广西壮族自治区桂林市联盟校2023届高三上学期9月入学统一检测数学（理）试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 广西壮族自治区桂林市联盟校2023届高三上学期9月入学统一检测数学（理）试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 866.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-14 09:51:27 | ||
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文档简介
桂林市联盟校2023届高三上学期9月入学统一检测
数学（理科）
注意事项：
1.考试时长120分钟，满分150分.
2.请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）.
一 单选题（共60分）
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，若，则（ ）
A. B.2 C. D.3
3.已知向量，则“存在实数，使得”是“共线”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为（ ）
A.11.5尺 B.12.5尺 C.13.5尺 D.14.5尺
5.函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
6.从4名男生和2名女生中任选2人参加志愿者活动，则选中的2人都是男生的概率为（ ）
A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2
7.我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的（ ）
A.25 B.45 C.55 D.75
8.一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
9.已知满足，，则，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知，点是抛物线上的动点，过点向轴作垂线，垂足记为点，点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数是偶函数，且函数的图象关于点对称，当时，，则，（ ）
A. B. C.0 D.2
12.已知实数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
二 填空题（共20分）
13.曲线在点处的切线方程为__________.
14.在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为__________.
15.已知是椭圆的右焦点，为椭圆的下顶点，双曲线）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，的离心率分别为，则的最小值为__________.
16.已知函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是__________.
三 解答题（共70分）
17.在中，角的对边分别为.
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值.
18.2021年4月22日，一则“清华大学要求从2019级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2020届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 不喜欢游泳 总计
男生 10
女生 20
总计
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
附：，
0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19.图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，.将该图形沿，折起使得与重合，连接，如图2.
（1）证明：图2中C，D，E，G四点共面；
（2）求图2中二面角的平面角的余弦值.
20.已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左 右焦点，，且椭圆离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值
21.已知函数.
（1）若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.
选考题（请考生在22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）
22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知直线l与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求.
23.已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）若存在实数x，使得成立，求实数t的取值范围.
参考答案：
1-12BCABDCACAABA
13. 14.160
15. 16.
17.（1）由，可得，
得，则，
由于，所以.
（2）由，可得，又，则，
则，（当且仅当时等号成立）
则，（当且仅当时等号成立）
则，
即面积的最大值为.
18.（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，
所以喜欢游泳的学生人数为.
其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 100
（2）因为，
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
19.（1）证明：∵四边形和分别是矩形和菱形，
∴，，∴，∴，，，四点共面.
（2）解：在平面内过点作，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，.
∴，，，.
设平面的一个法向量为，则，即.
令，则.∴.
设平面的一个法向量为.则，令，
可得.∴，显然二面角为锐角.
∴二面角的平面角的余弦值为.
20.（1）由P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左 右焦点，，可得，，所以，又，则，
所以，，故椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知过的直线l斜率存在且，可设其方程为，，，则，由得：，
则，所以
，
当且仅当时，等号成立.
所以，面积的最大值为.
21.（1）解：，，
当时，恒成立，所以在上单调递增.
又，，
所以此时在上仅有一个零点，符合题意；
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，所以在上单调递减.
要使在上仅有一个零点，则必有，解得.
综上，当或时，在上仅有一个零点.
（2）因为，所以对任意的，恒成立，
等价于在上恒成立.
令，则只需即可，
则，
再令，则，
所以在上单调递增.
因为，，所以有唯一的零点，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，
设，则，
所以函数在上单调递增.
因为，所以，即.
所以，
则有.
所以实数a的取值范围为.
22.（1）由（t为参数），
可得l的普通方程为；
由曲线C的极坐标方程及
可得，
整理得，
所以曲线C的直角坐标方程为.
（2）易知点M在直线l上，
将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得，
即，
设P，Q对应的参数分别为，则，
因为，
所以.
23.（1）由题得，
当时，，解得，
当时，，无解，
当时，，可得，
综上，的解集为.
（2）∵，即，
又存在实数x，使得成立，∴，解得，
故实数t的取值范围为.
数学（理科）
注意事项：
1.考试时长120分钟，满分150分.
2.请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）.
一 单选题（共60分）
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，若，则（ ）
A. B.2 C. D.3
3.已知向量，则“存在实数，使得”是“共线”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为（ ）
A.11.5尺 B.12.5尺 C.13.5尺 D.14.5尺
5.函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
6.从4名男生和2名女生中任选2人参加志愿者活动，则选中的2人都是男生的概率为（ ）
A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2
7.我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的（ ）
A.25 B.45 C.55 D.75
8.一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
9.已知满足，，则，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知，点是抛物线上的动点，过点向轴作垂线，垂足记为点，点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数是偶函数，且函数的图象关于点对称，当时，，则，（ ）
A. B. C.0 D.2
12.已知实数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
二 填空题（共20分）
13.曲线在点处的切线方程为__________.
14.在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为__________.
15.已知是椭圆的右焦点，为椭圆的下顶点，双曲线）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，的离心率分别为，则的最小值为__________.
16.已知函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是__________.
三 解答题（共70分）
17.在中，角的对边分别为.
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值.
18.2021年4月22日，一则“清华大学要求从2019级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2020届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 不喜欢游泳 总计
男生 10
女生 20
总计
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
附：，
0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19.图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，.将该图形沿，折起使得与重合，连接，如图2.
（1）证明：图2中C，D，E，G四点共面；
（2）求图2中二面角的平面角的余弦值.
20.已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左 右焦点，，且椭圆离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值
21.已知函数.
（1）若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.
选考题（请考生在22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）
22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知直线l与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求.
23.已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）若存在实数x，使得成立，求实数t的取值范围.
参考答案：
1-12BCABDCACAABA
13. 14.160
15. 16.
17.（1）由，可得，
得，则，
由于，所以.
（2）由，可得，又，则，
则，（当且仅当时等号成立）
则，（当且仅当时等号成立）
则，
即面积的最大值为.
18.（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，
所以喜欢游泳的学生人数为.
其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 100
（2）因为，
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
19.（1）证明：∵四边形和分别是矩形和菱形，
∴，，∴，∴，，，四点共面.
（2）解：在平面内过点作，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，.
∴，，，.
设平面的一个法向量为，则，即.
令，则.∴.
设平面的一个法向量为.则，令，
可得.∴，显然二面角为锐角.
∴二面角的平面角的余弦值为.
20.（1）由P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左 右焦点，，可得，，所以，又，则，
所以，，故椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知过的直线l斜率存在且，可设其方程为，，，则，由得：，
则，所以
，
当且仅当时，等号成立.
所以，面积的最大值为.
21.（1）解：，，
当时，恒成立，所以在上单调递增.
又，，
所以此时在上仅有一个零点，符合题意；
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，所以在上单调递减.
要使在上仅有一个零点，则必有，解得.
综上，当或时，在上仅有一个零点.
（2）因为，所以对任意的，恒成立，
等价于在上恒成立.
令，则只需即可，
则，
再令，则，
所以在上单调递增.
因为，，所以有唯一的零点，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，
设，则，
所以函数在上单调递增.
因为，所以，即.
所以，
则有.
所以实数a的取值范围为.
22.（1）由（t为参数），
可得l的普通方程为；
由曲线C的极坐标方程及
可得，
整理得，
所以曲线C的直角坐标方程为.
（2）易知点M在直线l上，
将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得，
即，
设P，Q对应的参数分别为，则，
因为，
所以.
23.（1）由题得，
当时，，解得，
当时，，无解，
当时，，可得，
综上，的解集为.
（2）∵，即，
又存在实数x，使得成立，∴，解得，
故实数t的取值范围为.
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