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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第三节 幂函数的定义和解析式
一、单选题
1．（2022高一上·泸州期末）已知幂函数经过点，则（ ）
A． B．9 C．27 D．81
2．（2022高一上·吉林期末）若幂函数的图象过点，则函数的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
3．（2021高一上·房山期末）下列函数中，值域是的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021高一上·商丘月考）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增，则整数a的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．（2021高一上·广西月考）若幂函数没有零点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．0
6．（2021高一上·宁德期中）已知函数是幂函数，且时，单调递增，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2或-1 D．2
二、多选题
7．（2022高一上·宝安期末）若函数是幂函数，则一定（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上单调递减 D．在上单调递增
三、填空题
8．（2021高一上·成都期末）已知幂函数的图象过点，则 .
9．（2021高一上·齐齐哈尔期末）若函数是幂函数，且是偶函数，则m＝ .
10．（2022高一上·东城期末）已知幂函数（是常数）的图象经过点，那么 ．
11．（2021高一上·靖远期末）已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是 .
12．（2021高一上·湖北月考）已知幂函数为定义域上的奇函数，则 .
13．（2021高一上·湖南月考）已知幂函数是偶函数，则 ．
14．（2021高一上·南京月考）已知，若幂函数f（x）=xα在（0，+∞）上单调递增，则f（2）= .
15．（2021高一上·玉林期中）函数是幂函数且为偶函数，则m的值为 ．
四、解答题
16．（2021高一上·房山期末）已知幂函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数满足条件 ，试求实数的取值范围．
17．（2021高一上·河北月考）已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值；
（2）设函数，求关于的不等式的解集.
18．（2021高一上·洛阳期中）已知函数（是常数）为幂函数，且在上单调递增.
（1）求的表达式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】设幂函数，则有，可得
故，则
故答案为：C
【分析】由幂函数的解析式，代入数值计算出的取值，由此得出函数的解析式，再把数值代入打函数解析式，计算出结果即可。
2．【答案】B
【知识点】二次函数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】令，由题设，则，
∴，
故当时，函数最小值为.
故答案为：B.
【分析】令，由题设，则，即可求出，再结合二次函数的性质，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】由题意可得B、D的函数为指数函数，故排除B、D；
对于A：函数，定义域为R，所以值域为R，满足条件；
对于C：函数，定义域为，在第一象限内单调递增，又，所以值域为，不满足条件；
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合函数值域求解方法，进而找出值域为R的幂函数。
4．【答案】B
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为幂函数在上单调递增，
所以，解得，
又因为a是整数，
所以a的可能取值有.
当a=0时，为偶函数，符合题意；
当a=或1时，幂函数为奇函数，不符合题意.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和增函数的定义，从而求出满足要求的整数a的值。
5．【答案】A
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象；函数的零点
【解析】【解答】解：由幂函数，
可得，解得或2，
当时，，令，无解，符合题意，
当时，，令，则，不符题意，
所以.
故答案为：A.
【分析】由幂函数的定义计算出m的取值，再代入验证结合零点的定义即可得出满足题意的m的值。
6．【答案】D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题意是幂函数，
则，解得或，
因为在上是增函数，
而当时，符合题意；
当时，，所以在上是减函数，不符合题意，
。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义，从而求出m的值，再结合幂函数的图象的单调性，进而找出满足要求的实数m的值。
7．【答案】B,D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】因为函数是幂函数，
所以，
解得或，
所以或，
由幂函数性质知是奇函数且单调递增，
故答案为：BD.
【分析】根据幂函数的定义，求出或，从而判断函数的单调性和奇偶性即可.
8．【答案】1
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】∵为幂函数，∴，∴；
∵其图象过点，∴，∴，
∴，
故答案为：1
【分析】 由题意利用幂函数的定义和性质，求得k和a的值，进而可得 的值 .
9．【答案】2
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为函数是幂函数，所以，解得：或，
当时，函数是偶函数，成立，
当时，函数是奇函数，不成立。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义得出m的取值，再结合分类讨论的方法结合偶函数的定义，进而求出满足要求的m的值。
10．【答案】4
【知识点】函数的值；幂函数的图象
【解析】【解答】因为幂函数（是常数）的图象经过点，所以，所以，所以，所以。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合代入法和幂函数的解析式，进而得出 的值，从而得出幂函数的解析式，再结合代入法得出的值。
11．【答案】(-∞，1]
【知识点】幂函数的图象；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】设，则，得，所以.容易判断是定义在R上的增函数，且为奇函数，所以由，得，得，A的取值范围是(-∞，1].
故答案为：(-∞，1].
