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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第二节 函数的单调性与奇偶性的综合
一、单选题
1．（2022高一下·达州期末）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·义乌模拟）若函数，设，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022高一下·温州期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·南开模拟）已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·丰台模拟）已知偶函数在区间上单调递减．若，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·日照模拟）若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖南模拟）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·湖北二模）已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·黄山模拟）已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·辽宁模拟）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021高二上·云南期末）已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022高一上·湖北期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022高一上·西城期末）设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021高一上·潍坊月考）已知函数的定义域为，其图像关于轴对称，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
15．（2021高三上·昌吉月考）已知函数 为 上偶函数，且 在 上的单调递增，若 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．（2022高一下·洛阳期末）已知函数，则使得成立的的取值范围是 .
17．（2022·静安模拟）函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为 .
18．（2021高一上·广丰月考）已知函数 ，若对任意的 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为为的偶函数，又，在上单调递增，
所以，函数在在上单调递减，
所以当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
又当或或时，，
所以的解集为，
故答案为：A.
【分析】根据函数的奇偶性与单调性的关系，将不等式进行转化，即可求出的解集.
2．【答案】A
【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题可知，故，
∴函数为偶函数；
易知，当时，在为单调递增函数；
又，∴，
同理，；
又，
，
故，故.
故答案为：A.
【分析】由题意可得为偶函数，且在为单调递增函数，进而可得，比较，即可求解。
3．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】当时，，则在上单调递增，又函数是上的偶函数，且，
因此，，解得，
所以不等式的解集为。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，再结合函数的单调性，进而结合绝对值不等式求解集的方法，从而求出不等式的解集。
4．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
又因为，，，
且在单调递增，
所以，即，
故答案为：A
【分析】 根据题意，由函数的奇偶性可得，结合指数函数和对数函数的单调性可得答案.
5．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：偶函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递增；
则等价于，即，
即，解得，即原不等式的解集为；
故答案为：C
【分析】根据偶函数的对称性得到在区间上单调递增，再根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，求解即可.
6．【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】∵是奇函数，在上递减，则在上递减，
∴在上是减函数，
又由是奇函数，则不等式可化为，
∴，．
故答案为：B．
【分析】首先由奇函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性即可得出不等式，由此求解出x的取值范围即可得出不等式的解集。
7．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题意知 的定义域为 ，
， 是定义在 上的偶函数﹐
在 上单调递减， 在 上单调递增，
， ， ， ， 或 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，进而判断出函数为偶函数，再结合两函数 在 上单调递减，再结合偶函数与单调性的关系，进而得出函数 在 上单调递增，再结合函数的单调性和绝对值不等式求解方法，进而得出不等式 的解集。
8．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由得定义域为，
，故为偶函数，
而，在上单调递增，
故在上单调递增，
则可化为，得，
解得。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再结合增函数的定义判断出函数，在上单调递增，再利用偶函数的定义和增函数的性质，进而结合绝对值不等式求解方法和交集的运算法则，进而得出使不等式成立的x的取值范围。
9．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】对，其定义域为，且，故为上的奇函数；
又当时，，其在单调递减；
当时，，其在单调递减；
又是连续函数，故在上都是单调减函数；
则，即，
则，解得.
故答案为：D.
【分析】通过函数奇偶性确定函数在R的单调性，进而原不等式可转换成，结合单调性即可求解。
10．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】
，设
，
因为
，所以
为奇函数，
则
，即
，
又
，
在R上均为减函数，所以
在R上为减函数，
由
得
，即
，
所以
，解得
或
。
故答案为：D．
【分析】利用奇函数的定义判断出函数
为奇函数，再利用减函数的定义判断出
在R上为减函数，再利用奇函数的定义结合减函数的性质得出不等式
的解集。
11．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题设，，又在上单调递增，
∴.
故答案为：C.
【分析】 根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可得答案.
