2022—2023学年人教版数学九年级上册第二十一章 一元二次方程 第4课时公式法 同步课时练习 （含解析）

第二十一章：第4课时-公式法解一元二次方程
公式法解方程一般步骤及注意事项：
①将方程整理成一般形式：即ax2+bx+c=0（a≠0）的形式
②确定a,b，c的值，注意a，b，c代表的意义及符号问题
③ 判定△=b2-4ac的大小,套公式，如果 △＞0，x1，x2=
如果 △=0，x1=x2=-; 如果△＜0，方程无实根
④ 写成方程解的形式，并注意对方程的解进行化简。
考点1：根的判别式
式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，用希腊字母“△”表示。
即△=b2-4ac。 当△＞0时，方程有两个不等的实数根；
当△=0时，方程有两个不等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；
题型I：判定方程根的情况 【基础题】
1：一元二次方程x2+x-2=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C．无实数根 D. 无法确定
【2022山东滨州】
2. 一元二次方程2x2-5x+6=0的根的情况为（ ）
A. 无实数根 B. 有两个不等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能判定
【2013广东珠海】
3. 已知一元二次方程①x2+2x+3=0, ②x2-2x-3=0，下列说法正确的是（ ）
A．①②都有实数解 B. ①无实数解，②有实数解
C．①有实数解，②无实数解 D. ①②都无实数解
4：用判别式判定下列方程根的情况：
①x2+3x+7=0， ②x2+4=0, ③ 2x2-3x-=0; ④ 3x2+10=2x2+8x
0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
5: 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2-3x+1=0 B. x2+1=0 C. x2-2x+1=0 D. x2+2x+3=0
【2021山东滨州】
6. 下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）
A x2-2x-3=0 B. x2+3x+2=0 C. x2-2x+1=0 D. x2+2x+3=0
7. 小刚在解关于x的方程ax +bx+c=0(a≠0)时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1，他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是( )
A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根
题型I：判定方程根的情况 【中档题】
【2020山东潍坊】
1. 关于x的一元二次方程x2-(k-3)x+1-k=0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定
【2020山东滨州】
2.对于任意实数k，关于x的方程x2-(k+5)x+k2+2k+25=0的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判定
【2019山东烟台】
3当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
4. 若3k+7＜0，则关于x的一元二次方程x2+3x-2k=0的根的情况是（ ）
没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实根 D. 无法判断
【2021山东烟台】
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示,则这个方程根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．在－3，－2，－1，0，1，2这六个数中，随机取出一个数记为a，那么使得关于x的一元二次方程x2－2ax＋5＝0无解，且使得关于x的方程-3＝有整数解的所有a的值之和为(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1
题型I：判定方程根的情况 【高档题-学霸题】
1.已知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+2k=0.求证：无论k为何值，方程总有实数根。
三边关系+根的判别式
2.已知ΔABC的三边长为a,b,c,且满足方程a2x2-(c2-a2-b2)x+b2=0，则方程根的情况是（ ） A.有两相等实根B.有两相异实根C.无实根D.不能确定
【2022山东枣庄 】
3．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（　　）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B．y1＝和y2＝x+1
C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1
题型II：根的判别式求参数范围(基础题)
【2019山东青岛】
1．若关于 x 的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根，则 m 的值为 ．
2. 已知关于x的一元二次方程x2+bx+b-1=0有两个相等的实数根，则b的值是 ．
【2018山东聊城】（分类讨论）
3.已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个相等的实根，则k的值是_____．
【2020山东淄博】
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　．
【2019山东枣庄】
5．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　．
【2019山东泰安】
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　 　．
【2021山东泰安】
7．已知关于x的一元二次方程kx2-（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0
8.若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是 ___________.
【2020山东东营】
9. 如果关于x的一元二次方程x2-6x+m=0有实数根，那么m的取值范围是___．
【2018山东威海】
10.关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是___________.
