有理数的乘方
1．已知|a|＝5，b2＝16且ab＞0，则a﹣b的值为（ ）
A．1 B．1或9 C．﹣1或﹣9 D．1或﹣1
答案：D
【解析】∵|a|＝5，b2＝16，
∴a＝±5，b＝±4，
∵ab＞0，
∴a＝5，b＝4或a＝﹣5，b＝﹣4，
则a﹣b＝1或﹣1，
故选：D．
2．若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，则x+y的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】∵（x﹣1）2+|2y+1|＝0，
∴x﹣1＝0，2y+1＝0，
解得：x＝1，y，
则x+y的值为：1．
故选：D．
3. 设a=，则的值为（ ）
A. 15 B. 7 C. ﹣39 D. 47
答案：A
4. 若|a|≤l,则a －1是（ ）
A．正数 B.负数 C．非正数 D.非负数
答案：C
【解析】因为|a|≤l，所以|a| ≤l，所以a －1≤0，即a －1是非负数。
5. 我们平常用的是十进制,如2022=2×10 ＋0×10 ＋2×＋2,表示十进制的数要用10个数码:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.在计算机中用的是二进制,只有两个数码:0和1.如二进制中111=1×2 ＋1×＋1相当于十进制中的7，又如:11 011=1×＋1×2 ＋0×2 ＋1×＋1相当于十进制中的27.那么二进制中的1 101相当于十进制中的（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
答案：D
【解析】由题意可知，1011=1×2 ＋1×2 ＋0×＋1=13
6. 小红在计算时,拿出1张等边三角形纸片按如
图所示的方式进行操作:①如图1,把1个等边三角形等分成4个完全相同的等边三角形,完成第1次操作;②如图2,把图1中最上面的三角形等分成4个完全相同的等边三角形,完成第⒉次操作;③如图3,把图2中最上面的三角形等分成4个完全相同的等边三角形,完成第3次操作;…,依次重复上述操作,可得与计算的结果最接近的数是（ ）
答案：A
【解析】根据题意,设原大三角形的面积为1,则第1次操作后每个小三角形的面积均为;第2次操作后每个小三角形的面积均为;第3次操作后每个小三角形的面积均为;…;第2 022次操作后每2022个小三角形的面积均为,则原算式相当于求图1中的阴影部分面积.现将原算式扩大3倍,得3×＋3×＋3×＋…＋3×,此时该算式相当于求图2中的阴影部分面积,这个和等于原大三角形的面积减去一个空白小三角形的面积,即1－， 则原算式的结果为:，即最接近的数是
7．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
答案：B
【解析】由（2n+1）3﹣（2n﹣1）3＝24n+2≤2019，可得n2，再根据和谐数为正整数，得到1≤n≤9，可得在不超过2019的正整数中，“和谐数”共有10个，依此列式计算即可求解．
由（2n+1）3﹣（2n﹣1）3＝24n2+2≤2019，可得n2，
∵和谐数为正整数，
∴0≤n≤9，
则在不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为13﹣（﹣1）3+33﹣13+53﹣33+…+193﹣173＝193﹣（﹣1）3＝6860．
故选：B．
8．如图是一个有理数混合运算程序的流程图.请根据这个程序回答问题:当输入x的值为－16时,输出y的值为________.
答案：
9. 已知光在真空中的传播速度是3× km/s,1年约为3.15×s,则1光年(光1年所走的路程)约为________m(用科学记数法表示).
答案：
10. 观察下面“品”字形中各数之间的规律,根据观察到的规律得出a的值为________.
答案：41
【解析】由题图可知,第n个图形中最上面的小正方形中的数字是2n－1,左下角的小正方形中的数字是,右下角中小正方形中的数字是2n－1＋.当 2n－1=9时,解得n=5,所以b==32,则a=9＋32=41.