12．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】设，，则，即为奇函数，容易判断在R上单调递增（增+增），又可化为，，所以a >1－2a，∴ a >．
故答案为：A.
【分析】 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可求出实数a的取值范围 .
13．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】为上的奇函数，
且在上单调递增，，
得：或
解得.
故答案为：D
【分析】 根据函数奇偶性和单调性的关系，作出函数f (x)的图象，利用数形结合进行求解即可得答案.
14．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】的图象关于轴对称，故是偶函数，
在上递增，则在上递减，
转化为，，
，。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再利用函数的单调性结合绝对值不等式求解方法，进而求出实数a的取值范围。
15．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 是偶函数， ，所以不等式 化为 ，
又因为 在 上递增，所以 ，
或 ，即 或 。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和增函数的性质，进而求出满足 的 的取值范围。
16．【答案】-3＜a＜1
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由且，
所以为偶函数，
若时，，
而，
所以，故在上递增，则上递减，
要使成立，即，可得-3＜a＜1。
故答案为：-3＜a＜1。
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，进而判断出函数为偶函数，再利用单调函数的定义，进而判断出函数的单调性，再结合函数的单调性和偶函数的定义，进而求出使得成立的的取值范围。
17．【答案】{x|x＜-1或x＞1}
【知识点】函数单调性的性质；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法
【解析】【解答】因为当时，单调递增，且，
所以等价于.
因为为偶函数，所以，解得或，
即不等式的解集为{x|x＜-1或x＞1}
故答案为：{x|x＜-1或x＞1}
【分析】由已知条件结合函数的奇偶性即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，求解出x的取值范围即可得出不等式的解集。
18．【答案】
【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 定义域为 ， ， 为 上的奇函数，
当 时， 与 均为减函数， 在 上为减函数，
由 得： ，
当 时， 单调递减， ，即 ，
在 上单调递减， ， ，解得： ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性的性质确定函数的单调性，最后结合函数的单调性、奇偶性、二次函数的性质，进行求解即可求出实数 的取值范围。
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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第二节 函数的单调性与奇偶性的综合
一、单选题
1．（2022高一下·达州期末）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为为的偶函数，又，在上单调递增，
所以，函数在在上单调递减，
所以当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
又当或或时，，
所以的解集为，
故答案为：A.
【分析】根据函数的奇偶性与单调性的关系，将不等式进行转化，即可求出的解集.
2．（2022·义乌模拟）若函数，设，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题可知，故，
∴函数为偶函数；
易知，当时，在为单调递增函数；
又，∴，
同理，；
又，
，
故，故.
故答案为：A.
【分析】由题意可得为偶函数，且在为单调递增函数，进而可得，比较，即可求解。
3．（2022高一下·温州期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】当时，，则在上单调递增，又函数是上的偶函数，且，
因此，，解得，
所以不等式的解集为。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，再结合函数的单调性，进而结合绝对值不等式求解集的方法，从而求出不等式的解集。
4．（2022·南开模拟）已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
又因为，，，
且在单调递增，
所以，即，
故答案为：A
【分析】 根据题意，由函数的奇偶性可得，结合指数函数和对数函数的单调性可得答案.
5．（2022·丰台模拟）已知偶函数在区间上单调递减．若，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：偶函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递增；
则等价于，即，
即，解得，即原不等式的解集为；
故答案为：C
【分析】根据偶函数的对称性得到在区间上单调递增，再根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，求解即可.
