高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第二节 函数的单调性（二）

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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第二节 函数的单调性（二）
一、单选题
1．（2022高一上·南阳期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】的定义域为，令，则函数为，外层函数单调递减，由复合函数的单调性为同增异减，要求函数的增区间，即求的减区间，当，单调递减，则 在上单调递增，即是的子集，则.
故答案为：C.
【分析】由对数函数和二次函数的性质易得函数的单调递增区间，只需让 是其子区间即可，由此可得m的不等式组，解不等式组可得实数的取值范围 .
2．函数 的单调减区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】
∴直接通过解析式，结合二次函数图象得： 递增，在 递减。
故答案为：A.
【分析】利用绝对值的定义将绝对值函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象求出函数的单调递减区间。
3．（2021高一上·辽宁期中）若函数 在 上是单调递减函数，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】函数 的单调递减区间是 ，
依题意得 ，于是得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：B
【分析】根据题意由二次函数的图象和性质，结合已知条件即可得出a的取值范围。
4．函数 的单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】由题意， ，可得 或 ，
函数 的定义域为 ，
令 ，则外层函数 在 上单调递增，
内层函数 在上 单调递减，在 上单调递增，
所以，函数 的单调递减区间为 。
故答案为：D.
【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法求出函数的定义域，再利用换元法，令 ，再利用复合函数的单调性，即同增异减，从而判断出复合函数的单调性，进而求出函数的单调递减区间。
5．（2020高一上·成都期末）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：令 ，则 ，
因为 在 上递减，在 上递增，而 在 上单调递减，
所以 在 上递增，在 上递减，
因为函数 在 上单调递减，
所以 ，得 ，
故答案为：B
【分析】令 ，则 ，由 在 上递减，在 上递增，而 在 上单调递减，再利用复合函数“同增异减”即可得出答案。
6．（2021高一上·洛阳期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由题意可知，函数在上为增函数，则，
且有，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据题意由二次函数的单调性即可求出a的取值范围，结合已知条件即可得出，求解出a的取值范围，然后求其交集即可得出答案。
二、多选题
7．（2022高一下·嫩江月考）下列函数中，满足对任意 的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：因为对任意 ，故f(x)在(1，+∞)上单调递增，
对A， 为单增函数，故A正确；
对B， 为对勾函数， 在(0，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增，故B错误；
对C， 开口向下， 在(-∞，1)单调递增， (1，+∞)单调递减，故C错误；
对D， ，故f(x)在(-∞，-4)单调递减，在 (4，+∞)单调递增，
故f(x)在 (1，+∞)上单调递增，故D项正确.
故选：AD
【分析】对四个解析式逐一判断，选出在(1，+∞)是单调递增函数的即可.
三、填空题
8．（2021高一上·河北期中）函数 ， 的单调递增区间是　 　；单调递减区间是　 　.
【答案】；
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】由题可知：函数 的对称轴为 ，
由该抛物线开口向上，所以函数在 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 。
故答案为： ， 。
【分析】利用已知条件结合二次函数的图象，再结合图象的开口方向和对称性，从而求出函数 ， 的单调区间。
9．（2021高一上·广丰月考）函数 的单调递减区间是　 　．
【答案】（-1，0）和（0，+∞）或（0，+∞）和（-1，0）
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】 ，
则 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 ，
令 ，在定义域内单调递增
单调递增，
所以 的单调递减区间是 和 .
故答案为：（-1，0）和（0，+∞）
【分析】 令，求得函数的定义域，且，即求函数u在定义域内的增区间，再利用对数次函数的性质可得函数 的单调递减区间.
10．（2021高一上·缙云月考）函数的单调减区间为　 　
【答案】或
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】令，易知：上递增，上递减，
对于为减函数，且，即.
