高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第三节 幂函数的性质及图像
一、单选题
1．（2020高一上·葫芦岛期末）幂函数 的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020高二上·长沙开学考）如图是幂函数 的部分图像，已知 取 这四个值，则于曲线 相对应的 依次为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019高一上·湖北期中）若幂函数 的图像不经过原点，则 的值为（ ）
A．2 B．-3 C．3 D．-3或2
4．（2019高一上·平罗期中）如图的曲线是幂函数 在第一象限内的图像.已知 分别取 ， 四个值，与曲线 、 、 、 相应的 依次为（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
5．（2018高一上·包头期中）下图给出4个幂函数的图象，则图像与函数的大致对应是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2020高一上·重庆期中）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2017-2018学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1）在下列四个图形中， 的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019高一上·怀宁月考）幂函数 的图象经过点 ，则 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019高三上·上海月考）函数 的大致图象是
A． B．
C． D．
10．（2019高一上·芜湖期中）函数 的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2017-2018学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1）函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图像如图所示，则实数a、b、c的大小关系为（ ）
A．c
二、多选题
12．（2022高一上·宝安期末）若函数是幂函数，则一定（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上单调递减 D．在上单调递增
13．（2020高一上·泉州期中）已知幂函数 的图像如图所示，则a值可能为（ ）
A． B． C． D．3
三、填空题
14．（2022高二下·温州期末）已知幂函数在为减函数，则 .
15．（2022高一下·深圳期中）若幂函数 为偶函数，则 .
16．（2022高一下·盐田月考）已知幂函数的图像过点，则 .
17．（2022高一上·越秀期末）函数是幂函数，且在上是减函数，则实数 .
18．（2020高一上·浙江月考）已知幂函数 的图像如图所示，那么实数m的值是 .
19．（2020高一上·山东月考）已知幂函数 的图像过点 ，则 ，由此，请比较下列两个数的大小： .
四、解答题
20．（2020高一上·南昌月考）已知幂函数 的图像过点 .
（1）求函数 的解析式；
（2）设函数 在 是单调函数，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解： ， 幂函数在第一象限内的图象为增函数，排除 ， ， ，
故答案为：B．
【分析】利用幂函数的单调性进行判断，可得答案。
2．【答案】A
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】令 ，分别代入 ， ， ， ，
得到 ， ， ， ，
根据图象可知 相对应的 依次为：
故答案为：A
【分析】利用特值法将 ，分别代入 ， ， ， ，得到相应的函数值，再结合图象即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由幂函数的定义得 ，
所以 或 .
当 时， ，函数的图象不过原点；
当 时， ，函数的图象过原点，与已知不相符.所以舍去.
故答案为：A
【分析】先根据幂函数的定义求出 的值，再根据函数不过原点，确定 的值.
4．【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】依题意可知，四条曲线分别表示 的图像，当 时，幂函数 的图像随着 的变大而变高，故 、 、 、 相应的 依次为 ， ， ， .
故答案为：A.
【分析】根据幂函数 的图像，判断出正确选项.
5．【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除C，D
①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A
故答案为：B
【分析】由已知利用幂函数的图象特点，分别进行判断即可得结果.
6．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的图象；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，
且此函数在定义域上是增函数，排除 ，
另外， 时， ，
所以 时，函数 图象要在 的下方，
排除D，故答案为：B.
【分析】首先求出函数的定义域进而排除A、C再由幂函数的性质比较出进而得到该图象在的下方。
7．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 的定义域为(0，＋∞)，是减函数． 故答案为：D.
【分析】根据题意结合幂函数的图象和性质即可得出结论。
8．【答案】D
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】设函数 ， ，解得 ，所以 ，故答案为：D.
【分析】先根据幂函数定义设解析式，代点的坐标求得解析式，再根据解析式确定函数图象.
9．【答案】A
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由题意得， ，所以函数的定义域为 ，因为 ，根据幂函数的性质，可知函数 在第一象限为单调递减函数，
故答案为：A．
【分析】由已知幂函数，得到函数的定义域为 ，利用幂函数的图象在第一象限单调递减，即可判断函数的大致图象.
10．【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】首先由分数指数幂运算公式可知 ，则 ，
，且函数的定义域为 ，所以函数是偶函数，关于 轴对称，故排除AD，
因为 ，所以 在第一象限的增加比较缓慢，故排除B，
故答案为：C
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在第一象限的增速，判断选项.
11．【答案】A
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由幂函数图象特征知，a＞1，0＜b＜1，c＜0， 故答案为：A．
【分析】根据题意结合幂函数的图象与性质逐一判断即可得出结论。
12．【答案】B,D
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数是幂函数，
所以，
解得或，
所以或，
由幂函数性质知是奇函数且单调递增，
故答案为：BD.
【分析】根据幂函数的定义，求出或，从而判断函数的单调性和奇偶性即可.
