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【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第五章：二元一次方程组
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
解A.是二元二次方程组，故A错误；
B. 不是二元一次方程组，故B错误；
C. 是三元一次方程组，故C错误；
D. 是二元一次方程组，故D正确；
故选：D
2．若是关于x，y的二元一次方程，则m＝（ ）．
A．±1 B．3 C．3 或 1 D．1
解：根据题意，得
且，
解得．
故选：D．
3．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、将代入方程组，
可得：，
即是方程组的解，符合题意；
B、将代入方程组，
可得：，
即不是方程组的解，不符合题意；
C、将代入方程组，
可得：，
即不是方程组的解，不符合题意；
D、将代入方程组，
可得：，
即不是方程组的解，不符合题意；
故选：A．
4．已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意得：-2×2+3m=5，
解得：m=3．
故选：A．
5．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有数目是（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
解：设有x人分银子，银子的总数为y两，
依题意得：
，
解得：，
∴银子的总数为46两．
故选：C．
6．一支部队第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军98km，且第一天比第二天少走2km，设第一天行军的平均速度是xkm/h，第二天行军的平均速度是ykm/h，根据题意列的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：根据题意可得：
，
故选：A．
7．小明买了两种不同的笔共8支，单价分别是1元和2元，共10元．设两种笔分别买了x支、y支，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
解：设单价1元的笔买了x支，单价2元的笔买了y支，
由题意得： ；
故选：C．
8．几个人一起买物品，若每人出8元，则盈余3元；若每人出7元，则还差4元．人数和价格各是多少？解：设共有x人，价格为y元，则根据题意可列方程组（ ）
A． B． C． D．
解：由题意，得：，
故选：C．
9．如图，直线和直线相交于点，则关于x，y的方程组，的解为（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意，可得方程组，
根据函数图像与方程组解的关系可知，函数图像的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解，则根据直线和直线相交于点得，
故选：A．
10．把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点O的直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
解：如图，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴，
而OB＝3，
∴AB 3＝5，
AB＝，
∴A点坐标为（，3），
设直线方程为y＝kx，
则3＝k，
∴k＝，
∴直线l解析式为y＝x．
故选：A．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．小亮到文具店购买学习用品．已知练习本的售价为0.5元/本，中性笔的售价为1元/支，若小亮购买5本练习本，x支中性笔（x为正整数），则所需费用y（单位：元）与x之间的函数关系式是__________．
【答案】y=x+2.5
解：∵练习本的售价为0.5元/本，中性笔的售价为1元/支，若小亮购买5本练习本，x支中性笔（x为正整数），
∴所需费用y（单位：元）与x之间的函数关系式是：y=0.55+x=x+2.5．
故答案为：y=x+2.5．
12．已知是二元一次方程组的解，则的值为_____________．
解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
13．新世纪百货推出A，B，C三种零食大礼包，每种礼包都由一定数量的坚果、牛肉干和薄脆饼组合搭配构成．三种大礼包的成本分别为礼包中三种零食的成本之和，同种零食的单价相同．已知袋牛肉干和袋薄脆饼的价格相同，一份A礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼，一份B礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼．若一份B，C礼包的成本相同，均比一份A礼包的成本贵，一份C礼包中的零食袋数与一份A礼包中的零食袋数之比为：，且一份C礼包中坚果袋数比牛肉干袋数多，则一份C礼包中的薄脆饼袋数比牛肉干袋数少______袋．
解：设牛肉干、薄脆饼价格分别为，，坚果价格为元，
由题意得，
解得，
则B、C礼包的成本为，
A礼包中零食袋数为袋，
C礼包中零食袋数为袋，
令C礼包中牛肉干袋数为，薄脆饼袋数为，坚果袋数为，
则，
解得，
由知，，
由知，
又、、为正整数，
，，，
，
故答案为：．
14．某校用一笔钱来购买，两种奖品，若购买24个种奖品和14个种奖品则差30元，若购买20个种奖品和18个种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个种奖品和10个种奖品差_________元．
解：设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，学校拿来购买奖品的钱数为c元，
依题意得：，
①×2-②得：28a+10b=c+80，
∴用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元．
故答案为：80．
