2022-2023学年苏科版八年级数学上册第2章轴对称图形 单元综合达标测试题（含解析）

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《第2章轴对称图形》单元综合达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列说法错误的是（　　）
A．等边三角形有3条对称轴 B．正方形有4条对称轴
C．角的对称轴有2条 D．圆有无数条对称轴
3．下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）
A．有两个角是60°的三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形
C．有两个外角相等的等腰三角形 D．三边都相等的三角形
4．到一个角的两边距离相等的点（　　）
A．在一条射线上 B．在两条互相垂直的射线上
C．在一条直线上 D．在两条互相垂直的直线上
5．如图，OB平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝12，BC＝24，AC＝18，则△AMN的周长为（　　）
A．30 B．33 C．36 D．39
6．如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（　　）
A．5cm B．10cm C．20cm D．15cm
7．边长为2和4的等腰三角形的周长为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．8或10
8．如图，已知∠A＝10°，在∠A两边上分别作点，并连接这些点，使AB＝BC＝CD＝DE……一直作下去，那么图中以这些线段为腰长的等腰三角形最多能找到（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．如图，是用一张长方形纸条折成的，如果∠1＝63°，那么∠2＝　 　．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，CD是AB边上的中线，则CD＝　 　．
11．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC的垂直平分MN交AB、AC于点M、N．则△BCM的周长为　 　．
12．等腰三角形ABC中∠A＝50°，则∠B＝　 　．
13．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝　 　．
14．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC＝5：3，则D到AB的距离为　 　 cm．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B＝50°，则∠ACB′＝　 　．
16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝　 　度．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．如图，有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C 处，AB、AC、BC 是连接三幢公寓楼的三条 道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在△ABC的内部，且到A、C的距离必须相等，到两条道路AC、AB的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P的位置．
（不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）．
18．已知：如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：BD＝CD．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE为AC的垂直平分线，BD＝BA，求∠BAC．
20．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）若BF＝3，求CE的长度．
21．如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：
（1）证明：ED＝FD；
（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；
（3）求EF的长．
22．如图，BD，AE是钝角三角形ABC的两条高，M，N分别是AB，DE的中点，求证：MN⊥DE．
23．两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
24．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求∠AMB的度数（用含α的式子表示）；
（3）如图2，当α＝90°时，点P、Q分别为AD、BE的中点，分别连接CP、CQ、PQ，判断△CPQ的形状，并加以证明．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．解：A、等边三角形的对称轴是各边的中垂线，有3条，故正确；
B、正方形对称轴是边的中垂线与经过相对顶点的直线，共有4条，故选项正确；
C、角的对称轴是角的平分线所在的直线，只有一条，故错误；
D、圆的对称轴是经过圆心的直线，有无数条，故正确．
故选：C．
3．解：A、有两个角是60°的三角形，那么第三个角也是60°，故是等边三角形，正确；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确；
C、有两个外角相等的等腰三角形，不一定是等边三角形，故错误；
D、三边都相等的三角形是等腰三角形，正确；
故选：C．
4．解：到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线所在直线上．
故选：C．
5．解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴MO＝MB，NO＝NC，
∵AB＝12，AC＝18，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝12+18＝30．
故选：A．
6．解：连接PG、PH，如图，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴OM垂直平分PG，ON垂直平分PH，
∴AP＝AG，BP＝BH，
∴△PAB的周长＝AP+AB+BP
＝AG+AB+BH
＝GH
＝10cm．
故选：B．
7．解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，它的周长为10．
故选：B．
8．解：∵AB＝CB，∠A＝10°，
∴∠CBD＝∠CDB＝20°，
…
从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．
所以一共有8个．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：∵2∠1+∠3＝180°，∠1＝63°，
∴∠3＝54°．
∵长方形的上下两边平行，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣54°＝126°．
故答案为：126°．
10．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，
∵CD是AB边上的中线，
∴CD＝AB＝3，
故答案为：3．
11．解：∵AC的垂直平分线MN交AB、AC于点M、N，
