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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第二节 函数的奇偶性的性质（二）
一、单选题
1．（2022高一下·揭东期末）函数为上的奇函数，时，，则（ ）
A．-6 B．2 C．-2 D．6
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值
【解析】【解答】时，，故，又函数为上的奇函数，故.
故答案为：C
【分析】根据奇偶性，.
2．（2022高一下·广州期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（ ）
A．4 B．-4 C．7 D．-7
【答案】D
【知识点】奇函数；函数的值
【解析】【解答】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，当时，，
必有，解可得：，
则当时，，有，
又由函数是定义在R上的奇函数，则。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合奇函数的性质得出实数m的值，再结合奇函数的定义和转化的方法以及代入法，进而得出函数的值。
3．（2022·汝州模拟）已知 是定义在R上的奇函数，且 时， ，则 （ ）
A．27 B．－27 C．54 D．－54
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由已知可得 ， ，因此， ．
故答案为：A．
【分析】根据奇函数的定义，代数求值即可.
4．（2022高一下·鹤峰月考）函数，若，则（ ）
A．-2 B．-4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解：令，
由于，
所以函数为奇函数，
因为，即，所以，
所以，
所以.
故答案为：A
【分析】令，运用函数奇偶性的定义可得函数为奇函数，再利用奇函数的性质即可求出答案。
5．（2022高一下·普宁月考）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， 则 的值为（ ）
A．-2 B．-6 C．2 D．6
【答案】B
【知识点】奇函数；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解： 是定义在 上的奇函数 ，
则m-9+2m+3=0 ，解得m=2 ，
又当 时，
所以f(m)=f(2)=-f(-2)=-[(-2)2-(-2)]=-6 .
故选：B
【分析】根据奇函数的定义求得m=2，再利用函数的奇偶性得f(2)=-f(-2)即可求解.
6．（2020高一上·怀仁月考）若 ，且 ，则 （ ）
A．-7 B．-5 C．5 D．7
【答案】B
【知识点】奇函数；函数的值
【解析】【解答】设 ，
则 ，所以 ，
则 ，所以 。
故答案为：B.
【分析】设 ，再利用奇函数的定义判断函数为奇函数，再利用奇函数的定义结合已知条件 ， 从而求出。
7．（2020高一上·郑州期中）已知函数 ，若 ，则 （ ）
A．-5 B．-3 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值
【解析】【解答】由题意， ，
令 ，则 ，即函数 为奇函数，
所以 ，
因此 .
故答案为：B．
【分析】根据题意，令 ，由得出 为奇函数，再利用奇函数的性质进而可得出答案．
8．（2020高一上·定远月考）已知函数 是定义在R上的奇函数， ，若 ，则 （ ）
A．-5 B．5 C．3 D．-3
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值
【解析】【解答】由 ，则 ；
因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，
因此 .
故答案为：D.
【分析】首先由奇函数的定义f(-x)=f(x)代入数值计算出，再由已知条件结合奇函数的性质即可求出。
9．（2020高一上·蚌埠月考）已知函数 是 上的奇函数， ，已知 ，则 （ ）
A．-5 B．5 C．-3 D．3
【答案】C
【知识点】奇函数；函数的值
【解析】【解答】因为 是 上的奇函数，所以 ， ，
所以 ， ，
得 ，则 ，
故答案为：C.
【分析】利用奇函数的定义求出b,d的值，从而求出函数f(x)的解析式，再利用 ， 进而求出 ，再利用代入法求出g(2)和f(2)的值，再利用奇函数的定义求出的值。
10．（2020高一上·贵港期末）已知 是R上的奇函数， 是R上的偶函数，且 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为 ，所以 .又 是奇函数， 是偶函数，所以 ，
则 ，故 .
