2022-2023学年人教版八年级数学上册第11章三角形 优生辅导练习题 （含解析）

2022-2023学年人教版八年级数学上册《第11章三角形》优生辅导练习题（附答案）
一．选择题
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3cm，5cm，6cm B．3cm，3cm，6cm
C．3 cm，4cm，8cm D．4cm，5cm，1cm
2．下列说法正确的个数是（　　）
①相等的角是对顶角；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三角形的中线、角平分线和高都是线段；
⑤若三条线段的长a、b、c满足a+b＞c，则以a．b．c为边一定能组成三角形；
⑥三角形的外角大于它的任何一个内角．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（　　）
A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性
C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角
5．如图，BP、CP是△ABC的外角角平分线，若∠P＝60°，则∠A的大小为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
6．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（　　）
A．27° B．59° C．69° D．79°
7．如图，把△ABC绕着点A顺时针转40°，得到△ADE，若点E恰好在边BC上，AB⊥DE于点F，则∠BAE的大小是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
8．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＞∠D，∠ACD﹣∠ABD＝64°，∠P＝18°，则∠A的度数为（　　）
A．50° B．46° C．48° D．80°
二．填空题
9．如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于　 　．
10．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是三角形∠BAC的角平分线，若∠EAD＝5°，∠B＝50°，则∠C的度数为　 　．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t＝　 　，△APE的面积等于6．
12．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影＝　 　cm2．
13．如图，在△ABC中∠A＝α，作∠ABC的角平分线与∠ACB的外角的角平分线交于点A1；∠A1BC的角平分线与∠A1CB的外角平分线交于A2；如此下去，则∠A2021＝　 　．
14．在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD＝20°，则∠CED的度数是　 　．
15．△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝　 　．
三．解答题
16．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝110°，∠ACB＝40°，CE是∠ACB的角平分线，D是AC上一点，若∠CBD＝40°，求∠CED的度数．
17．在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，E为边AC上一点，EF⊥BC，垂足为F，EG平分∠AEF交BC于点G．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，延长AB、EG交于点M，∠M＝α．
①用含α的式子表示∠AEF为 　 　；
②求证：BD∥ME；
（2）如图2，∠BAC＜90°，延长DB，EG交于点N，请用等式表示∠A与∠N的数量关系，并证明．
18．如图1，∠AOB＝90°，点C，D分别在射线OA，OB上运动（均不与点O重合），连接CD，∠ACD的角平分线CE的反向延长线与∠CDO的角平分线DF相交于点F．
（1）若∠OCD＝60°，则∠F＝　 　°；
（2）如图1，若∠OCD＝50°时，求∠F的度数；
（3）如图2，设∠OCD的度数是2m°，则
①∠FCO＝　 　°，∠FDC＝　 　°（用含m的代数式表示）；
②∠F＝　 　°．
19．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC+∠ACB＝　 　，∠XBC+∠XCB＝　 　．
（2）如图2，△ABC的位置不变，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
20．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线．
（1）当∠BAC＝40°时，∠BPC＝　 　，∠BQC＝　 　；
（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；
（3）如图②，当∠BAC＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：A、3+5＞6，能组成三角形，符合题意；
B、3+3＝6，不能组成三角形，不符合题意；
C、3+4＜8，不能组成三角形，不符合题意；
D、1+4＝5，不能组成三角形，不符合题意．
故选：A．