综上可知，在上为减函数。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合复合函数的单调性，即同增异减，从而判断出复合函数的单调性，进而求出复合函数的单调递减区间。
11．（2021高一上·大同期中）若函数 在R上单调递增，则实数a的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】因函数 在R上单调递增，于是得 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象判断出分段函数的单调性，进而求出实数a的取值范围。
12．（2021高一上·绍兴期中）已知函数 在 上单调递增，则a的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知，当 时， 在 上单调递增，
即 ，
解得 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件函数 画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象判断出分段函数的单调性，再结合已知条件函数 在 上单调递增，从而求出实数a的取值范围。
四、解答题
13．（2022高一下·深圳期中）函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
（1）确定 的解析式
（2）判断 在 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（3）解关于 的不等式 ．
【答案】（1）解：根据题意，函数 是定义在 上的奇函数，
则 ，解可得 ；
又由 ，则有 ，解可得 ；
则
（2）解：由（1）的结论， ，在区间 上为增函数；
证明：设 ，
则
又由 ，
则 ， ， ， ，
则 ，即
则函数 在 上为增函数.
（3）解：由（1）（2）知 为奇函数且在 上为增函数.
，
解可得： ，
即不等式的解集为 .
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合；函数的值
【解析】【分析】（1）由奇函数的性质，得f(0)=0，解得b，再由函数的值 ，得a=2，从而得函数的解析式；
（2）根据函数单调性的定义，利用作差法即可证明；
（3）根据函数的奇偶性，结合单调性，得f(t-1)14．（2022高一上·越秀期末）已知是定义在上的奇函数.
（1）求实数和的值；
（2）根据单调性的定义证明：在定义域上为增函数.
【答案】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以，，
，
（2）解：设，则
，
，，，
所以，，
故在定义域上为增函数.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质
【解析】【分析】 (1)根据奇函数的定义和性质建立方程，求解即可得实数和的值；
(2)根据函数单调性的定义进行证明即可.
15．（2022高一上·石景山期末）已知函数．
（1）用定义证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：任取，且，
因为，所以，
所以，即.所以在上为单调递增
（2）解：任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，所以时，.
所以实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由函数单调性的定义，整理化简已知条件由此即可得出函数的单调性。
(2)由已知条件由分离参数法，即可得出m的不等式，再由函数f(x)的单调性即可得出函数f(x)的最值，从而得出m的取值范围。
16．（2022高一上·宝安期末）已知函数为奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在的单调性并证明；
（3）解关于的x不等式：．
【答案】（1）解：因为函数为奇函数，定义域为，
所以，即，
所以，又，所以，
所以
（2）解：在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则，
又，，且，
所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增；
（3）解：由（2）知在上单调递增，
因为为奇函数，所以在上也单调递增，
令，解得或
因为，且，
所以，
所以，解得，又，
所以原不等式的解集为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质
【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质结合，求出的值，从而写出函数解析式；
（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；
（3）利用奇函数的性质得到在上也单调递增，然后将不等式变形为，利用单调性求解不等式即可.
17．（2020高一上·北京期中）已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的定义域；
（Ⅱ）求函数 的单调增区间和单调减区间；
（Ⅲ）求函数 的值域．
【答案】解：（Ⅰ）由题意得函数 的定义域是R；
（Ⅱ）令 ，
∵ 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，且函数 在R上是减函数，
∴函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 ；
（Ⅲ）∵函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 ，
∴函数 的值域是 ．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】 （Ⅰ）由题意可直接得函数 的定义域；
（Ⅱ）由题意，令 ，由复合函数的单调性判断函数的单调增区间和单调减区间；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，在R上的单调性，从而求函数的值域。
18．（2021高一上·绥江月考）已知．
（Ⅰ）证明：在[2，+∞)单调递增；
（Ⅱ）解不等式：．
【答案】（I） x1，x2∈[2，+∞)，且x1＜x2，则 ，
∵x1，x2∈[2，+∞)，则x1x24＞0，x1x2＞0， 且x1﹣x2＜0，
∴0，即，
∴在[2，+∞)单调递增．
（II）由，即∈[2，+∞)，
∵在[2，+∞)单调递增，要使，
∴，即，解得，
∴不等式的解集为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合增函数的定义，从而证出函数 在[2，+∞)单调递增。
（2）利用已知条件结合函数的单调性，从而求出不等式 的解集。
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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第二节 函数的单调性（二）
一、单选题
1．（2022高一上·南阳期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
2．函数 的单调减区间是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021高一上·辽宁期中）若函数 在 上是单调递减函数，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
4．函数 的单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高一上·成都期末）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021高一上·洛阳期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2022高一下·嫩江月考）下列函数中，满足对任意 的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2021高一上·河北期中）函数 ， 的单调递增区间是　 　；单调递减区间是　 　.
