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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第四节 函数的应用
一、单选题
1．（2022高一下·岑溪期中）函数 ，若 ，则实数a的值为（ ）
A．±1 B．-2或±1 C．-1 D．-2或-1
【答案】C
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】当 时，令 ，与 矛盾，不合题意；
当 时，令 ，取 ，符合题意。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合分段函数的解析式和代入法，进而得出实数a的值。
2．（2022高一下·湖北期中）已知函数若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】依据基本初等函数的图形变换，可画出的图像如图，
方程有且仅有三个不等实根，即函数与图像有三个交点，易得，
故答案为：B.
【分析】画出的图象，然后结合图象可得答案.
3．（2022高一下·鹤峰月考）已知函数是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：因为函数是减函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：A.
【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系，求解可得实数的取值范围。
4．（2022高一上·温州期末）已知函数，则是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】由题设，，
∴。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式，再结合代入法得出函数值。
二、填空题
5．（2022高一下·湛江期末）对实数、定义一个运算：，设函数（），若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】由可得：，则：
.
据此有：.
当时，x-x2=-2，当时，.
函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点等价于函数y=f(x)与y=c的图象有
两个交点.
如图所示：函数y=c在和之间及y=-2以下与函数f(x)有两个交点.
据此可得：实数的取值范围是
【分析】由已知条件结合函数的解析式，结合二次函数的图象和性质由数形结合法，即可得出满足题意的c的取值范围。
6．（2022高一上·台州期末）设函数，若，则实数a的值为 .
【答案】5
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】，，解得：。
故答案为：5。
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式，再结合代入法得出函数值，进而求出实数a的值。
7．（2022高一上·海淀期末）已知函数（且）.给出下列四个结论：
①存在实数a，使得有最小值；
②对任意实数a（且），都不是R上的减函数；
③存在实数a，使得的值域为R；
④若，则存在，使得.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②④
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】当时，当时，，所以有最小值0，①正确；
若是R上的减函数，则，无解，所以②正确；
当时，单减，且当时，值域为，而此时单增，最大值为，所以函数值域不为R；
当时，单增，单增，若的值域为R，则，所以，与矛盾；所以不存在实数a，使得的值域为R；
由①可知，当时，函数值域不为R；当时，单减，最小值为，单增，且，所以函数值域不为R，综上③错误；
又关于轴的对称函数为，若，则，但指数函数的增长速度快于函数的增长速度，所以必存在，使得，即成立，所以④正确.
故答案为：①②④
【分析】首先由已知条件对a赋值，由此得出函数的解析式，然后由指数函数和一次函数的单调性即可得出函数的图象和单调性，再由函数的单调性即可得出函数的最值，从而得出函数的值域，结合函数图象的性质由已知条件即可得出正确结论的序号。
三、解答题
8．（2022高一下·温州期中）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车道速度是0千米/小时.
（1）若车流速度不小于50千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.
【答案】（1）解：由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），
代入，得，解得，
所以.
当时，，符合题意；
当时，令，解得，所以.
综上，.
答：若车流速度不小于50千米/小时，则车流密度的取值范围是.
（2）解：由题意得，
当时，为增函数，所以，等号当且仅当成立；
当时，
.
即，等号当且仅当，即，即成立.
综上，的最大值约为3792，此时约为87.
答：隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用；函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法得出实数k的值，再利用分类讨论的方法结合分段函数的解析式，从而求出车流密度x的取值范围。
（2） 由题意得出分段函数，再利用分类讨论的方法结合函数的单调性求函数最值的方法、均值不等式求最值的方法，再结合比较法得出分段函数的最大值，进而求出对应的x的值，从而得出隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米。
9．（2022高一下·深圳期中）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，开发把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本 （元）与月处理量 （吨） 之间的函数关系可近似地表示为 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
（1）当 时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；
（2）该项目每月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低．
【答案】（1）解：当 时，设该项目获利为S，
则 ；
当 时， ，此时该项目不会获利；
当 时，S取得最大值-5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．
（2）解：由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
则：①当 时， ，∴当 时， 取得最小值240；
②当 时， ，当且仅当 ，即 时， 取得最小值200；
∵ ，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；分段函数的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据题意，易得当 时，获利 ，由二次函数的性质求解即可；
（2）由题意得处理成本为：再分别求得每段上的最小值，并进行比较即可得结论.
