九上数学第一单元《特殊平行四边形》复习课件（共61张PPT）

(共61张PPT)
九年级上册
第一章 特殊平行四边形
几 何 语 言
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∴ AD=BC ，AB=DC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
一、平行四边形的性质
对角线互
相平分
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ，AB∥DC.
几 何 语 言
文字叙述
两组对边相等
一组对边平行且相等
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵ AD=BC ，AB=DC,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ AB=DC，AB∥DC,
二、平行四边形的判定
对角线互相平分
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ OA=OC，OB=OD,
两组对边分别平行（定义）
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD∥BC ，AB∥DC,
平行线之间的距离处处相等
1.三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
三、三角形的中位线
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC,
项目 四边形 对边 角 对角线
平行且相等
平行
且四边相等
平行
且四边相等
四个角
都是直角
对角相等
邻角互补
四个角
都是直角
互相平分且相等
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
四、矩形、菱形、正方形的性质
四边形 条件
①定义：有一个角是直角的平行四边形
②三个角是直角的四边形
③对角线相等的平行四边形
①定义：一组邻边相等的平行四边形
②四条边都相等的四边形
③对角线互相垂直的平行四边形
①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
②有一组邻边相等的矩形
③有一个角是直角的菱形
五、矩形、菱形、正方形的判定方法
考点一 多边形的内角和与外角和
例1 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数.
解： 设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,
则x+4x=180°,解得 x=36°.
∴边数n=360°÷36°=10.
考点讲练
1.一个正多边形的每一个内角都等于120 °，则其边数是 .
6
【解析】 因为该多边形的每一个内角都等于120度，所以它的每一个外角都等于60 °.所以边数是6.
归纳拓展
在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.
针对训练
考点二 平行四边形的性质
例2 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD
C．AB=CD D．AC=BC
【解析】A.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠1=∠2，故A正确；
B.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，故B正确；
C.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，故C正确；
D
方法总结
主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等且平行，对角相等.
针对训练
2.如图，已知 ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，
（平行四边形的对角相等，对边相等）
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAB= ∠BAD，∠FCD= ∠BCD，∴∠EAB= ∠FCD，
在△ABE和△CDF中，
∠B＝∠D
AB＝CD
∠EAB＝∠FCD
∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF． ∵AD=BC ∴AF=EC．
例3 如图，在 ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
AC=10cm，BD=6cm
∴OA=OC= AC=5cm，OB=OD= BD=3cm，
∵∠ODA=90°，
∴AD= =4cm．
A
方法总结
主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用.
【解析】∵在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，
∴AO=CO=12cm，BO=19cm，AD=BC=28cm，
∴△BOC的周长是：BO+CO+BC=12+19+28=5(cm)．
针对训练
3.如图，在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（　　）
A．45cm B．59cm C．62cm D．90cm
B
考点三 平行四边形的判定
例4 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA=OC，OB=OD
B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD=BC
D．AB=CD，AO=CO
D
平行四边形的判定方法：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
方法总结
针对训练
4.如图，点D、C在BF上，AC∥DE，∠A=∠E，BD=CF，
（1）求证：AB=EF．
（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠EDF，
∵BD=CF，∴BD+DC=CF+DC，
即BC=DF，
又∵∠A=∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS），
∴AB=EF.
（2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．
（2）猜想：四边形ABEF为平行四边形，
理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD，
∴∠ABF=∠EFB，∴AB∥EF，
又∵AB=EF，
四边形ABEF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
考点四 三角形的中位线
例5 已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点。求证： .
证明：过点D作DH∥BF,交AC于点H.
∵AD是△ABC的中线.
∴D是BC的中点.
∴CH＝HF＝ CF.
∵E是AD的中点，EF∥DH.
∴AF＝FH.
∴AF＝ FC.
A
B
C
D
E
F
H
针对训练
5.若三角形的三条中位线之比为 6 : 5 : 4 ,三角形的周长为 60 cm,那么该三角形中最长边的边长为＿＿＿;
解析:设三角形的三条中位线之长分别为6x,5x,4x，
则三角形的三条边长之长分别为12x,10x,8x，
依题意有 12x＋10x＋8x＝60，
解得 x＝2.
所以，最长边12x＝24（cm）.
24 cm
例6：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=2.5 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD(矩形的对角线相等).
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,
(矩形对角线相互平分)
∴OA = OD.