【分析】根据题意把点的坐标代入到函数的解析式，由此计算出的取值，从而即可得出函数的解析式，由幂函数的性质即可函数的单调性，再由函数的单调性即可得出不等式，求解出a的取值范围即可。
12．【答案】-1
【知识点】函数奇偶性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象；幂函数的性质
【解析】【解答】函数为幂函数，则，解得：或
又函数为奇函数，则为奇数，故
故答案为：-1
【分析】首先由幂函数的定义即可得出关于t的方程，求解出t的取值从而得出函数的解析式，结合奇函数的定义代入验证即可得出答案。
13．【答案】-2
【知识点】函数奇偶性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象
【解析】【解答】根据题意，因为为幂函数，所以，解得或．
当时，是偶函数；
当时，既不是奇函数也不是偶函数．
综上，．
故答案为：-2.
【分析】根据题意由幂函数的定义结合题意，代入数值计算出m的取值，然后由偶函数的定义计算出满足题意的m的取值。
14．【答案】
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】∵幂函数f（x）=xα在（0，+∞）上单调递增，∴
故，所以，
故答案为：．
【分析】根据题意由幂函数的定义，结合函数的单调性及可计算出的取值，从而即可得出函数的解析式，再把点的坐标代入计算出结果即可。
15．【答案】-1
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由函数是幂函数，则，得或
当时，函数不是偶函数，所以舍去.
当时，函数是偶函数，满足条件.
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义，从而求出实数m的值，再利用偶函数的定义，从而找出满足要求的实数m的值。
16．【答案】（1）解：因为幂函数的图象经过点，则有，
所以，
所以；
（2）解：因为，所以函数为偶函数，
又函数在上递增，且 ，
所以 ，
所以，
解得，
所以满足条件 的实数 的取值范围为 .
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）利用幂函数的图象经过点结合代入法，从而求出的值， 进而求出幂函数的解析式。
（2）利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再利用增函数的定义，从而判断出函数在上递增， 再利用偶函数的定义结合增函数的性质，进而求出满足条件 的实数的取值范围。
17．【答案】（1）因为为幂函数，
所以，解得或.
当时，在上单调递减，不符合题意；
当时，在上单调递增，符合题意.
综上，的值为.
（2）的定义域为，且在上单调递增.
又因为函数在上单调递增，
所以的定义域为，且在上单调递增.
由，得
解得
故所求不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象
【解析】【分析】(1)根据题意由幂函数的定义计算出m的取值，再由函数的单调性即可求出满足题意的m的取值。
(2)由已知条件即可得出函数g(x)的单调性，然后由题意即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可，从而即可得出不等式的解集。
18．【答案】（1）由题意可得.，.
（2），在上单调递增.
证明如下：任取，则
.
，，，，
，，即，
在上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【分析】(1)根据题意由幂函数的概念以及幂函数的单调性，即可求解出a的取值，由此即可得出函数的解析式。
(2)根据题意由函数单调性的定义，即可得证出结论。
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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第三节 幂函数的定义和解析式
一、单选题
1．（2022高一上·泸州期末）已知幂函数经过点，则（ ）
A． B．9 C．27 D．81
【答案】C
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】设幂函数，则有，可得
故，则
故答案为：C
【分析】由幂函数的解析式，代入数值计算出的取值，由此得出函数的解析式，再把数值代入打函数解析式，计算出结果即可。
2．（2022高一上·吉林期末）若幂函数的图象过点，则函数的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【知识点】二次函数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】令，由题设，则，
∴，
故当时，函数最小值为.
故答案为：B.
【分析】令，由题设，则，即可求出，再结合二次函数的性质，即可求解.
3．（2021高一上·房山期末）下列函数中，值域是的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】由题意可得B、D的函数为指数函数，故排除B、D；
对于A：函数，定义域为R，所以值域为R，满足条件；
对于C：函数，定义域为，在第一象限内单调递增，又，所以值域为，不满足条件；
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合函数值域求解方法，进而找出值域为R的幂函数。
4．（2021高一上·商丘月考）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增，则整数a的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为幂函数在上单调递增，
所以，解得，
又因为a是整数，
所以a的可能取值有.
当a=0时，为偶函数，符合题意；
当a=或1时，幂函数为奇函数，不符合题意.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和增函数的定义，从而求出满足要求的整数a的值。
5．（2021高一上·广西月考）若幂函数没有零点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．0
【答案】A
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象；函数的零点
【解析】【解答】解：由幂函数，
可得，解得或2，
当时，，令，无解，符合题意，
当时，，令，则，不符题意，
所以.
故答案为：A.
【分析】由幂函数的定义计算出m的取值，再代入验证结合零点的定义即可得出满足题意的m的值。
6．（2021高一上·宁德期中）已知函数是幂函数，且时，单调递增，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2或-1 D．2
【答案】D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题意是幂函数，
则，解得或，
因为在上是增函数，
而当时，符合题意；
当时，，所以在上是减函数，不符合题意，
。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义，从而求出m的值，再结合幂函数的图象的单调性，进而找出满足要求的实数m的值。
二、多选题
7．（2022高一上·宝安期末）若函数是幂函数，则一定（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】B,D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】因为函数是幂函数，
所以，
解得或，
所以或，
由幂函数性质知是奇函数且单调递增，
故答案为：BD.