9．（2021高一上·广丰月考）函数 的单调递减区间是　 　．
10．（2021高一上·缙云月考）函数的单调减区间为　 　
11．（2021高一上·大同期中）若函数 在R上单调递增，则实数a的取值范围为　 　．
12．（2021高一上·绍兴期中）已知函数 在 上单调递增，则a的取值范围为　 　.
四、解答题
13．（2022高一下·深圳期中）函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
（1）确定 的解析式
（2）判断 在 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（3）解关于 的不等式 ．
14．（2022高一上·越秀期末）已知是定义在上的奇函数.
（1）求实数和的值；
（2）根据单调性的定义证明：在定义域上为增函数.
15．（2022高一上·石景山期末）已知函数．
（1）用定义证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意都有成立，求实数的取值范围．
16．（2022高一上·宝安期末）已知函数为奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在的单调性并证明；
（3）解关于的x不等式：．
17．（2020高一上·北京期中）已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的定义域；
（Ⅱ）求函数 的单调增区间和单调减区间；
（Ⅲ）求函数 的值域．
18．（2021高一上·绥江月考）已知．
（Ⅰ）证明：在[2，+∞)单调递增；
（Ⅱ）解不等式：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】的定义域为，令，则函数为，外层函数单调递减，由复合函数的单调性为同增异减，要求函数的增区间，即求的减区间，当，单调递减，则 在上单调递增，即是的子集，则.
故答案为：C.
【分析】由对数函数和二次函数的性质易得函数的单调递增区间，只需让 是其子区间即可，由此可得m的不等式组，解不等式组可得实数的取值范围 .
2．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】
∴直接通过解析式，结合二次函数图象得： 递增，在 递减。
故答案为：A.
【分析】利用绝对值的定义将绝对值函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象求出函数的单调递减区间。
3．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】函数 的单调递减区间是 ，
依题意得 ，于是得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：B
【分析】根据题意由二次函数的图象和性质，结合已知条件即可得出a的取值范围。
4．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】由题意， ，可得 或 ，
函数 的定义域为 ，
令 ，则外层函数 在 上单调递增，
内层函数 在上 单调递减，在 上单调递增，
所以，函数 的单调递减区间为 。
故答案为：D.
【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法求出函数的定义域，再利用换元法，令 ，再利用复合函数的单调性，即同增异减，从而判断出复合函数的单调性，进而求出函数的单调递减区间。
5．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：令 ，则 ，
因为 在 上递减，在 上递增，而 在 上单调递减，
所以 在 上递增，在 上递减，
因为函数 在 上单调递减，
所以 ，得 ，
故答案为：B
【分析】令 ，则 ，由 在 上递减，在 上递增，而 在 上单调递减，再利用复合函数“同增异减”即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由题意可知，函数在上为增函数，则，
且有，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据题意由二次函数的单调性即可求出a的取值范围，结合已知条件即可得出，求解出a的取值范围，然后求其交集即可得出答案。
7．【答案】A,D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：因为对任意 ，故f(x)在(1，+∞)上单调递增，
对A， 为单增函数，故A正确；
对B， 为对勾函数， 在(0，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增，故B错误；
对C， 开口向下， 在(-∞，1)单调递增， (1，+∞)单调递减，故C错误；
对D， ，故f(x)在(-∞，-4)单调递减，在 (4，+∞)单调递增，
故f(x)在 (1，+∞)上单调递增，故D项正确.
故选：AD
【分析】对四个解析式逐一判断，选出在(1，+∞)是单调递增函数的即可.