故答案为：D
【分析】利用奇偶函数的性质，可得，与已知条件中的联立，求解，可得答案。
11．（2020高一上·成都月考）若函数 是定义在 上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】偶函数定义域关于原点对称，所以 ，函数开口向上.由于函数为偶函数，故 ，所以 ，最大值为 .
【分析】首先由奇偶函数定义域的性质求出a的值，再结合偶函数的图象特点求出b的值进而得到函数的解析式然后利用二次函数的性质求出其在指定区间上的最值。
12．（2020高一上·河南月考）已知函数 是奇函数，当 时 ，则 （ ）
A．-8 B．-4 C．-5 D．11
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值
【解析】【解答】解：因为 时， ，所以 ；
又因为 是奇函数，所以 ，
即 ，
故答案为：C.
【分析】 根据题意，由函数的解析式求出f(1)、f (2)的值，结合函数的奇偶性可得f (- 2)的值，相加即可得答案.
13．（2020高一上·洛阳月考）已知函数 是定义在 上的奇函数,则 ( )
A．-2 B．-1 C．2 D．5
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解：由函数 是定义在 上的奇函数,
则其定义域关于原点对称且 ，
得 ,
所以 ,
即 ,
则 ，
故答案为：B.
【分析】由奇函数的性质以及定义即可得到关于a、b的方程求解出结果即可得到函数的解析式。
14．（2019高一上·郑州期中）若函数 为偶函数， 为奇函数，且满足 ，则 （ ）
A．-3 B．3 C．5 D．-5
【答案】A
【知识点】奇函数；偶函数；函数的值
【解析】【解答】 为偶函数， 为奇函数 ，
故答案为：
【分析】根据函数奇偶性可将已知方程化为 ，代入 即可求得结果.
二、填空题
15．（2022·全国乙卷）若 是奇函数，则 ， ．
【答案】；
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为 ，再由 可得， ．即 ，在定义域内满足 ，符合题意．
故答案为： ；
【分析】根据奇函数的定义即可求解．
16．（2022高一下·嵩明期中）定义在R上的函数满足.当时，，则 .
【答案】-6
【知识点】奇函数；函数奇偶性的性质；函数的值
【解析】【解答】由，所以为定义在R上的奇函数，可得，
所以，可得，
所以时，，
所以，
所以。
故答案为：-6。
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再结合奇函数的性质得出实数a的值，再利用转化的方法和奇函数的定义，进而结合代入法得出的值。
三、解答题
17．（2022高一下·深圳期中）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， .
（1）求 时，函数 的解析式；
（2）若函数 在区间 上单调递增，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解： 是定义在 上的奇函数，当 时，
时，
所以 时，函数 的解析式为 .
（2）解：由（1）知
所以 的增区间为
函数 在区间 上单调递增
解得
所以实数a的取值范围为：
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数奇偶性的性质；二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）设x<0，计算f(-x)，再根据奇函数的性质，得f(x)=-f(-x) ，即可得解；
（2）由分段函数，结合二次函数的单调性，可得 在区间 上单调递增，从而列出关于a-2的不等式组求解.
18．（2022·宁乡模拟）已知定义域为R的函数 是奇函数.
（1）求b的值；
（2）判断函数 的单调性；
（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求k的取值范围.
【答案】（1）解：因为 是奇函数，所以 ，
即 ，∴
（2）解：由（1）知 ，
设 则
因为函数 在R上是增函数且 ，∴
又 ，∴ 即
∴ 在 上为减函数.