13．【答案】A,C
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由图可知， 定义域为R，且为奇函数，B不符合题意；
可知 在 上凸递增，则 ，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据幂函数的性质即可判断.
14．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】为幂函数，所以，解得：或.
当时，为R上的增函数；当时，为R上的减函数.
所以，所以.
故答案为：.
【分析】由幂函数的定义结合函数的单调性，即可计算出m的取值，从而得出函数的解析式，再把数值代入计算出结果即可。
15．【答案】2
【知识点】偶函数；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为幂函数 为偶函数，
所以m2-m-1=1，
解得m=2或m=-1，
当m=2时，幂函数y=x2为偶函数，符合题意，
当m=-1时，幂函数y=x-1为奇函数，不符合题意，
所以m=2.
故答案为：2
【分析】根据幂函数的概念，求得m=2或m=-1，再结合偶函数的定义，排除m=-1，从而得解.
16．【答案】2
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】根据幂函数定义得，，所以，又图像过点，
所以，解得，所以.
故答案为：2.
【分析】 根据幂函数的定义求出m的值，代入点的坐标求出n的值，求出mn的值即可.
17．【答案】2
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题设，，即，解得或，
当时，，此时函数在上递增，不合题意；
当时，，此时函数在上递减，符合题设.
综上，.
故答案为：2
【分析】 由幂函数的定义知，其系数值应为1，又在x∈(0， +∞)上是减函数，故其幂指数为负，由此求出实数m的值.
18．【答案】-2
【知识点】奇偶函数图象的对称性；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】因为函数 为幂函数，
所以 ，解得 或 ，
又由函数的图象可得该函数为偶函数，所以 。
故答案为：-2。
【分析】利用幂函数的定义结合幂函数图象的对称性，从而判断出函数为偶函数，再利用偶函数的定义求出m的值。
19．【答案】-2；<
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】解：因为幂函数 的图像过点 ，故 .
因为 ，故 .
即 .
故答案为：-2；<
【分析】首先把点的坐标代入到幂函数的解析式计算出n的值，由此得到不等式再由指数函数的单调性即可比较出大小。
20．【答案】（1）解：因为 的图像过点 ，
所以 ，则 ，
所以函数 的解析式为： ；
（2）解：由（1）得 ，
所以函数 的对称轴为 ，
若函数 在 是单调函数，
则 或 ，
即 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
【知识点】二次函数的性质；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）利用幂函数 过点 即可求出函数 的解析式；（2）利用二次函数对称轴与区间 的位置，即可求出实数 的取值范围.
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一、单选题
1．（2020高一上·葫芦岛期末）幂函数 的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解： ， 幂函数在第一象限内的图象为增函数，排除 ， ， ，
故答案为：B．
【分析】利用幂函数的单调性进行判断，可得答案。
2．（2020高二上·长沙开学考）如图是幂函数 的部分图像，已知 取 这四个值，则于曲线 相对应的 依次为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】令 ，分别代入 ， ， ， ，
得到 ， ， ， ，
根据图象可知 相对应的 依次为：
故答案为：A
【分析】利用特值法将 ，分别代入 ， ， ， ，得到相应的函数值，再结合图象即可得到答案.
3．（2019高一上·湖北期中）若幂函数 的图像不经过原点，则 的值为（ ）
A．2 B．-3 C．3 D．-3或2
【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由幂函数的定义得 ，
所以 或 .
当 时， ，函数的图象不过原点；
当 时， ，函数的图象过原点，与已知不相符.所以舍去.
故答案为：A
【分析】先根据幂函数的定义求出 的值，再根据函数不过原点，确定 的值.
4．（2019高一上·平罗期中）如图的曲线是幂函数 在第一象限内的图像.已知 分别取 ， 四个值，与曲线 、 、 、 相应的 依次为（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】依题意可知，四条曲线分别表示 的图像，当 时，幂函数 的图像随着 的变大而变高，故 、 、 、 相应的 依次为 ， ， ， .
故答案为：A.
【分析】根据幂函数 的图像，判断出正确选项.
5．（2018高一上·包头期中）下图给出4个幂函数的图象，则图像与函数的大致对应是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除C，D
①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A
故答案为：B
【分析】由已知利用幂函数的图象特点，分别进行判断即可得结果.
6．（2020高一上·重庆期中）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的图象；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，
且此函数在定义域上是增函数，排除 ，
另外， 时， ，
所以 时，函数 图象要在 的下方，
排除D，故答案为：B.
【分析】首先求出函数的定义域进而排除A、C再由幂函数的性质比较出进而得到该图象在的下方。
7．（2017-2018学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1）在下列四个图形中， 的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 的定义域为(0，＋∞)，是减函数． 故答案为：D.