11．一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折5次可以得到 条折痕．
答案：31
【解析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可；再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数．
由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕，
第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕，
第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕，
第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕，
…，
依此类推，第n次对折，把纸分成2n部分，2n﹣1条折痕．
当n＝5时，25﹣1＝31，
故答案为：31．
12. 8.对于任意有理数a,b,规定:a☆b= 和a★b =，那么[（－2）★3]☆1=________.
答案：－1
13. 定义一种对正整数n的“C运算”:①当n为奇数时,结果为3n+1;②当n为偶数时,结果为”(其中k是使为奇数的正整数).“C运算”不停地重复进行,例如,当n=66时,其“C运算”如下:
若n=35,则第2022次“C运算”的结果是________.
答案：1
【解析】若n=35,则第1次运算结果为35×3＋1=106;第2次运算结果为=53;第3次运算结果为160;第4次运算结果为=5;第5次运算结果为16;第6次运算结果为=1;第7次运算结果为4;第8次运算结果为=1;…,可以看出规律,从第6次开始,结果就只是1,4两个数循环出现,且当次数为偶数时,结果是1,当次数为奇数时,结果是4.因为2022是偶数,所以第2022次“C运算”的结果是1.
14. 小聪学习了有理数后,对知识进行归纳总结.
【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空：
（1）；
（2）
（3）若,则x=________.
（4）若x =4，则x=________.
【知识归纳】根据上述知识，你能发现的结论是：________________________.
【知识运用】运用上述结论解答:已知，求x+y的值。
答案：【知识呈现】（3）±5 ； （4）±2；
【知识归纳】绝对值等于一个正数的数有两个,平方等于一个正数的数有两个；
【知识运用】根据题意,得x＋1=4或x＋1=－4,y＋2=2或y＋2=－2,解得x=3或x =－5，y=0或y=－4.当x =3, y=0时，x＋y=3;当x=3,y=－4时,x＋y=－1;当x=－5,y=0时,x＋y=－5;当x=－5,y=－4时,.x＋y=－9.
综上所述,x＋y的值是3或－1或－5或－9.
15. 桌子上有8只杯口朝上的茶杯,每次翻转其中的4只,只要翻转2次,就能把它们全部翻成杯口朝下.
(1）如果将8只茶杯改为6只,每次任意翻转其中的4只,最少经过______次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下.
(2）现在将问题中的8只茶杯改为7只,能否经过若干次翻转(每次4个)把它们全部翻成杯口朝下 直接写出结果______(填“能”或“不能”).
(3）如果用“+1”“－1”分别表示杯口“朝上”“朝下”,请利用有理数运算说明得到（2）中结论的理由.
答案：（1）3； 【解析】6只杯子的初始状态是全部杯口朝上,用“+1”“－1”分别表示杯口“朝上”“朝下”,所以初始状态为+1，+1，+1，+1，+1，+1.第1次翻转前4个杯子,状态为－1,－1,－1,－1,+1，+1;第2次翻转第2,3,4,5个杯子,状态为－1，+1，+1，+1,－1，+1;第3次翻转第 2,3,4,6个杯子,状态为－1，－1，－1,－1,－1，－1.所以最少经过3次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下.
（2）不能
（3）用“+1”“－1”分别表示杯口“朝上”“朝下”,所以初始状态为+1,+1，+1，+1,+1,+1，+1.第1次翻转前4个杯子,状态为－1,－1，－1，－1,+1，+1，+1;第2次翻转第2，3，4，5个杯子,状态为－1，+1，+1,+1,－1,+1,+1;第3次翻转第2,3,4,6个杯子,状态为－1,－1,－1,－1,－1,－1，+1.所以无论翻转多少次总有－个杯口朝上,即经过若干次翻转不能把它们全部翻成杯口朝下.
16．阅读下面的解答过程.
计算：
观察发现,上式从第二项起,每一项都是它前一项的5倍.如果将上式各项都乘5，所得新算式中除个别项外,其余与原式中的项相同,于是两式相减将使差易于计算.
解：设S=①
则5S=②，
②－①，得4S=，则S=，即原式=.