A
B
C
D
O
考点五 矩形的性质和判定
A
B
C
D
O
∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°.
又∵∠DAB=90° ,
（矩形的四个角都是直角）
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
6.如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O , △ABO是等边三角形, AB=4,求□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA= OC,OB = OD.
又∵△ABO是等边三角形,
∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
A
B
C
D
O
针对训练
∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） .
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB2 + BC2 =AC2 ,
∴BC= .
∴S□ABCD=AB·BC=4× =
A
B
C
D
O
7.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.
D
A
B
C
E
O
解：四边形CEBO是矩形.
理由如下：已知四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
∵DE∥AC,CE∥BD，
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
例7：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6.
A
B
C
O
D
考点六 菱形的性质和判定
证明：在△AOB中.
∵AB= , OA=2,OB=1.
∴AB2=AO2+OB2.
∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∴ □ABCD是菱形
(对角线垂直的平行四边形是菱形).
8. 已知：如右图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, AB= ,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD是菱形.
A
B
C
O
D
针对训练
9.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由.
A
B
C
D
E
F
解：四边形ABCD是菱形.
过点C作AB边的垂线交点E,作AD边上的垂线交点F.
S 四边形ABCD=AD · CF =AB ·CE .
由题意可知 CE = CF 且 四边形ABCD是平行四边形.
∴AD = AB .
∴四边形ABCD是菱形.
例8：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
A
B
D
C
F
E
考点七 正方形的性质和判定
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE⊥DF.
(2)延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
A
B
D
F
E
C
M
10. 如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
F
A
B
E
C
D
解析：先由两组平行线得出四边形BECF是平行四边形；再由一个直角，得出平行四边形BECF是矩形；最后由一组邻边相等可得矩形BECF是正方形.
45°
45°
针对训练
F
A
B
E
C
D
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°.
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,
∴ ∠ EBC =∠ ECB .
∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 .
在△EBC中，
∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°,
∴∠BEC = 90°,
∴菱形BECF是正方形.（有一个角是直角的菱形是正方形）
题型一
平行四边形的性质与判定
2．如图 ，在平行四边形 ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为（ ）
A.4cm
B.5cm
C.6cm
D.8cm
A
1.如图，口ABCD与口DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为 ．
第1题图
第2题图
25°
考题分类
3．如图,□ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.
(1)求证：△AOE≌△COF；
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，AB∥CD.
∴∠E＝∠F.又∠AOE＝∠COF.
∴△AOE≌△COF(AAS)．
(2)请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
(2)解：连接EC、AF，则EF与AC满足EF＝AC时，四边形AECF是矩形．
理由如下：
由(1)可知△AOE≌△COF，
∴OE＝OF.
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF＝AC，
∴四边形AECF是矩形．
题型二
特殊平行四边形的性质与判定应用
1.如图1，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E，F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm ,BC=8cm,则△AEF的周长= cm.
A
B
C
D
F
E
O
9
2．如图2， P 是菱形 ABCD 对角线 BD 上的一点，PE⊥AB 于点 E，PE＝4 cm，则点 P 到 BC 的距离是________cm.
4
3．如图1 四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6cm,
那么∠BAD= ° ，AB= cm, AC= cm.
60
6
4.如图 2，在正方形 ABCD 中，E为对角线 AC 上的一点，连接EB，ED.延长 BE 交 AD 于点 F，若∠DEB＝140°，那么∠AFE 的度数是 .
65°
5.如图3，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，DB=6，DE⊥BC于点E，则DE的长为 .
A
B
C
D
O
图1
图2
图3
4.8
6.过正方形ABCD对角线BD上的一点P，作PE⊥BC于E，
PF⊥CD于F.
求证：AP=EF.
A
B
C
D
E
F
P
证明：
连结AC、PC
∵四边形ABCD是正方形
∴BD垂直且平分AC
∴PA=PC
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°
∴四边形PECF是矩形
∴EF=PC
∴AP=EF
题型三
特殊平行四形的综合应用
1.如图，在△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作
等边三角形ABD,ACE,BC
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（1）证题思路：
先要证明△FDB≌△CAB（SAS）可得AC=DF，再由△AEC是等边三角形，则有AC=AE，所以有AE=DF；同理可证得AD=EF，故命题得证。
1.如图，在△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作
等边三角形ABD,ACE,BC
（2）探究下列问题
①当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？
②当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？
③当△ABC满足什么条件时，以D,A,E,F为顶点的四边形不存在？
④当△ABC满足什么条件时，平行四边形是正方形.