15.如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P(1，1)，C为y轴上一点，连接PC，以PC为边做等腰直角三角形PCD，∠CPD＝90°，PC＝PD，过点D作线段AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则Q点的坐标是_______．
解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴DN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
∴a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
∴点D（3，2）
∴PC＝PD＝，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝＝2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k＝，
即直线CD的解析式是y＝，
∴组成方程组，
解得：，
∴点Q(，)，
故答案为：(，)．
三.解答题：（共55分）
16．（7分）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，求a+b的值是多少？
解：根据题意 是②方程的解， 是①方程的解，
∴ ，
解得：，
∴．
17．（8分）解下列方程组：
(1)
(2)
（1）解：，
把①代入②得：3x+2x-3=7，
解得：x=2，
把x=2代入①得：y=4-3=1，
则方程组的解为；
（2）解：方程组整理得：，
②-①×8得：21y=336，
解得：y=16，
把y=16代入①得：x-32=8，
解得：x=40，
则方程组的解为．
18．（8分）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，若用v表示声音在空气中的传播速度，t表示温度，则满足公式：v=at+b（a，b为已知数）．当t=10时，v=336．当t=20时，v=342．
(1)求a，b的值．
(2)求当t=15℃时，v的值．
（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：把a=0.6，b=330代入得：v=0.6t+330，
将t=15代入得：v=0.6×15+330=339．
19．（6分）已知关于x，y的方程组的解为4x+2y＝9的一个解，求m的值．
解：由题意得方程组，
解得，
将该结果代入方程x+3y＝m+1得，
2+3m+1，
解得m
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象l1：y＝﹣x+4与y轴、x轴分别交于点A，B，与正比例函数图象l2：y＝x交于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)求△OBC的面积与的值；
(3)若直线l3：y＝kx+2与y轴交于点D，与直线l2或l2交于点P，且△ADP的面积与△OBC的面积相等，求k的值．
（1）解：解方程组，解得：，
∴点C坐标为（3，1）；
（2）解：对于y=-x+4，当x=0时，y=4，当y=0时，由0=-x+4得：x=4，
∴点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，0），又点C坐标为（3，1），
∴OB=4，AC=，BC=
∴，
；
（3）解：∵y＝kx+2与y轴交于点D，
∴点D坐标为（0，2），则AD=2，
设P的横坐标为a，
由得：a=±2，
当点P为直线l3与直线l1的交点时，
将a=2代入y＝-x+4得：y=2，则P（2，2），
将P（2，2）代入y＝kx+2得：k=0（舍去）；
将a=-2代入y＝-x+4得：y=6，则P（-2，6），
将P（-2，6）代入y＝kx+2得：k=-2；
当点P为直线l3与直线l2的交点时，
将a=2代入y＝x得：y= ，则P（2，），
将P（2，）代入y＝kx+2得：k= ；
将a=-2代入y＝x得：y=，则P（-2，），
将P（-2，）代入y＝kx+2得：k=，
综上，满足条件的k值为-2或或．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，直线与直线相交于点C，点P是线段OA上一动点（点P不与点O，A重合），过点P作轴交AB于点Q，以OP，PQ为邻边作矩形OPQR，点R在OB上．设，矩形OPQR与重叠部分的面积为S．
(1)求点C的坐标；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
（1）解：，
解得，
∴点C的坐标是
（2），
当y=0时，x=6，
∴点A的坐标是，
∵点C的坐标是
∴分两种情况讨论：
①如图，
当时，把代入中，
，
∴，
∴，
②如图，
当时，
把代入中，
，
∴，
∴
∵四边形OPQR是矩形，
∴，
∴
把代入中，，
∴，
∴，
∴
综上，
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+和直线l2：y＝﹣x+b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF+OP的最小值；
（3）将△OBC沿直线l1平移，平移后记为△O1B1C1，直线O1B1交l2于点M，直线B1C1交x轴于点N，当△B1MN为等腰三角形时，请直接写出点C1的横坐标．
解：（1）由题意知：b＝
∴直线l2：y＝﹣x+
当y＝0时，x＝1
∴C（1，0）3
∵直线l1：y＝
∴当y＝0时，＝0，
∴x＝﹣3
∴A（﹣3，0）
∴S△ABC＝×[1﹣（﹣3）]×＝2；
（2）在Rt△ABO中，AB2＝AO2+BO2＝32+（）2＝12
在Rt△BOC中，BC2＝OC2+OB2＝12+（）2＝4
∵在△ABC中，AB2+BC2＝12+4＝16＝AC2
∴△ABC是直角三角形，∴AB⊥BC
作C点关于直线AB的对称点C′（﹣1，2），连接C'E交直线l1于F，
∵C'（﹣1，2） E（5，0）
∴直线C'E：y＝﹣x+
解得：
∴F（1，）
作二、四象限的角平分线l3，过点P作PQ⊥l3于Q，
则PQ＝OP，
∴PF+OP＝FP+PQ，
当F，P，Q三点共线时最小，即过F作PQ⊥l3于Q交y轴于P，作FG∥OB交直线l3于G．
此时△FQG为等腰直角三角形，斜边FG＝，
∴PF+OP的最小值为：FQ＝FG＝
（3）①如图2中，当B1M＝B1N时，
∵点C1中直线y＝x﹣上运动，设C1（m，m﹣），B1O1交x轴于E，则EB1＝m﹣＝m，
OE＝＝m，MB1＝NB1＝2OE＝m，