上面计算用的方法称为“错位相减法”,如果一列数,从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中都等于5),那么这列数的求和问题均可用上述“错位相减法”来解决.
请你观察算式是否具备上述规律 若具备,请你尝试用“错位相减法”计算上式的结果.
答案：解：具备上述规律
设S=①，S=②
①－②，得S=1－，则S=2－，即原式=2－有理数的乘方
1．已知|a|＝5，b2＝16且ab＞0，则a﹣b的值为（ ）
A．1 B．1或9 C．﹣1或﹣9 D．1或﹣1
2．若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，则x+y的值为（ ）
A． B． C． D．
3. 设a=，则的值为（ ）
A. 15 B. 7 C. ﹣39 D. 47
4. 若|a|≤l,则a －1是（ ）
A．正数 B.负数 C．非正数 D.非负数
5. 我们平常用的是十进制,如2022=2×10 ＋0×10 ＋2×＋2,表示十进制的数要用10个数码:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.在计算机中用的是二进制,只有两个数码:0和1.如二进制中111=1×2 ＋1×＋1相当于十进制中的7，又如:11 011=1×＋1×2 ＋0×2 ＋1×＋1相当于十进制中的27.那么二进制中的1 101相当于十进制中的（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
6. 小红在计算时,拿出1张等边三角形纸片按如
图所示的方式进行操作:①如图1,把1个等边三角形等分成4个完全相同的等边三角形,完成第1次操作;②如图2,把图1中最上面的三角形等分成4个完全相同的等边三角形,完成第⒉次操作;③如图3,把图2中最上面的三角形等分成4个完全相同的等边三角形,完成第3次操作;…,依次重复上述操作,可得与计算的结果最接近的数是（ ）
7．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
8．如图是一个有理数混合运算程序的流程图.请根据这个程序回答问题:当输入x的值为－16时,输出y的值为________.
9. 已知光在真空中的传播速度是3× km/s,1年约为3.15×s,则1光年(光1年所走的路程)约为________m(用科学记数法表示).
10. 观察下面“品”字形中各数之间的规律,根据观察到的规律得出a的值为________.
11．一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折5次可以得到 条折痕．
12. 8.对于任意有理数a,b,规定:a☆b= 和a★b =，那么[（－2）★3]☆1=________.
13. 定义一种对正整数n的“C运算”:①当n为奇数时,结果为3n+1;②当n为偶数时,结果为”(其中k是使为奇数的正整数).“C运算”不停地重复进行,例如,当n=66时,其“C运算”如下:
若n=35,则第2022次“C运算”的结果是________.
14. 小聪学习了有理数后,对知识进行归纳总结.
【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空：
（1）；
（2）
（3）若,则x=________.
（4）若x =4，则x=________.
【知识归纳】根据上述知识，你能发现的结论是：________________________.
【知识运用】运用上述结论解答:已知，求x+y的值。
15. 桌子上有8只杯口朝上的茶杯,每次翻转其中的4只,只要翻转2次,就能把它们全部翻成杯口朝下.
(1）如果将8只茶杯改为6只,每次任意翻转其中的4只,最少经过______次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下.
(2）现在将问题中的8只茶杯改为7只,能否经过若干次翻转(每次4个)把它们全部翻成杯口朝下 直接写出结果______(填“能”或“不能”).
(3）如果用“+1”“－1”分别表示杯口“朝上”“朝下”,请利用有理数运算说明得到（2）中结论的理由.
16．阅读下面的解答过程.
计算：
观察发现,上式从第二项起,每一项都是它前一项的5倍.如果将上式各项都乘5，所得新算式中除个别项外,其余与原式中的项相同,于是两式相减将使差易于计算.
解：设S=①
则5S=②，
②－①，得4S=，则S=，即原式=.
上面计算用的方法称为“错位相减法”,如果一列数,从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中都等于5),那么这列数的求和问题均可用上述“错位相减法”来解决.
请你观察算式是否具备上述规律 若具备,请你尝试用“错位相减法”计算上式的结果.