（3）解：因 是奇函数，从而不等式：
等价于 ，因 为减函数，由上式推得： .即对一切 有： ，
从而判别式 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合奇函数的定义得出b的值。
（2）利用已知条件结合减函数的定义，从而判断出函数 为减函数。
（3） 利用 是奇函数，从而不等式 等价于 ，再利用 为减函数，得出对一切 有： ，再结合判别式法得出实数k的取值范围。
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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第二节 函数的奇偶性的性质（二）
一、单选题
1．（2022高一下·揭东期末）函数为上的奇函数，时，，则（ ）
A．-6 B．2 C．-2 D．6
2．（2022高一下·广州期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（ ）
A．4 B．-4 C．7 D．-7
3．（2022·汝州模拟）已知 是定义在R上的奇函数，且 时， ，则 （ ）
A．27 B．－27 C．54 D．－54
4．（2022高一下·鹤峰月考）函数，若，则（ ）
A．-2 B．-4 C．3 D．2
5．（2022高一下·普宁月考）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， 则 的值为（ ）
A．-2 B．-6 C．2 D．6
6．（2020高一上·怀仁月考）若 ，且 ，则 （ ）
A．-7 B．-5 C．5 D．7
7．（2020高一上·郑州期中）已知函数 ，若 ，则 （ ）
A．-5 B．-3 C．3 D．5
8．（2020高一上·定远月考）已知函数 是定义在R上的奇函数， ，若 ，则 （ ）
A．-5 B．5 C．3 D．-3
9．（2020高一上·蚌埠月考）已知函数 是 上的奇函数， ，已知 ，则 （ ）
A．-5 B．5 C．-3 D．3
10．（2020高一上·贵港期末）已知 是R上的奇函数， 是R上的偶函数，且 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
11．（2020高一上·成都月考）若函数 是定义在 上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．（2020高一上·河南月考）已知函数 是奇函数，当 时 ，则 （ ）
A．-8 B．-4 C．-5 D．11
13．（2020高一上·洛阳月考）已知函数 是定义在 上的奇函数,则 ( )
A．-2 B．-1 C．2 D．5
14．（2019高一上·郑州期中）若函数 为偶函数， 为奇函数，且满足 ，则 （ ）
A．-3 B．3 C．5 D．-5
二、填空题
15．（2022·全国乙卷）若 是奇函数，则 ， ．
16．（2022高一下·嵩明期中）定义在R上的函数满足.当时，，则 .
三、解答题
17．（2022高一下·深圳期中）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， .
（1）求 时，函数 的解析式；
（2）若函数 在区间 上单调递增，求实数a的取值范围.
18．（2022·宁乡模拟）已知定义域为R的函数 是奇函数.
（1）求b的值；
（2）判断函数 的单调性；
（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值
【解析】【解答】时，，故，又函数为上的奇函数，故.
故答案为：C
【分析】根据奇偶性，.
2．【答案】D
【知识点】奇函数；函数的值
【解析】【解答】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，当时，，
必有，解可得：，
则当时，，有，
又由函数是定义在R上的奇函数，则。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合奇函数的性质得出实数m的值，再结合奇函数的定义和转化的方法以及代入法，进而得出函数的值。
3．【答案】A
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由已知可得 ， ，因此， ．
故答案为：A．
【分析】根据奇函数的定义，代数求值即可.
4．【答案】A
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解：令，
由于，
所以函数为奇函数，
因为，即，所以，
所以，
所以.
故答案为：A
【分析】令，运用函数奇偶性的定义可得函数为奇函数，再利用奇函数的性质即可求出答案。
5．【答案】B
【知识点】奇函数；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解： 是定义在 上的奇函数 ，
则m-9+2m+3=0 ，解得m=2 ，
又当 时，
所以f(m)=f(2)=-f(-2)=-[(-2)2-(-2)]=-6 .
故选：B
【分析】根据奇函数的定义求得m=2，再利用函数的奇偶性得f(2)=-f(-2)即可求解.
6．【答案】B
【知识点】奇函数；函数的值
【解析】【解答】设 ，
则 ，所以 ，
则 ，所以 。
故答案为：B.
【分析】设 ，再利用奇函数的定义判断函数为奇函数，再利用奇函数的定义结合已知条件 ， 从而求出。
7．【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值
【解析】【解答】由题意， ，
令 ，则 ，即函数 为奇函数，
所以 ，
因此 .