11. 若关于x的方程（a-1）x2+2(a+1)x+a+5=0有两个实数根，则正整数a的值为多少？
【2019山东聊城】
12．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
【2018山东菏泽】
13.关于x的一元二次方程（k+1）2 x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k≥0 B. k≤0 C. k＜0且k≠-1 D. k≤0且k≠-1
【2021山东菏泽】（分类讨论）
14．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ 且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k＞ D．k≥
根的判别式求参数范围（中高档题）
1.如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
2: 关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的值及方程的根？
经典例题+分类讨论
已知:关于x的方程mx2-4x+1=0(m≠0)有实数根(1)求m的取值范围;
(2)若方程的根为有理数，求正整数m的值
经典例题+分类讨论
已知关于x的方程mx2+(2m-1)x+m-1=0(m≠0).
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根。
(2)若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值.
经典例题+分类讨论+检验三边关系
3. 已知a、b，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且a、b是关于x的一元二次方程x2-6x+k+2=0的两个根，则k的值等于( ). A.7 B.7或6 C.6或-7 D.6
4. 在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
5：已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0,a为何非负整数时，
(1)方程只有一个实数根
(2)方程有两个相等的实数根
(3)方程有两个不相等的实数根
6. 已知关于x的一元二次方程(a+c)x +2bx-(a-c)=0。其中a， b，c分别为△ABC三边的长。
(1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由。
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由。
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。
考点2：用公式法解方程(基础题)
用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解是（ ）
A． B. C. D.
2. 用公式法解方程x2=-8x-15,其中b2-4ac=( ).x1=（ ），x2=( )
3：解方程：(1) 3x2-6x+1=0 (2) 5x2-3x=x+1
(3) （x+1）(3x-1)=1； (4) 2x2-2x+1=0
（5）0.4x2-0.8x=1 (6) y2+-2=0
用公式法解方程(中高档题)
当x=( ),代数式与的值互为相反数。
若方程x2-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为（ ）
（m2+n2）(m2+n2-2)-8=0,则m2+n2的值是（ ）
A． 4 B. -2 C. 4或-2 D. -4或2
小明在一块长18m，宽14m的空地上为班级建造一个花园，所建花园占空地面积的，请你求出图中的x.
5.要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m.
(1)求鸡场的长与宽各是多少 (2)题中墙的长度a对解题有什么作用.
第4课时公式法—答案及解析
题型I：判定方程根的情况 【基础题】
第1题：【答案】A 第2题：【答案】A 第3题：【答案】B
第4题：【答案】C 【详解】其中③ ④ 有解
第5题：【答案】A 第6题：【答案】D 第7题：【答案】A
题型I：判定方程根的情况 【中档题】
第1题：【答案】A
【详解】Δ=（k-3）2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=(k-1)2+4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根。
【点睛】先计算判别式，再进行配方得到Δ=（k-1）2+4的形式，利用非负数的性质得到
Δ＞0，再利用判别式的意义即可得到答案。关键将判别式的式子配成a(x+b)2+c(其中a,c为正数)的形式。
第2题：【答案】B
【详解】解：Δ=b2-4ac=[-(k+5)2-4××（k2+2k+25）=-k2+6k-25=-(k-3)2-16
∵不论k为何值，-(k-3)2≤0，∴-(k-3)2-16＜0即Δ＜0，方程没有实数根
【点睛】先计算判别式，再将判别式的式子配方成a(x+b)2+c(其中a,c同为负数)的形式，再根据非负数的性质，即可得到答案。
第3题：【答案】A
【详解】解：∵b+c=5,∴-c=b-5, Δ=b2-4ac=b2-4×3×（-c）=b2-4×3×（b-5）
=b2-12b+60=(b-6)2+24＞0，所以方程有两个不相等的实数根。
【点睛】题目中含有b,c两个参数，以及关系式b+c=5,在计算根的判别式时，要将两个参数化为一个参数来计算，体现了消元的思想，全部用参数b的代数式来表示，再进行配方整理即可，其中消元思想是本题的关键。
第4题：【答案】A
【详解】解：Δ=b2-4ac=9+8k,∵3k+7＜0，∴k＜- ，∴△=9+8k＜9+8×（-）=-
∴△＜0，∴方程无实数根。
第5题：【答案】A
【详解】有数轴得：m＞0，n＜0，m+n＜0，∴mn＜0，∴△=（mn）2-4（m+n）＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
第6题：【答案】D
【详解】∵方程无解，∴Δ＜0，即(-2a)2-4×1×5＜0，即a2＜5，
解分式方程-3＝，得x=，且x≠1，同时满足a2＜5，且使x=的值为整数，且不等1的a的值只有0，2，∴满足条件的所有a的值之和为2.
