陕西省延安市部分中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版含答案）

延安市部分中学2021-2022学年高二下学期期中考试
(理科)数学试题
（全卷150分；时间120分钟）
本试卷分为第一卷和第二卷两部分
第一卷（选择题，共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)
1．已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下面几种推理是合情推理的是（ ）
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是归纳出所有三角形的内角和是；
③一班所有同学的椅子都坏了，甲是1班学生，所以甲的椅子坏了；
④三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得出凸边形内角和是．
A. ①②④ B．①③④ C．②④ D．①②③④
3．下列的三句话，若按照演绎推理的“三段论”模式，排列顺序正确的应是（ ）
①是周期函数；②是三角函数；③三角函数是周期函数
A. ①②③ B．②①③ C. ②③① D．③②①
4．（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．3
5. 用反证法证明命题：“已知a、b是自然数，若，则a、b中至少有一个不小于2”提出的假设应该是（ ）
A．a、b中至少有两个不小于2 B．a、b中至少有一个不小于2
C．a、b都小于2 D．a、b中至少有一个小于2
6．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．设，那么等于（ ）
A． B．
C． D．
8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有一句是错的，则获奖的歌手和说错话的的歌手分别是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．丙和丁
9．观察下列各式：，，，…，则的末四位数字为（ ）
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
10．设函数f（x）=+lnx ，则 （ ）
A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点
11．如果复数z满足，那么的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．设定义域为的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
第二卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 设是虚数单位，则
14．函数的单调递减区间是______.
15．______.
16．已知“整数对”按如下规律排列；，，，，，，，，，，…，则第68个“整数对”为___________.
三、解答题：（共70分，第17题10分，第18-22题各12分。解答应写出文字说明、推理过程或演算过程。）
17．已知复数，其中是虚数单位，为实数.
(1)当复数为纯虚数时，求的值；
(2)当复数在复平面内对应的点位于第二象限时，求的取值范围.
18．已知函数（其中），且曲线在点处的切线垂直于直线.
（1）求的值及此时的切线方程；
（2）求函数的单调区间与极值.
19．已知函数为一次函数，若函数的图象过点，且.
（1）求函数的表达式.
（2）若函数，求函数与的图象围成图形的面积.
20.（1）设，证明：.
（2）已知，证明：
21．已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.
22．设函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）设函数，直线与曲线及都相切，且与切点的横坐标为，求证：.
高二下学期期中考试数学（理）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D C C A C B D D A B
二、填空题
13、1 14、 15、 16．(2,11)
三、解答题
17.解析：(1)因为为纯虚数，所以解得
综上可得，当为纯虚数时；...........5分
(2)因为在复平面内对应的点位于第二象限，
∴解得
故m的取值范围为 ............12分
18.（Ⅰ）由于，所以，
由于 在点 处的切线垂直于直线，
则 ，解得.
此时，
切点为，所以切线方程为. ............5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则,
令，解得或（舍），
则的变化情况如下表，
5
0
递减 极小值 递增
所以函数的减区间为，增区间为.
函数的极小值为，无极大值. ............12分
19.解：（1）∵为一次函数且过点，可设
∴，解得,∴. ............5分
（2）由得：，，∴与围成的图形面积
即 ............12分
20.解析：（1）
因为，
所以，，
所以，
故 .............6分
(2)要证,
只需证,
只需证,
只需证,
只需证,
只需证,
上不等式显然成立,所以原不等式成立. .............12分
21.解析（1）当时，，，则，，
所以，在处的切线方程为，即；.............4分
（2），则.
，当时，.
当时，；当时，.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减.
故在处取得极大值.
又，，
，则，
在上的最小值是.
又在上有两个零点，则，解得，
因此，实数的取值范围是..............12分
22、（1）解：当 显然定义域为R
所以
令.
则。所以 ………………3
（2）由于所以.
则Ⅰ. ………………5
Ⅱ
所以.
综上所述，则
………………7
（3）已知. 设直线与曲线相切于点. 所以因为， 所以① 显然.
因为在处的切线方程为，又
所以 ② 由①、②可得
的零点………………10
由于，所以
且，则存在唯一零点.
因此 ………………………12