10．（2022高一下·化州期中）新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机.已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32台，且每万台的销售收入（单位：万元）与年产量（单位：万台）的函数关系式近似满足：
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式.（年利润=年销售收入-总成本）；
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？
【答案】（1）解：，
∴.
（2）解：当时，，故在上单调递增，
∴时，取最大值，
当时，，当且仅当时等号成立，
∴当时，，
综上，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合收入与利润、成本的关系，从而得出分段函数年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合二次函数的图象求最值的方法、均值不等式求最值的方法，进而结合比较法得出当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元。
11．（2022高一下·浙江期中）2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
（1）求k的值；
（2）给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．
【答案】（1）解：因为第10天该商品的日销售收入为121元，
所以，解得；
（2）解：由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，
故只能选②：
代入数据可得：，解得，，
所以，（，）
（3）解：由（2）可得，，
所以，，
所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，有最小值，且为121；
当，时，为单调递减函数，
所以当时，有最小值，且为124，
综上，当时，有最小值，且为121元，
所以该商品的日销售收入最小值为121元．
【知识点】分段函数的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列式求得答案；
（2）由表中数据的变化可确定描述该商品的日销售量与时间x的关系，代入表述数据可求得其解析式；
（3）讨论去掉绝对值符号，分段求出函数的最小值，比较可得答案.
12．（2022高一下·嫩江月考）已知函数 (﹣2＜x≤3)．
（1）用分段函数的形式表示函数 ；
（2）画出函数 的图象；
（3）写出函数 的值域．
【答案】（1）解：
（2）解：函数 的图象如图所示
（3）解：由图得函数 的值域为
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用
【解析】【分析】(1)根据题意去掉绝对值，由此即可将函数f(x)表示为分段函数形式；
(2)根据(1)，f(x)的表达式，画出图象；
(3)根据(2)的图象，写出函数f(x)的值域.
13．（2021高二上·番禺期末）已知函数是定义在实数集上的奇函数，且当时，．
（1）求的解析式；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数是定义在实数集上的奇函数，
所以，
当时，则
所以当时
所以
（2）解：因为时，
在上恒成立
等价于即在上恒成立
令，则
①当时，不恒成立，故舍去
②当时必有，此时对称轴
若即或时，恒成立
因为，所以
若即时，要使恒成立
则有与矛盾，故舍去
综上，实数的取值范围是
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的图象；二次函数的性质；不等式的综合；分段函数的应用
【解析】【分析】(1)根据题意由奇函数的定义，结合真数的运算性质整理化简即可得出函数的解析式。
(2)由已知条件即可得出不等式 在上恒成立 ，即，令整理化简函数的解析式，结合二次函数的图象和性质即可得出满足不等式恒成立的m的取值范围。
14．（2022高一上·海南期末）某运营商为满足用户手机上网的需求，推出甲、乙两种流量包月套餐，两种套餐应付的费用（单位：元）和使用的上网流量（单位：GB）之间的关系如图所示，其中，都与横轴平行，与相互平行．
（1）分别求套餐甲、乙的费用（元）与上网流量（GB）的函数关系式和；
（2）根据题中信息，用户怎样选择流量包月套餐，能使自己应付的费用更少？
【答案】（1）解：对于套餐甲：
当时，，
当时，设，可知函数图象经过点，，
所以，解得，所以．
故
对于套餐乙：
当时，，
当时，根据题意，可设，
将代入可得，所以．
故
（2）解：由，可得，解得．
由函数图象可知：
若用户使用的流量时，应选择套餐甲；
若用户使用的流量时，选择两种套餐均可；
若用户使用的流量，应选择套餐乙．
【知识点】分段函数的应用；函数最值的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合线线平行的判断方法，再结合代入法，进而分别求出套餐甲、乙的费用（元）与上网流量（GB）的函数关系式和。
（2）利用已知条件结合两函数和的图象，再结合分类讨论的方法得出选择方案。
15．（2022高一上·海淀期末）2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖.屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了定疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康 减少病痛发挥了难以估量的作用.当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用.已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值.人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用t表示时间（单位：），在时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数.已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题：
（1）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是 .