∴M（m﹣1，+m+m），
把点M坐标代入直线y＝﹣x+，得到：
+m+m＝﹣（m﹣1）+，
解得m＝．
②如图3中当MN＝MB1时，同法可得M（m﹣1，m），
把点M代入y＝﹣x+得到，m＝﹣（m﹣1）+，
解得，m＝．
③如图4中，当B1M＝B1N时，同法可得M（m﹣1，+m﹣m），
把点M代入y＝﹣x+得到，﹣m﹣m＝﹣（m﹣1）+，
解得m＝．
④如图5中，当NM＝NB1时，同法可得M（m﹣1，m），
把点M代入y＝﹣x+得到，m＝﹣（m﹣1）+，
解得m＝1（舍弃），
综上所述，C1的横坐标为：或或．
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【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第五章：二元一次方程组
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是关于x，y的二元一次方程，则m＝（ ）．
A．±1 B．3 C．3 或 1 D．1
3．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有数目是（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
6．一支部队第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军98km，且第一天比第二天少走2km，设第一天行军的平均速度是xkm/h，第二天行军的平均速度是ykm/h，根据题意列的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．小明买了两种不同的笔共8支，单价分别是1元和2元，共10元．设两种笔分别买了x支、y支，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．几个人一起买物品，若每人出8元，则盈余3元；若每人出7元，则还差4元．人数和价格各是多少？解：设共有x人，价格为y元，则根据题意可列方程组（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线和直线相交于点，则关于x，y的方程组，的解为（ ）
A． B． C． D．
10．把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点O的直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．小亮到文具店购买学习用品．已知练习本的售价为0.5元/本，中性笔的售价为1元/支，若小亮购买5本练习本，x支中性笔（x为正整数），则所需费用y（单位：元）与x之间的函数关系式是__________．
12．已知是二元一次方程组的解，则的值为_____________．
13．新世纪百货推出A，B，C三种零食大礼包，每种礼包都由一定数量的坚果、牛肉干和薄脆饼组合搭配构成．三种大礼包的成本分别为礼包中三种零食的成本之和，同种零食的单价相同．已知袋牛肉干和袋薄脆饼的价格相同，一份A礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼，一份B礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼．若一份B，C礼包的成本相同，均比一份A礼包的成本贵，一份C礼包中的零食袋数与一份A礼包中的零食袋数之比为：，且一份C礼包中坚果袋数比牛肉干袋数多，则一份C礼包中的薄脆饼袋数比牛肉干袋数少______袋．
14．某校用一笔钱来购买，两种奖品，若购买24个种奖品和14个种奖品则差30元，若购买20个种奖品和18个种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个种奖品和10个种奖品差_________元．
15.如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P(1，1)，C为y轴上一点，连接PC，以PC为边做等腰直角三角形PCD，∠CPD＝90°，PC＝PD，过点D作线段AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则Q点的坐标是_______．
三.解答题：（共55分）
16．（7分）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，求a+b的值是多少？
17．（8分）解下列方程组：
(1)
(2)
18．（8分）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，若用v表示声音在空气中的传播速度，t表示温度，则满足公式：v=at+b（a，b为已知数）．当t=10时，v=336．当t=20时，v=342．
(1)求a，b的值．
(2)求当t=15℃时，v的值．
19．（6分）已知关于x，y的方程组的解为4x+2y＝9的一个解，求m的值．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象l1：y＝﹣x+4与y轴、x轴分别交于点A，B，与正比例函数图象l2：y＝x交于点C．
(1)求点C的坐标；(2)求△OBC的面积与的值；
(3)若直线l3：y＝kx+2与y轴交于点D，与直线l2或l2交于点P，且△ADP的面积与△OBC的面积相等，求k的值．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，直线与直线相交于点C，点P是线段OA上一动点（点P不与点O，A重合），过点P作轴交AB于点Q，以OP，PQ为邻边作矩形OPQR，点R在OB上．设，矩形OPQR与重叠部分的面积为S．
(1)求点C的坐标；(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+和直线l2：y＝﹣x+b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF+OP的最小值；
（3）将△OBC沿直线l1平移，平移后记为△O1B1C1，直线O1B1交l2于点M，直线B1C1交x轴于点N，当△B1MN为等腰三角形时，请直接写出点C1的横坐标．
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