8．【答案】；
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】由题可知：函数 的对称轴为 ，
由该抛物线开口向上，所以函数在 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 。
故答案为： ， 。
【分析】利用已知条件结合二次函数的图象，再结合图象的开口方向和对称性，从而求出函数 ， 的单调区间。
9．【答案】（-1，0）和（0，+∞）或（0，+∞）和（-1，0）
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】 ，
则 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 ，
令 ，在定义域内单调递增
单调递增，
所以 的单调递减区间是 和 .
故答案为：（-1，0）和（0，+∞）
【分析】 令，求得函数的定义域，且，即求函数u在定义域内的增区间，再利用对数次函数的性质可得函数 的单调递减区间.
10．【答案】或
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】令，易知：上递增，上递减，
对于为减函数，且，即.
综上可知，在上为减函数。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合复合函数的单调性，即同增异减，从而判断出复合函数的单调性，进而求出复合函数的单调递减区间。
11．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】因函数 在R上单调递增，于是得 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象判断出分段函数的单调性，进而求出实数a的取值范围。
12．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知，当 时， 在 上单调递增，
即 ，
解得 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件函数 画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象判断出分段函数的单调性，再结合已知条件函数 在 上单调递增，从而求出实数a的取值范围。
13．【答案】（1）解：根据题意，函数 是定义在 上的奇函数，
则 ，解可得 ；
又由 ，则有 ，解可得 ；
则
（2）解：由（1）的结论， ，在区间 上为增函数；
证明：设 ，
则
又由 ，
则 ， ， ， ，
则 ，即
则函数 在 上为增函数.
（3）解：由（1）（2）知 为奇函数且在 上为增函数.
，
解可得： ，
即不等式的解集为 .
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合；函数的值
【解析】【分析】（1）由奇函数的性质，得f(0)=0，解得b，再由函数的值 ，得a=2，从而得函数的解析式；
（2）根据函数单调性的定义，利用作差法即可证明；
（3）根据函数的奇偶性，结合单调性，得f(t-1)14．【答案】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以，，
，
（2）解：设，则
，
，，，
所以，，
故在定义域上为增函数.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质
【解析】【分析】 (1)根据奇函数的定义和性质建立方程，求解即可得实数和的值；
(2)根据函数单调性的定义进行证明即可.
15．【答案】（1）解：任取，且，
因为，所以，
所以，即.所以在上为单调递增
（2）解：任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，所以时，.
所以实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由函数单调性的定义，整理化简已知条件由此即可得出函数的单调性。
(2)由已知条件由分离参数法，即可得出m的不等式，再由函数f(x)的单调性即可得出函数f(x)的最值，从而得出m的取值范围。
16．【答案】（1）解：因为函数为奇函数，定义域为，
所以，即，
所以，又，所以，
所以
（2）解：在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则，
又，，且，
所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增；
（3）解：由（2）知在上单调递增，
因为为奇函数，所以在上也单调递增，
令，解得或
因为，且，
所以，
所以，解得，又，
所以原不等式的解集为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质
【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质结合，求出的值，从而写出函数解析式；
（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；
（3）利用奇函数的性质得到在上也单调递增，然后将不等式变形为，利用单调性求解不等式即可.
17．【答案】解：（Ⅰ）由题意得函数 的定义域是R；
（Ⅱ）令 ，
∵ 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，且函数 在R上是减函数，
∴函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 ；
（Ⅲ）∵函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 ，
∴函数 的值域是 ．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】 （Ⅰ）由题意可直接得函数 的定义域；
（Ⅱ）由题意，令 ，由复合函数的单调性判断函数的单调增区间和单调减区间；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，在R上的单调性，从而求函数的值域。
18．【答案】（I） x1，x2∈[2，+∞)，且x1＜x2，则 ，
∵x1，x2∈[2，+∞)，则x1x24＞0，x1x2＞0， 且x1﹣x2＜0，
∴0，即，
∴在[2，+∞)单调递增．
（II）由，即∈[2，+∞)，
∵在[2，+∞)单调递增，要使，
∴，即，解得，
∴不等式的解集为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合增函数的定义，从而证出函数 在[2，+∞)单调递增。
（2）利用已知条件结合函数的单调性，从而求出不等式 的解集。
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