22.2二次函数与一元二次方程 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
22.2二次函数与一元二次方程
人教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点）
2.能运用二次函数的图象与性质确定方程的解.（重点）
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
新知导入
1．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是___________．
2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝－3的解是____________．
x＝1
x＝-2
3．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？
新知讲解
问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
新知讲解
(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？
(2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
(3)小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
(4)小球从飞出到落地要用多少时间？
新知讲解
分析 由于小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程. 如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.
新知讲解
O
h
t
15
1
3
当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m.
解：解方程
15=20t-5t2
t2-4t+3=0
t1=1，t2=3.
结合图形，说一说为什么在两个时间小球的高度为 15 m？
(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？
新知讲解
(2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
20
2
解方程：
20=20t-5t2
t2-4t+4=0
t1=t2=2.
当小球飞行2 s时，它的高度为20 m.
结合图形，说一说为什么只在一个时间小球的高度为20 m？
新知讲解
(3)球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
O
h
t
20.5
解方程：
20.5=20t-5t2
t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1<0，所以方程无实数根.
即球的飞行高度达不到20.5 m.
结合图形，说明原因？
新知讲解
(4)小球从飞出到落地要用多少时间？
O
h
t
解方程
0=20t-5t2
t2-4t=0
t1=0，t2=4.
当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.这表明小球从飞出到
到落地要用4 s，即0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面.
小球飞出时和落地时的高度都为0 m.
新知讲解
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
为一个常数
（定值）
新知讲解
所以二次函数与一元二次方程联系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
新知讲解
思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
新知讲解
观察图象，完成下表：
抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次
方程的根
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2
0个
1个
2个
x2-x+1=0无解
0
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2, 1
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
1
x
y
O
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
新知讲解
抛物线与x 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？
△=b2-4ac >0
△=b2-4ac =0
△=b2-4ac＜0
O
x
y
归纳总结
一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论：
(1)如果抛物线 y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此 x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：
新知讲解
例1 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
解：画出y=x2-2x-2的图象
y = x2－2x－2
它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈ -0.7，x2≈2.7.
新知讲解
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
(1)用描点法作二次函数的图象；
(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知，图象与x轴有两个交点,其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)；
(3)确定方程的解；
由此可知，使二次函数的函数值更接近0的数，即为方程的近似解.
课堂练习
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
1.根据下列表格的对应值:
课堂练习
2.若一元二次方程 无实根，则抛物线
图象位于（ ）
A.x轴上方 B.第一、二、三象限
C.x轴下方 D.第二、三、四象限
A
3.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)
A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
D
课堂练习
4.(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是_______，_______；
(2)∵方程x2＋3x＋2＝0的解是________，________，
∴抛物线y＝x2＋3x＋2与x轴的交点坐标是_______和________．
x1=-3
x2 =1
x1=-1
x1=-2
(-1,0)
(-2,0)
5.已知抛物线y＝x2－6x＋m－1，当m_____时，抛物线与x轴有两个交点；当m_____时，抛物线与x轴有唯一交点；当m_______时，抛物线与x轴没有交点．
<10
=10
>10
课堂练习
6．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
－x2＋2x＋k＝0的一个解为x1＝3，另一个解为x2＝_____，不等式－x2＋2x＋k＜0的解集为______________．
-1
x＜－1或x＞3
课堂练习
7.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．
∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，
∴k＝3；
当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．
∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，
∴Δ＝b2－4ac≥0.
∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，
∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.
综上所述，k的取值范围是k≤4.
课堂练习
8.已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，
∴a＝1.
课堂总结
判别式△=b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c （a>0） 的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集
不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集
x2
x1
x
y
O
O
x1= x2
x
y
x
O
y
△>0
△＝0
△＜0
x1 ; x2
x1 =x2
＝－b/2a
没有实数根
xx2
x ≠ x1的一切实数
所有实数
x1无解
无解
谢谢
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