2022—2023学年人教版数学九年级上册 第二十一章 一元二次方程 第6课时根与系数关系 中考真题汇总 （含解析）

第二十一章：第六课时 根与系数关系
题型汇总（中考真题汇编）及答案解析
知识点：一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果Δ≥0，方程ax2+bx+c=0 的两个根为x1,x2,那么：x1+x2=- x1·x2=
文字语言：前提：如果一元二次方程有实数根，那么两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。
反之：如果方程两个根为x1,x2，那么方程一定是形如（x-x1)(x-x2)=0的形式，
即x2-(x1+x2)x+x1·x2=0的形式
----常用公式推导：（牢记）
1：+=；2：2+2=（）2-2x1x2
3:+==
4:(+1)（+1）= x1x2+（）+1
5：（）2=（）2-4x1x2
6：||==
总结：求与方程的根有关的代数式,一般先将代数式化成两根之和与两根之积的形式,再利用韦达定理整体代入即可。
题型I：求代数式的值【基础题】
1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
x2 + 7x + 6 = 0; （2）2x2 - 3x - 2 = 0
2.已知一元二次方程3x2-1=2x+5的两根分别为x1，x2，则=（ ），=（ ）
3.已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程可以是( )
A.x2－7x＋12＝0 B.x2＋7x＋12＝0
C.x2＋7x－12＝0 D.x2－7x－12＝0
4.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根为-2,1，则p=( ),q=( ).
【２０１８山东泰安】
5.一元二次方程根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
6. 已知x1,x2是方程x2-3x-2=0的两根，则x12+ x22的值为( )
7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2-7x+12=0的两个实
数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（ ）
8：不解方程，已知方程2x2+3x-1=0的两根为x1，x2，求下列式子的值。
（1）（x1+1）·（x2+1）（2）x12+x22 (3) + (4)+（5）（x1-x2）2
题型I：求代数式的值【中档题】
【2019山东淄博】
1．（4分）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
【2021山东济宁】整体思想
2．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
已知m，n是一元二次方程x2-4x-3＝0的两个不相等的实数根，则㎡-mn＋n2的值为
A 25 B 16 C 9 D 7
4：已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2020的值是（　　）
【2019山东威海】整体思想+降次思想
5：已知a，b是方程x2+x-3=0的两个实数根，则a2-b+2019的值是
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
分类讨论思想+三边关系
6. 已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（ ）
7．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根是△ABC的两边AB，AC的长，第三边BC的长为5，若△ABC是等腰三角形，则△ABC的周长L的值为________．
8.已知m,n是方程x2-x-2014=0的两个实数根，求下列代数式的值？
（1）m2-m+2015 （2）（m2-m）(m- ) (3) m2-2m-n+2014
9.已知关于x的方程x2-(m+3)x+m+1=0.
（1)求证：不论m为何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2)若方程一根为4,以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长．
题型II 根与系数关系求参数的值 【基础题】
1：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值
2：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值
（注意前提+注意检验）
3：关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是（ ） A m＞0 B m＜0 C m＞ D m＜
4.方程mx2-2mx+m-1=0(m≠0)有一个正根，一个负根，则m的取值范围为（ ）
【2018山东烟台】 整体思想
5.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，
满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是　 　．
6.若一元二次方程ax2=b(ab＞0)的两个根分别是m+1与2m-4,则=( )
7.已知关于x的一元二次方程x2-6x+k+1=0的两个实数根为x1,x2,且x12+x22=24
，则k的值是（ ）A.7 B.6 C.5 D.4
8.设x1、x2是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，则a= ．
【2020山东菏泽】分类讨论思想（注意检验）
9.已知等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2-4x+k=0的两个根，则k的值为（ ） A.3 B.4 C.3或4 D. 7
【2021山东枣庄】 分类讨论思想（注意检验）
10．（4分）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，则n的值为 　 　．
【2022山东日照】转化思想
11．关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22＝，则m＝　　
【2019山东潍坊】 转化思想+注意检验
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（　　）