①
②
③
④
（2）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1，则称青蒿素药片是合格的.基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片 ；（填“合格” “不合格”）
（3）记血药浓度的峰值为，当时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间.
【答案】（1）④
（2）合格
（3）解：当时，令，
所以，即，
即，解得或，
即；
当时，令，
则，解得，
即；
综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间
为
【知识点】一元二次不等式的解法；分段函数的应用
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得函数同时满足以下条件：
A.函数在上单调递增，在上单调递减；
B.当时，函数取得最大值；函数的最小值非负；
C.函数是一个连续变化的函数，不会发生骤变.
选择①：，
因为不满足条件B，
所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择②：，
当时，，
当时，函数取得最大值，不满足条件B，
所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择③：，
因为，
，
所以不满足条件C，
所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择④：，
因为，
且当时，，
所以同时满足三个条件，
即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；
综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④.；
（2）解：由（1）得：函数④：
因为，
即血药浓度的峰值大于0.1，
所以此青蒿素药片合格，
即答案为：合格；
【分析】(1)由已知条件结合分段函数的解析式，由二次函数的图象和性质即可得出函数的最值，结合题意即可得出满足题意的t的取值。
(2)根据题意把数值代入函数的解析式，计算出结果再与标准值进行比较即可得出结论。
(3)由已知条件整理化简不等式，再由二次函数的图象和性质就得出一元二次不等式的解集，结合题意即可得出答案。
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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第四节 函数的应用
一、单选题
1．（2022高一下·岑溪期中）函数 ，若 ，则实数a的值为（ ）
A．±1 B．-2或±1 C．-1 D．-2或-1
2．（2022高一下·湖北期中）已知函数若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高一下·鹤峰月考）已知函数是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高一上·温州期末）已知函数，则是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
二、填空题
5．（2022高一下·湛江期末）对实数、定义一个运算：，设函数（），若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 ．
6．（2022高一上·台州期末）设函数，若，则实数a的值为 .
7．（2022高一上·海淀期末）已知函数（且）.给出下列四个结论：
①存在实数a，使得有最小值；
②对任意实数a（且），都不是R上的减函数；
③存在实数a，使得的值域为R；
④若，则存在，使得.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
8．（2022高一下·温州期中）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车道速度是0千米/小时.
（1）若车流速度不小于50千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.
9．（2022高一下·深圳期中）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，开发把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本 （元）与月处理量 （吨） 之间的函数关系可近似地表示为 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
（1）当 时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；
（2）该项目每月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低．
10．（2022高一下·化州期中）新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机.已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32台，且每万台的销售收入（单位：万元）与年产量（单位：万台）的函数关系式近似满足：
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式.（年利润=年销售收入-总成本）；
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？
11．（2022高一下·浙江期中）2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
（1）求k的值；
（2）给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．
12．（2022高一下·嫩江月考）已知函数 (﹣2＜x≤3)．
（1）用分段函数的形式表示函数 ；
（2）画出函数 的图象；
（3）写出函数 的值域．
13．（2021高二上·番禺期末）已知函数是定义在实数集上的奇函数，且当时，．
（1）求的解析式；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
14．（2022高一上·海南期末）某运营商为满足用户手机上网的需求，推出甲、乙两种流量包月套餐，两种套餐应付的费用（单位：元）和使用的上网流量（单位：GB）之间的关系如图所示，其中，都与横轴平行，与相互平行．
（1）分别求套餐甲、乙的费用（元）与上网流量（GB）的函数关系式和；
（2）根据题中信息，用户怎样选择流量包月套餐，能使自己应付的费用更少？
15．（2022高一上·海淀期末）2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖.屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了定疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康 减少病痛发挥了难以估量的作用.当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用.已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值.人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用t表示时间（单位：），在时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数.已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题：
（1）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是 .