2．解：①相等的角不一定是对顶角，故原说法错误；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法正确；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法故错误；
④三角形的中线、角平分线和高都是线段，故原说法正确；
⑤若三条线段的长a、b、c满足a+b＞c，则以a．b．c为边一定能组成三角形，是错误的，比如a＝1，b＝5，c＝2，满足条件，但不能组成三角形，故原说法错误；
⑥三角形的外角大于它的任何一个不相邻的内角，故原说法错误．
故正确的个数有2个，
故选：A．
3．解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，
所以画法正确的是B选项．
故选：B．
4．解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：B．
5．证明：∵BP、CP是△ABC的外角的平分线，
∴∠PCB∠ECB，∠PBC∠DBC，
∵∠ECB＝∠A+∠ABC，∠DBC＝∠A+∠ACB，
∴∠PCB+∠PBC（∠A+∠ABC+∠A+∠ACB）（180°+∠A）＝90°∠A，
∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A＝60°，
∴∠A＝60°，
故选：B．
6．解如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，
在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，
即20°+2∠3+106°＝180°，
∴∠3＝27°，
∴∠C＝106°﹣27°＝79°，
故选：D．
7．解：∵把△ABC绕着点A顺时针转40°，得到△ADE，
∴∠CAE＝∠BAD＝40°，∠D＝∠B，AC＝AE，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠AEC（180°﹣∠CAE）＝70°，
∵AB⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BAD＝50°，
∵∠AEC是△BAE的外角，
∴∠BAE＝∠AEC﹣∠B＝20°．
故选：B．
8．解：如图，
∵∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，
∴∠ABP∠ABD，∠ACP∠ACD，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABP+∠A＝∠ACP+∠P，
∴∠A＝∠ACP﹣∠ABP+∠P
（∠ACD﹣∠ABD）+∠P
64°+18°
＝50°．
故选：A．
二．填空题
9．解：由三角形外角性质可得：∠ACD＝∠B+∠A，
∵∠B＝40°，∠ACD＝120°，
∴∠A＝120°﹣40°＝80°，
故答案为：80°．
10．解：∵AD是BC边上的高，∠EAD＝5°，
∴∠AED＝85°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝85°﹣50°＝35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
故答案为60°．
11．解：如图1，当点P在AC上，
∵△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，
∴CE＝4，AP＝2t．
∵△APE的面积等于6，
∴S△APEAP CE2t×4＝6，
∴t＝1.5；
如图2，当点P在线段CE上，
∵E是DC的中点，
∴BE＝CE＝4．
∴PE＝4﹣（t﹣3）＝7﹣t，
∴SEP AC （7﹣t）×6＝6，
∴t＝5，
如图3，当P在线段BE上，
同理：PE＝t﹣3﹣4＝t﹣7，
∴SEP AC （t﹣7）×6＝6，
∴t＝9，
综上所述，t的值为1.5或5或9；
故答案为：1.5或5或9．
12．解：∵点E是AD的中点，
∴△BDE的面积是△ABD的面积的一半，△CDE的面积是△ACD的面积的一半．
则△BCE的面积是△ABC的面积的一半，即为2cm2．
∵点F是CE的中点，
∴阴影部分的面积是△BCE的面积的一半，即为1cm2．
13．解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∵∠ABC的角平分线与∠ACB的外角的角平分线交于点A1，
∴∠A1CD∠ACD，∠A1BC∠ABC，
∵∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴∠A1∠Aα，
同理，∠A2∠Aα，
依此规律，可得∠A2021α，
故答案为：α．
14．解：∵∠ABC＝100°，∠CBD＝20°，
∴∠DBA＝80°，
∴∠PBA＝80°，
∴∠DBA＝∠PBA，
∴BA是△CBD的外角平分线，
如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，
∵CE平分∠ACB，EF⊥AC，EH⊥CB，
∴EF＝EH，
同理，EG＝EH，
∴EF＝EG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BD，
∴DE平分∠BDA，
∵∠ACB＝20°，∠CBD＝20°，CE平分∠ACB，
∴∠ADB＝40°，∠DCE＝10°，
∴∠ADE∠ADB＝20°，
∴∠CED＝∠ADE﹣∠DCE＝10°．
故答案为：10°．
15．解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+20°＝70°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°﹣20°＝30°，