A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝2
【2018山东潍坊】 转化思想+注意检验
13. 已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（ ）
A. 2 B. ﹣1 C. 2或﹣1 D. 不存在
题型II 根与系数关系求参数的值 【中高档题】
已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是（ ）
2：已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2+4kx+k+1=0的两个实根，是否存在实数k，使(2x1- x2)( x1- 2x2)=-成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
已知关于x的一元二次方程x2-（m-3）x-m=0
求证：方程有两个不相等的实数根
如果方程的两个实数根为x1,x2,且x12+x22-x1x2=7,求m的值
4. 已知x1、x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根，
（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2=4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1＋1）（x2＋1）为负整数的实数a的整数值．
【已知两根求新方程】
5：已知原方程3x2-7x+8=0，构造一个系数为整数的一元二次方程，是它的一个根为原方程的两个根和的倒数，另一个根为原方程两根积的相反数。
6.解一元二次方程ax2+bx+c=0时，小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3,小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=5，请写出正确的一元二次方程（ ）。
根与系数关系-答案及解析
题型I：求代数式的值【基础题】
第1题【答案】(1) =-7；=6 ;(2) = ；=-1
第2题【答案】=，=-2
第3题【答案】 A
第4题【答案】 p=1, q=-2
第5题【答案】D
【详解】原方程化为一般式为：x2-4x+2=0,∵Δ=42-4×2＞0，又∵=4＞0，
=2＞0，∴显然有两个正根，如果都＜3，可能无法保证=4，或者直接解出两个根：2+ ，=2-
第6题【答案】13
【详解】由题意得：=3，=-2，∴2+2=（）2-2x1x2=13
第7题【答案】
【详解】十字相乘法解方程得：（x-3）(x-4)=0,=4,所以斜边长=5，由直角三角形斜边中线定理可得。
第8题【答案】（1）（x1+1）·（x2+1）=-1；（2）x12+x22=3；(3) +=3；
(4)+=-；（5）（x1-x2）2=
题型I：求代数式的值【中档题】
第1题【答案】 A
【详解】∵x12+x22＝5，∴（）2-2x1x2=5，又∵x1+x2＝3，∴9-2x1x2=5，∴x1x2=2
∴以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣3x+2＝0，选A
第2题【答案】2020
【详解】解:∵m是一元二次方程x2+x-2021=0的实数根，∴m2+m-2021=0，
∴m2+m=2021，m2+2m+n=m2+m+m+n=2021+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x-2021=0的两个实数根，∴m+n=-1，
∴ m2+2m+n=2021-1=2020.
第3题【答案】A
【详解】解:∵m，n是一元二次方程x2-4x-3=0的两个实数根, ∴m+n=4，mn=-3
∴㎡-mn＋n2=（m+n）2-3mn=42-3×（-3）=25
第4题【答案】2034
【详解】解:法一：∵a，b是一元二次方程x2+3x-5=0的两个实数根, 有根的定义和韦达定理可知：∴a2+3a-5=0,即a2=-3a+5(降次思想)；且a+b=-3；
∴a2﹣3b+2020=-3a+5-3b+2020=-3（a+b）+5+2020=2034
法二：∵a，b是一元二次方程x2+3x-5=0的两个实数根, 有根的定义和韦达定理可知：∴a2+3a-5=0,即a2+3a=5(整体思想),a+b=-3,∴a2﹣3b+2020=a2+3a-3a-3b+2020=5-3（a+b）+2020=2034
第5题【答案】A
【详解】解法同第4题。法一：降次思想 法二：添项法+整体思想
第6题【答案】13或11
【详解】解：十字相乘法解方程得：（x-3）(x-5)=0,∴x1=3，x2=5. 分类讨论：①当3为底边，5为腰长时，周长=3+5+5=13，②当3为腰长，5为底边长时，周长=3+3+5=11
第7题【答案】14或16
【详解】解：分类讨论：①当BC=5为底边长时，那么AB、AC为腰长，∴Δ=0，
即：（2k+3）2-4(3k+2)=0,4k2+1=0,4k2=-1,不存在这样的k值，此种情况不存在。
②当BC=5为腰长时，说明AB、AC有一边等于5，说明方程有一根为5，将x=5代入方程
得：25-（2k+3）×5+k2+3k+2=0,解得：k2-7k+12=0,∴k=3或者k=4;当k=3时，设方程两根为x1，x2，不妨设x1=5，有韦达定理得：x1+ x2=2k+3,即5+ x2=9, x2=4,
此时△ABC的周长L=5+5+4=14；当k=4时，同理有韦达定理得：x1+ x2=2k+3,即5+ x2=11, x2=6, 此时△ABC的周长L=5+5+6=16
第8题【答案】(1)4029 （2）4028 (3) 4027
【详解】解：m,n是方程x2-x-2014=0的两个实数根，∴m+n=1,mn=-2014,m2-m=2014
m2-m+2015=2014+2015=4029; （2）法一：（m2-m）(m- )= （m2-m）(=2014×=2014×2=4028(运用分式通分+整体思想m2-2014=m)
法二：由根的定义可知：m2-m-2014=0，利用等式性质：等号两边同除m得：m-1-=0
∴m- =1，∴（m2-m）(m- )=2014×（1+1）=4028（运用等式性质+整体思想也可以做）(3) m2-2m-n+2014=m2-m-m-n+2014=m2-m-(m+n)+2014=2014-1+2014=4027
第9题【答案】（1）见详解 （2）
【详解】（1）由题意可知:Δ=(m+3)2-4(m+1)=m2+2m+5
= m2+2m+1+4=(m+1)2+4,∵(m+1) ≥0,∴Δ>0,.不论m为何值，方程都有两个不相等的实数根.
