OQ2=（2t）2+（4-t）2=5t2-8t+16.
因为∠APQ是△OPQ的一个外角，所以∠APQ＞∠POQ=90°.
若△APQ是等腰三角形，则∠APQ只能是顶角，此时PQ=AP.所以PQ2=AP2，即5t2-8t+16=（8-2t）2.整理，得t2+24t-48=0，解得t1=8-12，t2=-8-12（舍去）.
当t=8-12时，△APQ能成为等腰三角形.