题型I：判定方程根的情况 【高档题-学霸题】
第1题：【答案】见详解
【详解】∵Δ=b2-4ac=[-(k+2)2]2-4×2k=k2-4k+4=(k+2)2≥0，∴无论k取何值时，方程总有实数根。
第2题：【答案】C
【详解】∵a,b,c是△ABC的三边长，∴a2≠0，Δ=（c2-a2-b2）2-4a2b2
=( c2-a2-b2-2ab)( c2-a2-b2+2ab)=[c2-(a+b)2][c2-（a-b）2]
=(c-a-b)(c+a+b)(c+a-b)(c-a+b),又∵三角形两边之和大于第三边，可得△＜0，
所以方程没有实数根。
第3题：【答案】
【详解】由题意可知y1和y2是不是和谐函数，只需判别y1+y2=1所组成的方程有无实数根方程有实数根，则是和谐函数，反之则不是。A ：令y1+y2=1，得 x2+2x-x+1=1,即x2+x=0,
利用判别式可知有解，是和谐函数。B：令y1+y2=1，化简整理得：x2+1=0,方程无解，∴函数y1和y2不是和谐函数。C：令y1+y2=1，化简整理得：x2+2x+1=0,方程有解，是和谐函数
D：令y1+y2=1，化简整理得：x2+x-2=0,方程有解，是和谐函数。
题型II：根的判别式求参数范围(基础题)
第1题：【答案】
第2题：【答案】2
【详解】由题意得：Δ=b2-4(b-1)=(b-2)2=0,∴b=2
第3题：【答案】
【详解】∵方程有两个相等的实根,∴方程一定为一元二次方程，且判别式=0，
∴,解得k=
第4题：【答案】m＜
第5题：【答案】a＞-，且a≠0
【详解】∵方程有两个不相等的实根，∴;解得a＞-，且a≠0
第6题：【答案】k＜-
【详解】∵方程有两个不相等的实根，∴Δ＞0；解得：k＜-。
第7题：【答案】k＞-且k≠0
【详解】∵方程有两个不相等的实根，∴；解得：k＞-且k≠0
第8题：【答案】-2＜b＜2
【详解】由题意知：b2-12＜0，∴b2＜12，∴-2＜b＜2
第9题：【答案】m≤9
【详解】由题意知：Δ=62-4×1×m≥0，解得m≤9，注意有实数根是Δ≥0.
第10题：【答案】4
【详解】由题意知：；解得：m≤，且m≠5，所以m的最大整数解为4
第11题：【答案】k≥，且k≠2
【详解】先将方程变形得：（k-2）x2-2kx+k-6=0,由题意知：；
解得：k≥，且k≠2
第12题：【答案】D
【详解】由题意知：；解得：k≤0，且k≠-1
第13题：【答案】k≥
【详解】（1）当k-1=0时，即k=1时，方程为3x+1=0,显然有解。所以k=1满足题意
（2）当k-1≠0时，即k≠1时，方程为一元二次方程，若方程有实根，还需满足Δ≥0，
即Δ=（2k+1）2-4×（k-1）2×1=12k-3≥0，解得k≥，所以k≥,且k≠1.
