2022-2023学年度(上)淮滨县高效课堂同步课时练
九年级数学
21.2解一元二次方程
21.2.3因式分解法
(2022年09月06日)
【分点练四基】
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1．(2021·镇江)一元二次方程x(x＋1)＝0的两根分别为 ．
2．(2021·广州)方程x2－4x＝0的实数解是 ．
3．已知某一元二次方程的两根分别为x1＝－3，x2＝－4，则这个方程可能为( )
A．(x－3)(x＋4)＝0 B．(x＋3)(x－4)＝0 C．(x＋3)(x＋4)＝0 D．(x－3)(x－4)＝0
4．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－5x＝0. (2)4x2－49＝0. (3)4x2－8x＋4＝0. (4)x(x－5)＝2x.
知识点2 用适当的方法解一元二次方程
5．在下列各题的横线上填写适当的解法．
(1)解方程 (x－3)2＝4，用 法较适宜．
(2)解方程x2－6x＋4＝0，用 法较适宜．
(3)解方程x2－4＝x＋2，用 法较适宜．
6．用适当的方法解下列方程：
(1)(x－1)2－9＝0. (2)x2＋6x－55＝0. (3)(x－1)2－(x－1)＝0. (4)2x2＋3x＝3.
易错点 解方程时，方程两边同时除以含有未知数的代数式导致失根
7．(2021·嘉兴)小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下：
小敏： 两边同除以(x－3)， 得3＝x－3， 则x＝6. 小霞： 移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0， 提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0. 则x－3＝0或3－x－3＝0， ∴x1＝3，x2＝0.
你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【综合提四能】
8．(2021·潍坊)若菱形的两条对角线的长度是方程x2－6x＋8＝0的两根，则该菱形的边长为( )
A． B．4 C．2 D．5
9．方程x2＝|x|的根是 ．
10．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝ .
11．用因式分解法解下列方程：
(1)2(x－3)2＝x2－9. (2)(3x＋2)2－4x2＝0.
【拓展培素养】
12．已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0的一个根为x＝3.
(1)求a的值及方程的另一个根．
(2)如果一个三角形的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．
运用十字相乘法分解因式解一元二次方程
【注重阅读理解】阅读下列材料：
(1)将x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：
①竖分二次项与常数项：
x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)．
②交叉相乘，验中项： 7x－5x＝2x.
③横向写出两因式：
x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
(2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.
试用上述方法和原理解下列方程：
(1)(2020·齐齐哈尔)x2－5x＋6＝0.(2)(2021·徐州)x2－4x－5＝0.
【变式应用1】 解方程：2x2＋x－6＝0. 【变式应用2】 解方程：3x2－8x－3＝0.
温馨提示：本课时T6(2)、T8及T12(1)可以用此种方法求解，同学们可以试一试！2022-2023学年度(上)淮滨县高效课堂同步课时练
九年级数学
21.2解一元二次方程
21.2.3因式分解法
(2022年09月06日)
【分点练四基】
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1．(2021·镇江)一元二次方程x(x＋1)＝0的两根分别为 x1＝0，x2＝－1 ．
2．(2021·广州)方程x2－4x＝0的实数解是 x1＝0，x2＝4 ．
3．已知某一元二次方程的两根分别为x1＝－3，x2＝－4，则这个方程可能为( C )
A．(x－3)(x＋4)＝0 B．(x＋3)(x－4)＝0 C．(x＋3)(x＋4)＝0 D．(x－3)(x－4)＝0
4．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－5x＝0.
解：x(x－5)＝0，
∴x1＝0，x2＝5.
(2)4x2－49＝0.
解：(2x＋7)(2x－7)＝0，
∴x1＝－，x2＝.
(3)4x2－8x＋4＝0.
解：x2－2x＋1＝0，
(x－1)2＝0，
∴x1＝x2＝1.
(4)x(x－5)＝2x.
解：x(x－5)－2x＝0，
x(x－5－2)＝0，
x(x－7)＝0，
∴x1＝0，x2＝7.