6．（2022·日照模拟）若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】∵是奇函数，在上递减，则在上递减，
∴在上是减函数，
又由是奇函数，则不等式可化为，
∴，．
故答案为：B．
【分析】首先由奇函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性即可得出不等式，由此求解出x的取值范围即可得出不等式的解集。
7．（2022·湖南模拟）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题意知 的定义域为 ，
， 是定义在 上的偶函数﹐
在 上单调递减， 在 上单调递增，
， ， ， ， 或 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，进而判断出函数为偶函数，再结合两函数 在 上单调递减，再结合偶函数与单调性的关系，进而得出函数 在 上单调递增，再结合函数的单调性和绝对值不等式求解方法，进而得出不等式 的解集。
8．（2022·湖北二模）已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由得定义域为，
，故为偶函数，
而，在上单调递增，
故在上单调递增，
则可化为，得，
解得。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再结合增函数的定义判断出函数，在上单调递增，再利用偶函数的定义和增函数的性质，进而结合绝对值不等式求解方法和交集的运算法则，进而得出使不等式成立的x的取值范围。
9．（2022·黄山模拟）已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】对，其定义域为，且，故为上的奇函数；
又当时，，其在单调递减；
当时，，其在单调递减；
又是连续函数，故在上都是单调减函数；
则，即，
则，解得.
故答案为：D.
【分析】通过函数奇偶性确定函数在R的单调性，进而原不等式可转换成，结合单调性即可求解。
10．（2022·辽宁模拟）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】
，设
，
因为
，所以
为奇函数，
则
，即
，
又
，
在R上均为减函数，所以
在R上为减函数，
由
得
，即
，
所以
，解得
或
。
故答案为：D．
【分析】利用奇函数的定义判断出函数
为奇函数，再利用减函数的定义判断出
在R上为减函数，再利用奇函数的定义结合减函数的性质得出不等式
的解集。
11．（2021高二上·云南期末）已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题设，，又在上单调递增，
∴.
故答案为：C.
【分析】 根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可得答案.
12．（2022高一上·湖北期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】设，，则，即为奇函数，容易判断在R上单调递增（增+增），又可化为，，所以a >1－2a，∴ a >．
故答案为：A.
【分析】 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可求出实数a的取值范围 .
13．（2022高一上·西城期末）设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】为上的奇函数，
且在上单调递增，，
得：或
解得.
故答案为：D
【分析】 根据函数奇偶性和单调性的关系，作出函数f (x)的图象，利用数形结合进行求解即可得答案.
14．（2021高一上·潍坊月考）已知函数的定义域为，其图像关于轴对称，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】的图象关于轴对称，故是偶函数，
在上递增，则在上递减，
转化为，，
，。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再利用函数的单调性结合绝对值不等式求解方法，进而求出实数a的取值范围。
15．（2021高三上·昌吉月考）已知函数 为 上偶函数，且 在 上的单调递增，若 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 是偶函数， ，所以不等式 化为 ，
又因为 在 上递增，所以 ，
或 ，即 或 。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和增函数的性质，进而求出满足 的 的取值范围。
二、填空题
16．（2022高一下·洛阳期末）已知函数，则使得成立的的取值范围是 .
【答案】-3＜a＜1
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由且，
所以为偶函数，
若时，，
而，
所以，故在上递增，则上递减，
要使成立，即，可得-3＜a＜1。
故答案为：-3＜a＜1。
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，进而判断出函数为偶函数，再利用单调函数的定义，进而判断出函数的单调性，再结合函数的单调性和偶函数的定义，进而求出使得成立的的取值范围。
17．（2022·静安模拟）函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为 .
【答案】{x|x＜-1或x＞1}
【知识点】函数单调性的性质；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法
【解析】【解答】因为当时，单调递增，且，
所以等价于.
因为为偶函数，所以，解得或，
即不等式的解集为{x|x＜-1或x＞1}
故答案为：{x|x＜-1或x＞1}
【分析】由已知条件结合函数的奇偶性即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，求解出x的取值范围即可得出不等式的解集。
18．（2021高一上·广丰月考）已知函数 ，若对任意的 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 定义域为 ， ， 为 上的奇函数，
当 时， 与 均为减函数， 在 上为减函数，
由 得： ，
当 时， 单调递减， ，即 ，
在 上单调递减， ， ，解得： ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性的性质确定函数的单调性，最后结合函数的单调性、奇偶性、二次函数的性质，进行求解即可求出实数 的取值范围。
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