①∠BAC=150°
②AB=AC
③∠BAC=60°
④AB=AC且∠BAC=150°
2．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.(1)证明：△ABE≌△DAF；
(2)若∠AGB＝30°，求EF的长．
题型四
中点四边形及三角形中位线
解题小结：依次连接四边形各边中点所得到的新四边形(即中点四边形）的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关．
1.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、
BC、CD、DA的中点，请添加一个条件即 ，
使得四边形EFGH为菱形.
AC=BD
1.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AP、BP的中点，当点P在线段CD上从点C向点D移动时，线段EF的长度将 （填“变大”“变小”或“不变”）.
2.已知：如图2，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
图2
对应训练：
不变
1.如图在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则 △ＰＢＱ 周长的最小值是 cm (结果不取近似值）.
A D
P
B Q C
题型五
特殊平行四边形的对称性
2．如图 在平面直角坐标系中，菱形 OACB 的顶点在原点，点 C 的坐标为(4,0)，点 B 的纵坐标是－1，则顶点 A 的坐标是 .
y
x
o
A
B
C
(2,1)
题型六
创新作图类
创新作图
尺规作图
1.如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画∠AOB的平分线 (请保留画图痕迹）.
A
F
O
B
E
P
2.如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.
（1）在图（1）中，AB边上求作一点N，连接CN，使CN=AM ；
（2）在图（2）中，AB边上求作一点Q，连接CQ，使CN//AM ；
A
B
C
D
M
图（1）
A
B
C
D
M
图（2）
N
E
O
N
1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺
平，得到的图形是（ ）
(第1题)
C
课后演练
A
第3题图
B
2
D
6.如果平行四边形的两邻边分别为3，4，那么其对角线必
(　　)
A．大于1 B．小于7
C．大于1且小于7 D．小于7或大于1
C
8.矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点与
点A重合，求折痕EF的长.
解题要点：
1.先利用勾股定理求出AC=5；
2.设BE=x,则CE=4-x,由折叠可知
AE=CE=4-x,在Rt△ABE中利用
勾股定理建立方程求得x=7/8;
3.EF是折痕，AC被EF垂直平分，在Rt△AEO中，求得EO=15/8；
4.EF=15/4.
[答案] 略
[答案] 4
[答案] 8
[答案] 4n
1.检查一个门框是矩形的方法是（ ）
A.测量两条对角线是否相等.
B.测量有三个角是直角.
C.测量两条对角线是否互相平分.
D.测量两条对角线是否互相垂直.
2.顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ ）
A.矩形 B.菱形 C.梯形 D.正方形
B
B
3.菱形的周长等于高的8倍,则其最大内角等于（ ） A.60° B.90° C.120° D.150°
4.矩形ABCD中,AB=8, BC=6 , E、F是AC的三等分点,则△BEF的面积是（ ）
A.8 B.12 C.16 D.24
D
D
A
C
B
E
F
A
C
E
A
D
B
∟
第5题
第6题
5.菱形的对角线长为6和8,则菱形的边长＿＿＿ ,面积是＿＿＿.
6.矩形的对角线长为8,两对角线的夹角为60 ,则矩形的两邻边 分别长＿＿＿和＿＿＿.
5
24
4
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
第3题
第4题
7.已知：□ABCD,添加适当的条件
（1）使它成为菱形.条件：＿＿＿＿ ＿.
（2）使它成为矩形.条件：＿ ＿＿＿ ＿＿.
（3）使它成为正方形.条件：＿＿＿＿ ＿.
A
B
C
D
O
AB=AD (AC⊥BD)
AC=BD(∠BAD=90°)
AC=BD且AC⊥BD
平 行 四 边 形
性质
①对边平行且相等
②对角相等，邻角互补
③对角线互相平分
判别
①两组对边分别平行的
②两组对边分别相等的
③一组对边平行且相等的
④对角线互相平分的
四 边 形
平 行 四 边 形
课堂小结
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
多边形的内角和与外角和
内角和计算公式
（n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关
正多
边形
内角= ，外角=
四边形的分类及转化
有一个角是90°
（或对角线互相垂直）
有一对邻边相等
（或对角线相等）
平行四边形
矩形
菱形
正方形
一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直且相等）
有一个角是90°
（或对角线互相垂直）
有一对邻边相等
（或对角线相等）