①
②
③
④
（2）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1，则称青蒿素药片是合格的.基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片 ；（填“合格” “不合格”）
（3）记血药浓度的峰值为，当时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】当 时，令 ，与 矛盾，不合题意；
当 时，令 ，取 ，符合题意。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合分段函数的解析式和代入法，进而得出实数a的值。
2．【答案】B
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】依据基本初等函数的图形变换，可画出的图像如图，
方程有且仅有三个不等实根，即函数与图像有三个交点，易得，
故答案为：B.
【分析】画出的图象，然后结合图象可得答案.
3．【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：因为函数是减函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：A.
【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系，求解可得实数的取值范围。
4．【答案】C
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】由题设，，
∴。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式，再结合代入法得出函数值。
5．【答案】
【知识点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】由可得：，则：
.
据此有：.
当时，x-x2=-2，当时，.
函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点等价于函数y=f(x)与y=c的图象有
两个交点.
如图所示：函数y=c在和之间及y=-2以下与函数f(x)有两个交点.
据此可得：实数的取值范围是
【分析】由已知条件结合函数的解析式，结合二次函数的图象和性质由数形结合法，即可得出满足题意的c的取值范围。
6．【答案】5
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】，，解得：。
故答案为：5。
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式，再结合代入法得出函数值，进而求出实数a的值。
7．【答案】①②④
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】当时，当时，，所以有最小值0，①正确；
若是R上的减函数，则，无解，所以②正确；
当时，单减，且当时，值域为，而此时单增，最大值为，所以函数值域不为R；
当时，单增，单增，若的值域为R，则，所以，与矛盾；所以不存在实数a，使得的值域为R；
由①可知，当时，函数值域不为R；当时，单减，最小值为，单增，且，所以函数值域不为R，综上③错误；
又关于轴的对称函数为，若，则，但指数函数的增长速度快于函数的增长速度，所以必存在，使得，即成立，所以④正确.
故答案为：①②④
【分析】首先由已知条件对a赋值，由此得出函数的解析式，然后由指数函数和一次函数的单调性即可得出函数的图象和单调性，再由函数的单调性即可得出函数的最值，从而得出函数的值域，结合函数图象的性质由已知条件即可得出正确结论的序号。
8．【答案】（1）解：由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），
代入，得，解得，
所以.
当时，，符合题意；
当时，令，解得，所以.
综上，.
答：若车流速度不小于50千米/小时，则车流密度的取值范围是.
（2）解：由题意得，
当时，为增函数，所以，等号当且仅当成立；
当时，
.
即，等号当且仅当，即，即成立.
综上，的最大值约为3792，此时约为87.
答：隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用；函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法得出实数k的值，再利用分类讨论的方法结合分段函数的解析式，从而求出车流密度x的取值范围。
（2） 由题意得出分段函数，再利用分类讨论的方法结合函数的单调性求函数最值的方法、均值不等式求最值的方法，再结合比较法得出分段函数的最大值，进而求出对应的x的值，从而得出隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米。
9．【答案】（1）解：当 时，设该项目获利为S，
则 ；
当 时， ，此时该项目不会获利；
当 时，S取得最大值-5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．
（2）解：由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
则：①当 时， ，∴当 时， 取得最小值240；
②当 时， ，当且仅当 ，即 时， 取得最小值200；
∵ ，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；分段函数的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据题意，易得当 时，获利 ，由二次函数的性质求解即可；
（2）由题意得处理成本为：再分别求得每段上的最小值，并进行比较即可得结论.
10．【答案】（1）解：，
∴.
