2022-2023学年北师大版八年级数学上册第1章勾股定理 单元达标测试题（含答案）

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝6，则AC等于（　　）
A．12 B．8 C．4 D．2
2．下列4组数据中，是勾股数的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，7，8
3．课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．11
4．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．9、12、15 B．5、12、13 C．8、15、17 D．12、18、22
5．直角△ABC的斜边为5，一条直角边为4，则此三角形的面积是（　　）
A．10 B．20 C．12 D．6
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　）
A．225 B．200 C．150 D．无法计算
7．如图，一棵树（树干与地面垂直）高3.6米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为（　　）
A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米
8．小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的内径6cm，口杯内部高度9cm，要使吸管不斜滑到杯里，下列吸管最短的是（　　）cm．
A．9 B．10 C．11 D．12
9．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠B＝∠C﹣∠A B．a：b：c＝3：4：5
C．c2+b2＝a2 D．∠A：∠B：∠C＝5：12：13
10．意大利著名画家达 芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为S1，右边图中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（　　）
A．S1＝a2+b2+2ab B．S2＝c2+ab
C．S1＝S2 D．a2+b2＝c2
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．已知直角三角形的一直角边长为6，斜边长为10，则另一条直角边长为 　 　．
12．如果一个直角三角形的两条边长分别为8和15，那么这个三角形的第三边长的平方为 　 　．
13．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AB＝10，AC＝6，BD＝5，则点D到AB的距离是 　 　．
14．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积是 　 　．
15．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，沿着侧面需要爬行的最短路径是 　 　．
16．如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D的面积之和为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．如图，△ABC在正方形网格中，点A、B、C均在小方格的格点上，若小方格边长为1，请判断△ABC的形状，并说明理由．
18．在△ABC中，∠C＝90°，BC：AB＝3：5且AB＝20cm，求边AC的长度．
19．为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地AB＝2.1米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），测温仪自动显示体温，求人头顶离测温仪的距离AD的值．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）求证：CD⊥AD；
（2）求四边形ABCD的面积．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．
（1）判断△BCF的形状，并说明理由；
（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
22．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．
23．自2020年以来，安宁市建起了多个“口袋公园”，它们既美化了城市空间，又拓展了市民的公共活动场所，还体现着城市风貌和文化．如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，AD＝24m，CD＝7m．
（1）如图，连接AC，试求AC的长；
（2）安宁市委、市政府计划将其打造为“口袋公园”，经测算，每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成“口袋公园”需要多少钱．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：由勾股定理得：AC＝8，
故选：B．
2．解：A．12+22≠32，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
B．22+32≠42，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
C．32+42＝52，因此是勾股数，故此选项符合题意；
D．62+72≠82，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
故选：C．
3．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC＝15（米），
∴AC+BC﹣AB＝15+8﹣17＝6（米），
故选：A．
4．解：A．∵92+122＝152，∴是勾股数，不符合题意；
B．∵52+122＝132，∴是勾股数，不符合题意；
C．∵82+152＝172，∴是勾股数，不符合题意；
D．∵122+182≠222，∴不是勾股数，符合题意；
故选：D．
5．解：由勾股定理得，另一条直角边为：3，
∴此三角形的面积是＝6，
故选：D．
6．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2＝152＝225，
∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225，
故选：A．
7．解：∵△ABC是直角三角形，AB+BC＝3.6m，AC＝2.4m，
∴BC2＝AB2+AC2，
即（3.6﹣AB）2＝AB2+2.42，
解得：AB＝1，
故选：D．
8．解：如图，连接AB，
由题意知，BC＝6cm，AC＝9cm，
由勾股定理得，AB2＝117，
∵117＜121，
故选：C．
9．解：A．∵∠B＝∠C﹣∠A，
∴∠A+∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴a2+b2＝9k2+16k2＝25k2，c2＝25k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵c2+b2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C的度数是180°×＝78°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
10．解：由勾股定理得：a2+b2＝c2，
由题意得：S1＝S2＝a2+b2+2×ab＝a2+b2+ab＝c2+ab，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．解：由勾股定理可得：
另一条直角边长的长度为：＝8．
故答案为：8．
12．解：当8和15是两条直角边时，
第三边的平方＝289，
当8和15分别是一斜边和一直角边时，
第三边的平方＝161，
所以第三边的平方可能为161或289．
故答案为：161或289．
13．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝8，
∵BD＝5，
∴CD＝3，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝DE＝3，
∴点D到AB的距离是3，
故答案为：3．
14．解：作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，BC＝6，
∴BH＝BC＝3，
由勾股定理得，AH＝4，
∴△ABC的面积是＝＝12，
故答案为：12．
15．解：展开圆柱的半个侧面是矩形，
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即为12，矩形的宽是圆柱的高5．
根据两点之间线段最短，
知最短路程是矩形的对角线的长，即＝13，
故答案为：13．
16．解：如图，设正方形A，B，C，D，E，F的边长分别为a，b，c，d，e，f，
∵该图形是由直角三角形和正方形构成，
∴由勾股定理可得a2+b2＝e2，c2+d2＝f2，e2+f2＝72，
∴a2+b2+c2+d2＝72＝49，
∴正方形A、B、C、D的面积之和为49，
故答案为：49．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．解：△ABC是直角三角形，
理由：由图可得，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
18．解：∵BC：AB＝3：5，AB＝20cm，
∴BC＝12cm，
∵∠C＝90°，
∴AC＝16（cm），
答：边AC的长度为16cm．
19．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.1米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.1﹣1.6＝0.5（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝1.3（米），
答：人头顶离测温仪的距离AD的值为1.3米．
20．（1）证明：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角，
∴CD⊥AD；
（2）解：S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝AB BC+AD CD
＝×20×15+×24×7
＝234．
21．（1）解：△BCF为等腰直角三角形．
理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠BCF＝∠CBF＝45°，
∴∠CFB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△BCF为等腰直角三角形；
（2）证明：在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，
在△CHB和△AEF中，
，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
22．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD＝90°，∠CEB＝90°（垂线的意义）
CE＝CF（角平分线的性质）
∵BC＝CD（已知）
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）
（2）解：由（1）得，
Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF＝EB，设DF＝EB＝X
∵∠CFD＝90°，∠CEB＝90°，
CE＝CF，AC＝AC
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）
∴AF＝AE
即：AD+DF＝AB﹣BE
∵AB＝21，AD＝9，DF＝EB＝x
∴9+x＝21﹣x解得，x＝6
在Rt△DCF中，∵DF＝6，CD＝10
∴CF＝8
∴Rt△AFC中，AC2＝CF2+AF2＝82+（9+6）2＝289
∴AC＝17
答：AC的长为17．
23．解：（1）∵∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，
∴AC＝25（m），
答：AC的长为25m；
（2）∵AC2＝625，CD2＝49，AD2＝576，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠D＝90°，
∴“口袋公园”的面积＝S△ABC+S△ACD＝AB×BC+×AD×CD＝+24×7＝234（m2），
234×2000＝468000（元），
答：将这块地打造成“口袋公园”需要468000元钱．