∴AM＝CM．
∴△BCM的周长＝BC+BM+CM＝BC+AB＝14．
故答案为：14．
12．解：已知等腰△ABC中，∠A＝50°，
若∠A是顶角，则∠B＝∠C，
所以∠B＝（180°﹣50°）＝65°；
若∠B是顶角，则∠A＝∠C＝50°，
所以∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°；
若∠C是顶角，则∠B＝∠A＝50°．
故∠B为65°或80°或50°，
故答案为：65°或80°或50°．
13．解：作PE⊥OB于E，
∵∠BOP＝∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠BCP＝∠AOB＝30°，
∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD＝PE＝2，
故答案是：2．
14．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝4cm，BD：DC＝5：3，
∴CD＝×4＝1.5cm，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝CD＝1.5cm．
故答案为：1.5．
15．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，
∴∠A＝40°，
∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，
∴CD＝BD，CD＝AD，
∴∠BCD＝∠B＝50°，∠DCA＝∠A＝40°，
由翻折变换的性质可知，∠B′CD＝∠BCD＝50°，
∴∠ACB′＝∠B′CD﹣∠DCA＝10°，
故答案为：10°．
16．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠A＝60°，
∵CG＝CD，
∴∠GDC＝30°，
∵DF＝DE，
∴∠E＝15°．
故答案为：15．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．解：如图：
18．证明：连接BC．
∵AB＝AC（已知），
∴∠1＝∠2（等边对等角）．
又∠ABD＝∠ACD（已知），
∴∠ABD﹣∠1＝∠ACD﹣∠2（等式运算性质）．
即∠3＝∠4．
∴BD＝DC（等角对等边）．
19．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE为AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∵BD＝BA，
∴∠BDA＝∠BAD，
∵∠BDA是△ADC的一个外角，
∴∠BDA＝∠C+∠DAC＝2∠C＝∠BAD，
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
设∠C为x°，则有
x+x+2x+x＝180°，
解得x＝36°，
则∠BAC＝2×36°+36°＝108°．
20．解：如图所示：
（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠FDB＝∠FEA＝∠ADC＝90°，
又∵∠FDB+∠1+∠BFD＝180°，
∠FEA+∠2+AFE＝180°，
∠BFD＝∠AFE，
∴∠1＝∠2，
又∠ABC＝45°，
∴BD＝AD，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA）
∴BF＝AC；
（2）∵BF＝3，
∴AC＝3，
又∵BE⊥AC，
∴CE＝AE＝＝．
21．（1）证明：过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，如图，
∴∠EKD＝∠FHD＝90°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴DK＝DG＝DH，
在△EKD和△FHD中，
，
∵AE＝AF
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△EKD≌△FHD（AAS），
∴ED＝FD；
（2）解：∠BDC＝90°+∠A．
理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠BDC+（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BDC+（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠BDC＝90°+∠A；
（3）解：如图，
∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2+∠7+∠4＝180°，∠5+∠6+∠7＝180°，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6，即∠1+∠3＝∠5+∠6，
∵∠AEF＝∠AFE，
∴∠1+∠5＝∠3+∠6，
∴∠5＝∠3，∠1＝∠6，
∴△BED∽△CED，
∴ED：CF＝BE：DF，
∵DE＝DF，
则ED2＝CF BE＝2×4＝8，
则ED＝，
∴EF＝2ED＝．
22．证明：连接EM、MD，
∵BD，AE是钝角三角形ABC的两条高，
∴∠BEA＝90°，∠BDA＝90°，
∵M，N分别是AB，DE的中点，
∴DM＝EM＝AB，
∴△DME是等腰三角形，
∵N是DE中点，
∴MN⊥DE．
23．解：△EMC是等腰直角三角形．理由如下：
连接MA．
∵∠EAD＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝90°，
∵△EDA≌△CAB，
∴DA＝AB，ED＝AC，
∴△DAB是等腰直角三角形．
又∵M为BD的中点，
∴∠MDA＝∠MBA＝45°，AM⊥BD（三线合一），
AM＝BD＝MD，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠EDM＝∠MAC＝105°，
在△MDE和△CAM中，
ED＝AC，∠MDE＝∠CAM，MD＝AM
∴△MDE≌△MAC．
∴∠DME＝∠AMC，ME＝MC，
又∵∠DMA＝90°，
∴∠EMC＝∠EMA+∠AMC＝∠EMA+∠DME＝∠DMA＝90°．
∴△MEC是等腰直角三角形．
解法二：过点M作MF⊥EC于F．
∵DE⊥EC，MF⊥EC，BC⊥EC，
∴DE∥MF∥BC，
∵DM＝BM，
∴EF＝FC，
∴ME＝MC，
∵MF＝（DE+BC），DE＝AC，BC＝AE，
∴MF＝EC，
∴FM＝FE＝FC，
∴∠EMC＝90°，
∴△EMC是等腰直角三角形．
24．解：（1）如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴BE＝AD；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，
∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，
∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；
（3）△CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）可得，BE＝AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP＝BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB＝90°，
∴∠BCQ+∠PCB＝90°，
∴∠PCQ＝90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形．