故答案为：B．
【分析】根据题意，令 ，由得出 为奇函数，再利用奇函数的性质进而可得出答案．
8．【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值
【解析】【解答】由 ，则 ；
因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，
因此 .
故答案为：D.
【分析】首先由奇函数的定义f(-x)=f(x)代入数值计算出，再由已知条件结合奇函数的性质即可求出。
9．【答案】C
【知识点】奇函数；函数的值
【解析】【解答】因为 是 上的奇函数，所以 ， ，
所以 ， ，
得 ，则 ，
故答案为：C.
【分析】利用奇函数的定义求出b,d的值，从而求出函数f(x)的解析式，再利用 ， 进而求出 ，再利用代入法求出g(2)和f(2)的值，再利用奇函数的定义求出的值。
10．【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为 ，所以 .又 是奇函数， 是偶函数，所以 ，
则 ，故 .
故答案为：D
【分析】利用奇偶函数的性质，可得，与已知条件中的联立，求解，可得答案。
11．【答案】A
【知识点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】偶函数定义域关于原点对称，所以 ，函数开口向上.由于函数为偶函数，故 ，所以 ，最大值为 .
【分析】首先由奇偶函数定义域的性质求出a的值，再结合偶函数的图象特点求出b的值进而得到函数的解析式然后利用二次函数的性质求出其在指定区间上的最值。
12．【答案】C
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值
【解析】【解答】解：因为 时， ，所以 ；
又因为 是奇函数，所以 ，
即 ，
故答案为：C.
【分析】 根据题意，由函数的解析式求出f(1)、f (2)的值，结合函数的奇偶性可得f (- 2)的值，相加即可得答案.
13．【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解：由函数 是定义在 上的奇函数,
则其定义域关于原点对称且 ，
得 ,
所以 ,
即 ,
则 ，
故答案为：B.
【分析】由奇函数的性质以及定义即可得到关于a、b的方程求解出结果即可得到函数的解析式。
14．【答案】A
【知识点】奇函数；偶函数；函数的值
【解析】【解答】 为偶函数， 为奇函数 ，
故答案为：
【分析】根据函数奇偶性可将已知方程化为 ，代入 即可求得结果.
15．【答案】；
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为 ，再由 可得， ．即 ，在定义域内满足 ，符合题意．
故答案为： ；
【分析】根据奇函数的定义即可求解．
16．【答案】-6
【知识点】奇函数；函数奇偶性的性质；函数的值
【解析】【解答】由，所以为定义在R上的奇函数，可得，
所以，可得，
所以时，，
所以，
所以。
故答案为：-6。
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再结合奇函数的性质得出实数a的值，再利用转化的方法和奇函数的定义，进而结合代入法得出的值。
17．【答案】（1）解： 是定义在 上的奇函数，当 时，
时，
所以 时，函数 的解析式为 .
（2）解：由（1）知
所以 的增区间为
函数 在区间 上单调递增
解得
所以实数a的取值范围为：
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数奇偶性的性质；二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）设x<0，计算f(-x)，再根据奇函数的性质，得f(x)=-f(-x) ，即可得解；
（2）由分段函数，结合二次函数的单调性，可得 在区间 上单调递增，从而列出关于a-2的不等式组求解.
18．【答案】（1）解：因为 是奇函数，所以 ，
即 ，∴
（2）解：由（1）知 ，
设 则
因为函数 在R上是增函数且 ，∴
又 ，∴ 即
∴ 在 上为减函数.
（3）解：因 是奇函数，从而不等式：
等价于 ，因 为减函数，由上式推得： .即对一切 有： ，
从而判别式 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合奇函数的定义得出b的值。
（2）利用已知条件结合减函数的定义，从而判断出函数 为减函数。
（3） 利用 是奇函数，从而不等式 等价于 ，再利用 为减函数，得出对一切 有： ，再结合判别式法得出实数k的取值范围。
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