综上所述：k的取值范围是k≥，本题关键考查分类讨论思想及根的判别式。
根的判别式求参数范围（中高档题）
第1题：【答案】≤k＜，且k≠0
【详解】由题意知：；解得；所以≤k＜，且k≠0
第2题：【答案】m=2, x1=1,x2=
【详解】由题意知：,∴m=2,所以原方程为：2x2-5x+3=0,解得：x1=1,x2=
第3题：【答案】B
【详解】∵a、b、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，∴a=b或a、b中有一个为4，
当4是方程x2-6x+k+2=0的一个根时，即42-6x4+k+2=0， k=6,
此时方程为x2-6x+8=0；即(x-2)(x-4)=0, 解方程得：x1=2,x2=4.因为三角形三边为4，4，2，满足三角形三边关系.所以k可以等6.
当a=b时，所以此方程有两个相等的实根，∴Δ=(-6)2-4(k+2)=0, 解得：k=7.
此时方程为：x2-6x+9=0,解方程得：x1=x2=3，三角形三边为3、3、4，满足三边关系。
综上所述：k=6或k=7.
第4题：【答案】13
【详解】关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，
所以Δ=b2－4ac=(b+2)2 -4(6-b)= b2+8b-20=0，解得：b=-10或b=2.因为b是边长，所以b=2，因为两边之和大于第三边，所以△ABC 的三边长只能为2,5,5，其周长为2+5+5=13.
第5题：【答案】(1) a=2 (2) a=3 (3) a=0或1
【详解】（1）∵方程只有一个实数，∴a-2=0 ;解得：a=2
(2) ∵方程有两个相等的实数根，∴;解得：a=3
(3) ∵方程有两个不相等的实根，∴解得：a＜3，且a≠2
∵a为非负整数，，∴a=0或1
第6题：【答案】(1) 等腰三角形 （2）直角三角形 (3) x1=0，x2=-1
【详解】(1)将x=-1代入原方程得:(a+c)-2b+(a-c)= 0,即2a-2b=0，∴a=b,
∴△ABC为等腰三角形。
（2），∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=(2b)2-4(a+c)(a-c)= 0,即4b2-4a +4c =0
∴b +c = a ，∴△ABC为直角三角形。
（3）∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c,∴原方程为2ax2+2ax =0,即x2+x=0
解得:x1=0，x2=-1。
考点2：用公式法解方程(基础题)
第1题：【答案】D
第2题：【答案】4, x1=-3，x2=-5
第3题：【答案】 (1) x1=1+ ，x2=1- (2) x1=1，x2=-(3); x1=；x2=；（4）x1= x2= （5）x1=；x2=；（6）y1=, y2=-2
用公式法解方程(中高档题)
第1题：【答案】-1或-
第2题：【答案】4
【详解】方程两根之差为0，也就是方程有两个相等的实数根，即Δ=0，可得a=4
第3题：【答案】A
【详解】设m2+n2=t(显然t≥0)，代入原方程得：t(t-2)-8=0,解方程得：t=4或t=-2(舍去)
∴m2+n2=4
【点睛】本题主要考查了换元法在解一元二次方程中的应用。换元法：是借助引进辅助元素，在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量代换，将问题进行转换的一种方法，常常能使问题化繁为简，化难为易。
第4题：【答案】16-
【详解】可以运用转换思想，将两条花园平移到边界，反过来求出空地的面积即可，此时空地的面积也占总面积的，∴（14-x）(18-x)=×18×14，解得：x1=16+,（不合题意，舍去），x2=16-。
第5题：【答案】见详解
【详解】(1)设宽为x,则x（35-2x）=180,解得：x1=7.5，x2=10，如果对墙的长度没有限制，当x=7.5时，鸡场的宽为7.5m，长为20m；当x=10m时，鸡场的宽为10m，长为15m
(2)a对解题起了限制方程解的个数的作用。当0＜a＜15时，问题无解；
当15≤a＜20时，x只能等10，即鸡场宽为10m,长为15m；当a≥20时，问题有两解，可建宽为10m，长为15m,或建宽为7.5m，长为20m的鸡场都可以。