（2）解：当时，，故在上单调递增，
∴时，取最大值，
当时，，当且仅当时等号成立，
∴当时，，
综上，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合收入与利润、成本的关系，从而得出分段函数年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合二次函数的图象求最值的方法、均值不等式求最值的方法，进而结合比较法得出当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元。
11．【答案】（1）解：因为第10天该商品的日销售收入为121元，
所以，解得；
（2）解：由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，
故只能选②：
代入数据可得：，解得，，
所以，（，）
（3）解：由（2）可得，，
所以，，
所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，有最小值，且为121；
当，时，为单调递减函数，
所以当时，有最小值，且为124，
综上，当时，有最小值，且为121元，
所以该商品的日销售收入最小值为121元．
【知识点】分段函数的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列式求得答案；
（2）由表中数据的变化可确定描述该商品的日销售量与时间x的关系，代入表述数据可求得其解析式；
（3）讨论去掉绝对值符号，分段求出函数的最小值，比较可得答案.
12．【答案】（1）解：
（2）解：函数 的图象如图所示
（3）解：由图得函数 的值域为
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用
【解析】【分析】(1)根据题意去掉绝对值，由此即可将函数f(x)表示为分段函数形式；
(2)根据(1)，f(x)的表达式，画出图象；
(3)根据(2)的图象，写出函数f(x)的值域.
13．【答案】（1）解：因为函数是定义在实数集上的奇函数，
所以，
当时，则
所以当时
所以
（2）解：因为时，
在上恒成立
等价于即在上恒成立
令，则
①当时，不恒成立，故舍去
②当时必有，此时对称轴
若即或时，恒成立
因为，所以
若即时，要使恒成立
则有与矛盾，故舍去
综上，实数的取值范围是
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的图象；二次函数的性质；不等式的综合；分段函数的应用
【解析】【分析】(1)根据题意由奇函数的定义，结合真数的运算性质整理化简即可得出函数的解析式。
(2)由已知条件即可得出不等式 在上恒成立 ，即，令整理化简函数的解析式，结合二次函数的图象和性质即可得出满足不等式恒成立的m的取值范围。
14．【答案】（1）解：对于套餐甲：
当时，，
当时，设，可知函数图象经过点，，
所以，解得，所以．
故
对于套餐乙：
当时，，
当时，根据题意，可设，
将代入可得，所以．
故
（2）解：由，可得，解得．
由函数图象可知：
若用户使用的流量时，应选择套餐甲；
若用户使用的流量时，选择两种套餐均可；
若用户使用的流量，应选择套餐乙．
【知识点】分段函数的应用；函数最值的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合线线平行的判断方法，再结合代入法，进而分别求出套餐甲、乙的费用（元）与上网流量（GB）的函数关系式和。
（2）利用已知条件结合两函数和的图象，再结合分类讨论的方法得出选择方案。
15．【答案】（1）④
（2）合格
（3）解：当时，令，
所以，即，
即，解得或，
即；
当时，令，
则，解得，
即；
综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间
为
【知识点】一元二次不等式的解法；分段函数的应用
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得函数同时满足以下条件：
A.函数在上单调递增，在上单调递减；
B.当时，函数取得最大值；函数的最小值非负；
C.函数是一个连续变化的函数，不会发生骤变.
选择①：，
因为不满足条件B，
所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择②：，
当时，，
当时，函数取得最大值，不满足条件B，
所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择③：，
因为，
，
所以不满足条件C，
所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择④：，
因为，
且当时，，
所以同时满足三个条件，
即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；
综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④.；
（2）解：由（1）得：函数④：
因为，
即血药浓度的峰值大于0.1，
所以此青蒿素药片合格，
即答案为：合格；
【分析】(1)由已知条件结合分段函数的解析式，由二次函数的图象和性质即可得出函数的最值，结合题意即可得出满足题意的t的取值。
(2)根据题意把数值代入函数的解析式，计算出结果再与标准值进行比较即可得出结论。
(3)由已知条件整理化简不等式，再由二次函数的图象和性质就得出一元二次不等式的解集，结合题意即可得出答案。
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