知识点2 用适当的方法解一元二次方程
5．在下列各题的横线上填写适当的解法．
(1)解方程 (x－3)2＝4，用 直接开平方 法较适宜．
(2)解方程x2－6x＋4＝0，用 配方 法较适宜．
(3)解方程x2－4＝x＋2，用 因式分解 法较适宜．
6．用适当的方法解下列方程：
(1)(x－1)2－9＝0.
解：(x－1)2＝9.
∴x－1＝3或x－1＝－3.
∴x1＝4，x2＝－2.
(2)x2＋6x－55＝0.
解：(x＋3)2＝64，
∴x＋3＝8或x＋3＝－8.
∴x1＝5，x2＝－11.
(3)(x－1)2－(x－1)＝0.
解：(x－1)(x－1－1)＝0.
∴x－1＝0或x－2＝0.
∴x1＝1，x2＝2.
(4)2x2＋3x＝3.
解：2x2＋3x－3＝0.
a＝2，b＝3，c＝－3，
Δ＝b2－4ac＝9＋24＝33＞0，
∴x＝.
∴x1＝，x2＝.
易错点 解方程时，方程两边同时除以含有未知数的代数式导致失根
7．(2021·嘉兴)小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下：
小敏： 两边同除以(x－3)， 得3＝x－3， 则x＝6. 小霞： 移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0， 提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0. 则x－3＝0或3－x－3＝0， ∴x1＝3，x2＝0.
你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
解：小敏：×；小霞：×.
正确的解答：
移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，
提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0.
则x－3＝0或3－x＋3＝0，
∴x1＝3，x2＝6.
【综合提四能】
8．(2021·潍坊)若菱形的两条对角线的长度是方程x2－6x＋8＝0的两根，则该菱形的边长为( A )
A． B．4 C．2 D．5
9．方程x2＝|x|的根是 0，±1 ．
10．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝ －3或4 .
11．用因式分解法解下列方程：
(1)2(x－3)2＝x2－9.
解：2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，
(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，
(x－3)(x－9)＝0，
解得x1＝3，x2＝9.
(2)(3x＋2)2－4x2＝0.
解：(3x＋2＋2x)(3x＋2－2x)＝0，
(5x＋2)(x＋2)＝0，
解得x1＝－，x2＝－2.
【拓展培素养】
12．已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0的一个根为x＝3.
(1)求a的值及方程的另一个根．
解: 由题意，得9(a－1)－4×3－1＋2a＝0，
解得a＝2.
∴原方程为x2－4x＋3＝0.
∴x1＝1，x2＝3.
∴方程的另一个根是x＝1.
(2)如果一个三角形的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．
解：由题意知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：
①三边相等，边长为1，1，1或3，3，3，
那么三角形的周长是3或9；
②仅有两边相等，∵1＋1＝2＜3，
∴三角形的边长只能为3，3，1.
那么三角形的周长是7.
综上所述，三角形的周长是3或7或9.
运用十字相乘法分解因式解一元二次方程
【注重阅读理解】阅读下列材料：
(1)将x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：
①竖分二次项与常数项：
x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)．
②交叉相乘，验中项： 7x－5x＝2x.
③横向写出两因式：
x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
(2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.
试用上述方法和原理解下列方程：
(1)(2020·齐齐哈尔)x2－5x＋6＝0.
解：(x－2)(x－3)＝0，
x－2＝0或x－3＝0，
解得x1＝2，x2＝3.
(2)(2021·徐州)x2－4x－5＝0.
解：(x－5)(x＋1)＝0，
x－5＝0或x＋1＝0，
x1＝5，x2＝－1.
【变式应用1】 解方程：2x2＋x－6＝0.
解：(2x－3)(x＋2)＝0，
x1＝－，x2＝－2.
【变式应用2】 解方程：3x2－8x－3＝0.
解：(3x＋1)(x－3)＝0，
x1＝－，x2＝3.
温馨提示：本课时T6(2)、T8及T12(1)可以用此种方法求解，同学们可以试一试！