【点睛】本题还是考查配方法，将Δ的式子配方成“完全平方式+正数”的形式即可
(2)当x=4代入x2-(m+3)x+m+1=0，m=，原方程可化为:3x2-14x+8=0，x = 4或x =
，所以该三角形的周长为4+4+=
题型II 根与系数关系求参数的值 【基础题】
第1题【答案】-7，另一个根为-
【详解】∵已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，不妨设x1=2，代入得：5×22+2k-6=0,
∴k=-7,又∵x1x2=-，∴x2=-
【点睛】本题主要考查根的定义以及韦达定理，熟练运用韦达定理两根之积是关键。
第2题【答案】5；15
【详解】∵已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，不妨设x1=1，代入得：3×12-18+m=0,
解得:m=15,由韦达定理可知：x1+ x2=-，∴x2=5
【点睛】本题主要考查根的定义以及韦达定理，熟练运用韦达定理中两根之和是关键。
第3题【答案】C
【详解】设x1，x2是方程x2+2x-2m+1=0的两实数根，由已知得：；
即：,解得：m＞
【点睛】本题主要考查韦达定理及根的判别式，千万不要忘记韦达定理的使用前提是，一定不要忘记。
第4题【答案】0＜m＜1
【详解】由已知得：,即,∴0＜m＜1.
第5题【答案】3＜m≤5
【详解】由韦达定理可得：x1+ x2=-4，x1x2=m-1,由已知得：；
解得：3＜m≤5
第6题【答案】4
【详解】方程化为一般式：ax2-b=0.∵方程一次项系数为0，由韦达定理可得：x1+ x2=0，即：m+1+2m-4=0；∴m=1,∴两根分别为：2，-2，由韦达定理可知：2×（-2）=，∴=4
第7题【答案】5
【详解】由韦达定理可得：x1+ x2=6，x1x2=k+1,∵2+2=（）2-2x1x2=36-2（k+1）=24∴k=5
第8题【答案】8
【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，由韦达定理可知：∴x1+ x2=-4，x1x2=-3，有根的定义可知：x22+4x2－3=0即x22+4x2=3，
∴2x1（x22+5x2﹣3）+a=2x1（x22+4x2+x2﹣3）+a=2 x1 x2+a，即2 x1 x2+a=2，
∴2×（-3）+a=2,∴a=8
第9题【答案】C
【详解】解：(1)当3为腰长时，说明方程有一个根是3，将x=3代入方程得：32-4×3+k=0
解得：k=3,此时方程为x2-4x+3=0,解得方程两个根是：x1=3，x2=1，∵3+1＞3，满足三边关系，符合题意。（2）当3为底边长时，说明方程有两个相等的实根，∴（-4）2-4×1×k=0,解得：k=4,此时方程为x2-4x+4=0,解得方程两个根为x1=x2=2,∵2+2＞3，符合题意
综上所述：k的值为3或4，选C
【点睛】本题主要考查根的定义，根的判别式，三角形三边关系，以及分类讨论思想，利用分类讨论思想讨论3是腰长还是底边长以及验证是否满足三边关系是本题的关键。
第10题【答案】8或9
【详解】解：(1)当4为腰长时，说明方程有一个根是4，将x=4代入方程得：42-6×4+n=0
解得：n=8,此时方程为x2-6x+8=0,解得方程两个根是：x1=2，x2=4，∵2+4＞4，满足三边关系，符合题意。（2）当4为底边长时，说明方程有两个相等的实根，∴（-6）2-4×1×n=0,解得：n=9,此时方程为x2-6x+9=0,解得方程两个根为x1=x2=3,∵3+3＞4，符合题意
综上所述：n的值为8或9.