【分析】根据题意结合幂函数的图象和性质即可得出结论。
8．（2019高一上·怀宁月考）幂函数 的图象经过点 ，则 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】设函数 ， ，解得 ，所以 ，故答案为：D.
【分析】先根据幂函数定义设解析式，代点的坐标求得解析式，再根据解析式确定函数图象.
9．（2019高三上·上海月考）函数 的大致图象是
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由题意得， ，所以函数的定义域为 ，因为 ，根据幂函数的性质，可知函数 在第一象限为单调递减函数，
故答案为：A．
【分析】由已知幂函数，得到函数的定义域为 ，利用幂函数的图象在第一象限单调递减，即可判断函数的大致图象.
10．（2019高一上·芜湖期中）函数 的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】首先由分数指数幂运算公式可知 ，则 ，
，且函数的定义域为 ，所以函数是偶函数，关于 轴对称，故排除AD，
因为 ，所以 在第一象限的增加比较缓慢，故排除B，
故答案为：C
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在第一象限的增速，判断选项.
11．（2017-2018学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1）函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图像如图所示，则实数a、b、c的大小关系为（ ）
A．c【答案】A
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由幂函数图象特征知，a＞1，0＜b＜1，c＜0， 故答案为：A．
【分析】根据题意结合幂函数的图象与性质逐一判断即可得出结论。
二、多选题
12．（2022高一上·宝安期末）若函数是幂函数，则一定（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】B,D
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数是幂函数，
所以，
解得或，
所以或，
由幂函数性质知是奇函数且单调递增，
故答案为：BD.
【分析】根据幂函数的定义，求出或，从而判断函数的单调性和奇偶性即可.
13．（2020高一上·泉州期中）已知幂函数 的图像如图所示，则a值可能为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A,C
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由图可知， 定义域为R，且为奇函数，B不符合题意；
可知 在 上凸递增，则 ，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据幂函数的性质即可判断.
三、填空题
14．（2022高二下·温州期末）已知幂函数在为减函数，则 .
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】为幂函数，所以，解得：或.
当时，为R上的增函数；当时，为R上的减函数.
所以，所以.
故答案为：.
【分析】由幂函数的定义结合函数的单调性，即可计算出m的取值，从而得出函数的解析式，再把数值代入计算出结果即可。
15．（2022高一下·深圳期中）若幂函数 为偶函数，则 .
【答案】2
【知识点】偶函数；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为幂函数 为偶函数，
所以m2-m-1=1，
解得m=2或m=-1，
当m=2时，幂函数y=x2为偶函数，符合题意，
当m=-1时，幂函数y=x-1为奇函数，不符合题意，
所以m=2.
故答案为：2
【分析】根据幂函数的概念，求得m=2或m=-1，再结合偶函数的定义，排除m=-1，从而得解.
16．（2022高一下·盐田月考）已知幂函数的图像过点，则 .
【答案】2
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】根据幂函数定义得，，所以，又图像过点，
所以，解得，所以.
故答案为：2.
【分析】 根据幂函数的定义求出m的值，代入点的坐标求出n的值，求出mn的值即可.
17．（2022高一上·越秀期末）函数是幂函数，且在上是减函数，则实数 .
【答案】2
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题设，，即，解得或，
当时，，此时函数在上递增，不合题意；
当时，，此时函数在上递减，符合题设.
综上，.
故答案为：2
【分析】 由幂函数的定义知，其系数值应为1，又在x∈(0， +∞)上是减函数，故其幂指数为负，由此求出实数m的值.
18．（2020高一上·浙江月考）已知幂函数 的图像如图所示，那么实数m的值是 .
【答案】-2
【知识点】奇偶函数图象的对称性；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】因为函数 为幂函数，
所以 ，解得 或 ，
又由函数的图象可得该函数为偶函数，所以 。
故答案为：-2。
【分析】利用幂函数的定义结合幂函数图象的对称性，从而判断出函数为偶函数，再利用偶函数的定义求出m的值。
19．（2020高一上·山东月考）已知幂函数 的图像过点 ，则 ，由此，请比较下列两个数的大小： .
【答案】-2；<
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】解：因为幂函数 的图像过点 ，故 .
因为 ，故 .
即 .
故答案为：-2；<
【分析】首先把点的坐标代入到幂函数的解析式计算出n的值，由此得到不等式再由指数函数的单调性即可比较出大小。
四、解答题
20．（2020高一上·南昌月考）已知幂函数 的图像过点 .
（1）求函数 的解析式；
（2）设函数 在 是单调函数，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：因为 的图像过点 ，
所以 ，则 ，
所以函数 的解析式为： ；
（2）解：由（1）得 ，
所以函数 的对称轴为 ，
若函数 在 是单调函数，
则 或 ，
即 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
【知识点】二次函数的性质；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）利用幂函数 过点 即可求出函数 的解析式；（2）利用二次函数对称轴与区间 的位置，即可求出实数 的取值范围.
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