综上所述，∠BAC的度数为70°或30°．
故答案为：70°或30°．
三．解答题
16．解：∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
如图，作EN⊥BD，EM⊥BC，EH⊥AC，垂足分别是N、M、H，
∵∠ABC＝110°，∠CBD＝40°，
∴∠ABD＝70°，
又∵∠ABM＝180°﹣110°＝70°，
∴BE是∠DBM的角平分线，
∴EM＝EN，
∵CE是∠ACB的平分线，EM⊥CB，EH⊥AC，
∴EM＝EH，
∴EH＝EN，
∴DE是∠ADB的平分线，
∵∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∴∠ADE∠ADB＝40°＝∠ACB，
∴DE∥CB，
又∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠CED＝∠ECB40°＝20°．
17．解：（1）①∵∠A＝90°，∠M＝α，
∴∠AEM＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
∵EM平分∠AEF，
∴∠AEF＝2∠AEM＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α；
②证明：∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∴∠C+∠FEC＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∴∠CEF＝∠ABC，
∵∠AEF＝180°﹣2α，
∴∠CEF＝2α，
∴∠ABC＝2α，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD∠ABC＝α，
∴∠ABD＝∠M，
∴BD∥ME；
（2）2∠N+∠A＝90°，
证明：∵BD平分∠ABC，EG平分∠AEF，
设∠ABD＝x，∠AEG＝y，
∴∠ABC＝2x，∠AEF＝2y，
∵∠ABD+∠A＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠N+∠AEG，
∴x+∠A＝180°﹣∠N﹣y，
∴x+y＝180°﹣∠A﹣∠N①，
Rt△FEG中，∠EGF＝∠BGN＝90°﹣y，
△BNG中，∠DBG＝∠N+∠BGN，
∴x＝∠N+90°﹣y，
∴x+y＝∠N+90°②，
由①和②得：180°﹣∠A﹣∠N＝∠N+90°，
∴∠A+2∠N＝90°．
18．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠OCD＝60°，
∴∠CDO＝30°．
∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝60°，∠CDF＝15°．
∵∠ECD＝∠F+∠CDF，
∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝45°．
故答案为：45；
（2）∵∠AOB＝90°，∠OCD＝50°，
∴∠CDO＝40°．
∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝65°，∠CDF＝20°．
∵∠ECD＝∠F+∠CDF，
∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝45°．
（3）①∵∠OCD的度数是2m°，
∴∠ACD＝180°﹣2m°，
又∵CE平分∠ACD，
∴∠FCO＝∠ACE∠ACD＝（90﹣m）°；
∵∠AOB＝90°，
∴∠CDO＝90°﹣2m°，
又∵DF平分∠ODC，
∴∠CDF∠CDO＝（45﹣m）°；
故答案为：（90﹣m）；（45﹣m）；
②△CDF中，∠F＝180°﹣（90﹣m）°﹣2m°﹣（45﹣m）°＝45°．
故答案为：45°．
19．解：（1）∵∠A＝30°，
∴∠ABC+∠ACB＝150°，
∵∠X＝90°，
∴∠XBC+∠XCB＝90°，
故答案为：150°；90°．
（2）不变化．
∵∠A＝30°，
∴∠ABC+∠ACB＝150°，
∵∠X＝90°，
∴∠XBC+∠XCB＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝（∠ABC﹣∠XBC）+（∠ACB﹣∠XCB）
＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠XBC+∠XCB）
＝150°﹣90°
＝60°．
20．解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP（∠DBC+∠BCE）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，
∴∠QBC∠PBC，∠QCB∠PCB，
∴∠QBC+∠QCB＝55°，
∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；
故答案为：70°，125°；
（2）∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB＝180°，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，
∴（∠DBC+∠BCE）＝180°，
即（180°+∠BAC）＝180°，
解得∠BAC＝60°；
（3）∵∠BAC＝120°，
∴∠MBC+∠NCB（∠DBC+∠BCE）（180°+α）＝225°，
∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°．