第11题【答案】
【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程2x2+4x+m＝0有两个不同的实数根，∴x1+ x2=-2
x1x2=, ∴x12+x22＝（）2-2x1x2=（-2）2-2×（）=4-m,∴4-m=，m=，经检验，当m=时，42-4×2×＞0,符号题意。（此题也可以不用检验，因为就一个m的值）
第12题【答案】-2
【详解】解：设x1，x2是一元二次方程x2+2mx+ m2+m＝0的两个实数根，∴x1+ x2=-2m
x1x2= m2+m,∴x12+x22＝（）2-2x1x2=（-2m）2-2×（m2+m）=2 m2-2m,∵两根的平方和为12，即2 m2-2m=12，解方程得：m=3,或m=-2。检验：因为方程有两个实数根， 即(2m)2-4(m2+m)≥0，∴m≤0，∴m=-2
【点睛】本题主要考查韦达定理与根的判别式，一定注意求完m的值，要检验判别式是否≥0，可以将m的值代入到判别式检验，也可以根据≥0，解关于m的不等式，求出m的范围来排除不符合题意的m的值。
第13题【答案】A
【详解】因为关于x的一元二次方程mx2-(m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2
∴，解得：m＞-1，且m≠0。∵x1+ x2=,x1x2=,
∴+===，∵+=4m,∴=4m，解得：m=2或-1
∵m＞-1，且m≠0，∴m=2,故选A。
【点睛】本题主要考查韦达定理与根的判别式，一定注意韦达定理使用的前提≥0，以及隐藏的题目中一元二次方程的二次项系数≠0.
题型II 根与系数关系求参数的值 【中高档题】
第1题【答案】2，-1
【详解】不妨设这两个数为x1，x2，有题意可知：x1，x2一定是x2-x-2=0的两个根，解方程可得：x1=2，x2=-1
【点睛】如果方程两个根为x1,x2，那么方程一定是形如（x-x1)(x-x2)=0的形式，
即x2-(x1+x2)x+x1·x2=0的形式
第2题【答案】不存在（见详解）
【详解】理由:假设成立，∵x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2+4kx+k+1=0的两个实根.
Δ=（4k）2-4x4k(k+1)=-16k≥0，且k≠0，解得： k < 0,. ∵x1,x2是一元二次方程的两个实数根，∴x1+ x2=-1, x1·x2= +14
∴(2 x1- x2)( x1-2 x2)=2（x1）2-4 x1·x2 - x1·x2+2（x2）2=2（x1）2-5 x1·x2+2（x2）2
2（ 1+ 2=2(x1+x2)2-9x1x2=2×（-1）2-9×=2-，∵(2x1- x2)( x1- 2x2)=-，
∴2-=-，解得：k=，∵k＜0，∴不存在这样K的值，使(2x1- x2)( x1- 2x2)=-成立。
第3题【答案】1或2
【详解】（1）因为Δ=(m-3) +4m=m2-2m+9=(m-1) +8>0恒成立，
所以方程有两个不相等的实数根.
(2)由题意可得，x1+x2=m-3， x1·x2=-m,所以x12+x22-x1x2 =(x1+x2)2-3x1x2 =(m-3)2+3m=7
解可得，m=1或m=2.因为第一问已经证明总有两个不相等的实根，所以不用检验了。
第4题【答案】（1）24 （2）a=7或8，9，12
【详解】(1)根据题意，得△=（2a）2－4×a（a－6）=24a≥0
∴a≥0．又∵a－6≠0，∴a≠6．由根与系数关系得：x1＋x2=－，x1x2=.
由－x1＋x1x2=4＋x2 得x1＋x2 ＋4=x1x2.
∴－＋4 =，解得a=24．
经检验a=24是方程∴－＋4 =的解．
（2）原式=x1＋x2 ＋x1x2 ＋1=－＋＋1=为负整数，
∴6－a为－1或－2，－3，－6.
解得a=7或8，9，12．
第5题【答案】21 x2+47x-24=0
【详解】设原方程3x2-7x+8=0的两个根分别为a,b,则a+b=,ab=,∴=
-ab=-,∴以和- 为根的新的一元二次方程可写为 x2-[+(-)]x+×(-)=0
即x2+x-=0，整理得：21 x2+47x-24=0
第6题【答案】x2-6x+6=0
【详解】由题意得：；解得：b=-6,c=6,所以正确的一元二次方程为：x2-6x+6=0