【分析】根据幂函数的定义，求出或，从而判断函数的单调性和奇偶性即可.
三、填空题
8．（2021高一上·成都期末）已知幂函数的图象过点，则 .
【答案】1
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】∵为幂函数，∴，∴；
∵其图象过点，∴，∴，
∴，
故答案为：1
【分析】 由题意利用幂函数的定义和性质，求得k和a的值，进而可得 的值 .
9．（2021高一上·齐齐哈尔期末）若函数是幂函数，且是偶函数，则m＝ .
【答案】2
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为函数是幂函数，所以，解得：或，
当时，函数是偶函数，成立，
当时，函数是奇函数，不成立。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义得出m的取值，再结合分类讨论的方法结合偶函数的定义，进而求出满足要求的m的值。
10．（2022高一上·东城期末）已知幂函数（是常数）的图象经过点，那么 ．
【答案】4
【知识点】函数的值；幂函数的图象
【解析】【解答】因为幂函数（是常数）的图象经过点，所以，所以，所以，所以。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合代入法和幂函数的解析式，进而得出 的值，从而得出幂函数的解析式，再结合代入法得出的值。
11．（2021高一上·靖远期末）已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是 .
【答案】(-∞，1]
【知识点】幂函数的图象；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】设，则，得，所以.容易判断是定义在R上的增函数，且为奇函数，所以由，得，得，A的取值范围是(-∞，1].
故答案为：(-∞，1].
【分析】根据题意把点的坐标代入到函数的解析式，由此计算出的取值，从而即可得出函数的解析式，由幂函数的性质即可函数的单调性，再由函数的单调性即可得出不等式，求解出a的取值范围即可。
12．（2021高一上·湖北月考）已知幂函数为定义域上的奇函数，则 .
【答案】-1
【知识点】函数奇偶性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象；幂函数的性质
【解析】【解答】函数为幂函数，则，解得：或
又函数为奇函数，则为奇数，故
故答案为：-1
【分析】首先由幂函数的定义即可得出关于t的方程，求解出t的取值从而得出函数的解析式，结合奇函数的定义代入验证即可得出答案。
13．（2021高一上·湖南月考）已知幂函数是偶函数，则 ．
【答案】-2
【知识点】函数奇偶性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象
【解析】【解答】根据题意，因为为幂函数，所以，解得或．
当时，是偶函数；
当时，既不是奇函数也不是偶函数．
综上，．
故答案为：-2.
【分析】根据题意由幂函数的定义结合题意，代入数值计算出m的取值，然后由偶函数的定义计算出满足题意的m的取值。
14．（2021高一上·南京月考）已知，若幂函数f（x）=xα在（0，+∞）上单调递增，则f（2）= .
【答案】
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】∵幂函数f（x）=xα在（0，+∞）上单调递增，∴
故，所以，
故答案为：．
【分析】根据题意由幂函数的定义，结合函数的单调性及可计算出的取值，从而即可得出函数的解析式，再把点的坐标代入计算出结果即可。
15．（2021高一上·玉林期中）函数是幂函数且为偶函数，则m的值为 ．
【答案】-1
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由函数是幂函数，则，得或
当时，函数不是偶函数，所以舍去.
当时，函数是偶函数，满足条件.
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义，从而求出实数m的值，再利用偶函数的定义，从而找出满足要求的实数m的值。
四、解答题
16．（2021高一上·房山期末）已知幂函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数满足条件 ，试求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为幂函数的图象经过点，则有，
所以，
所以；
（2）解：因为，所以函数为偶函数，
又函数在上递增，且 ，
所以 ，
所以，
解得，
所以满足条件 的实数 的取值范围为 .
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）利用幂函数的图象经过点结合代入法，从而求出的值， 进而求出幂函数的解析式。
（2）利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再利用增函数的定义，从而判断出函数在上递增， 再利用偶函数的定义结合增函数的性质，进而求出满足条件 的实数的取值范围。
17．（2021高一上·河北月考）已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值；
（2）设函数，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）因为为幂函数，
所以，解得或.
当时，在上单调递减，不符合题意；
当时，在上单调递增，符合题意.
综上，的值为.
（2）的定义域为，且在上单调递增.
又因为函数在上单调递增，
所以的定义域为，且在上单调递增.
由，得
解得
故所求不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象
【解析】【分析】(1)根据题意由幂函数的定义计算出m的取值，再由函数的单调性即可求出满足题意的m的取值。
(2)由已知条件即可得出函数g(x)的单调性，然后由题意即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可，从而即可得出不等式的解集。
18．（2021高一上·洛阳期中）已知函数（是常数）为幂函数，且在上单调递增.
（1）求的表达式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.
【答案】（1）由题意可得.，.
（2），在上单调递增.
证明如下：任取，则
.
，，，，
，，即，
在上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【分析】(1)根据题意由幂函数的概念以及幂函数的单调性，即可求解出a的取值，由此即可得出函数的解析式。
(2)根据题意由函数单调性的定义，即可得证出结论。
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