2022—2023学年人教版数学九年级上册第二十一章 一元二次方程 第7课时实际问题 同步课时练习 （含解析）

第二十一章： 一元二次方程与实际问题（最全）
题型一：传播问题
传播问题第一类：传染源不消失
解题模型：设每轮每个人传染x个人
传染源个数 第一轮后 第二轮后 …… 第n轮后
1 （1+x） （1+x）2 …… （1+x）n
m m（1+x） m（1+x）2 …… m(1+x）n
经典例题
1：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人 (2)如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感
2: 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？
3:甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
4.某人过新年用手机向他的一些好朋友发短信，获得信息的人也按该人发送的人数再加1人向外发短信，经过两轮短信的发送共有35人手机上获得新年问候的同一条信息，问第一轮和第二轮各有多少人收到新年问候的短信？
5.今年春季某地区流感爆发，开始时有4人患了流感，经过两轮传染后，共有196人患了流感．若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数．
6.电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？经过三轮感染后总共有多少台电脑被感染？
传播问题第二类：传染源消失
解题模型：设每轮每个人传染x个人
传染源个数 第一轮后 第二轮后 …… 第n轮后
1 x x2 …… xn
m mx mx2 …… mxn
经典例题：
1.癌症是人类的一个很可怕的敌人，因为癌细胞的繁殖速度惊人，一个癌细胞经过两轮分裂后就有12100个癌细胞，则每轮分裂中一个细胞分裂出多少个细胞 若以相同分裂速度再经过两轮分裂，则分裂后共有多少个癌细胞
2. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
3.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.
4.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支
题型二：增长率、降低率问题 (高频考点)
解题模型：设平均每年增长率为x,(或降低率为x)
类型 开始量 1次后 2次后 …… n次后
增长 a a（1+x） a(1+x)2 …… a(1+x)n
降低 a a（1-x） a(1-x)2 …… a(1-x)n
经典例题（基础题）
1. 某农户粮食产量平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为（ ）万kg，第三年的产量为（　　）万kg，三年总产量为（　　）万kg.
2.某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值达到了72万元，若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均增长率为x,依题意可列方程（ ）
A．72（1+x）2=50 B. 50（1+x）2=72 C. 50（1-x）2=72 D. 72（1-x）2=50
3. 某市继续加大对教育经费的投入，2018 年投入 2500 万元，2020 年预计投入 3600万元，则该市投入教育经费的年平均增长率为( ).
4. 广州亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程正确的是（ ） A. 168×（1+ a%）2=128 B. 168×（1- a%）2=128
C．168×（1-2a%）2=128 D. 168×（1+-a%）2=128
5. 某种数码产品原价每只400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元,则平均每次降价的百分率为( ) A.20% B.80% C.180% D.20%或180%
6.某种手机经过两次降价后的价格为降价前的49%，则平均每次降价为（ ）
A．25.5% B. 14% C. 60% D. 30%
7.为了让山更绿、水更清，2018年省委、省政府提出了确保到2020年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2018年我省森林覆盖率为60.05%，设从2018年起我省森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程(　　)
A．60.5(1＋2x)＝63% B．60.5(1＋2x)＝63
C．60.5(1＋x)2＝63% D．60.5(1＋x)2＝63
[2019山东日照]
8.某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ）
A. 1000（1+x）2＝3990
B. 1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990
C. 1000（1+2x）＝3990
D. 1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990
9.某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次，求每年接受科技培训人次的平均增长率是多少
H市某区为了推进义务教育均衡发展，计划利用四年大力加强学校标准化建设，已知 2016 年区政府已向某校投资500万元人民币。若每年投资的增长率相同，2018 年投资 720 万元 人民币，则 2016 年至 2019 年共向该校投资（ ） 万元.
【2021江苏连云港】
10. 在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元.
(1)求每张门票的原定票价;
(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率.
11.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率;
(2)按照(1)中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款
[2021山东东营]
12. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
经典例题（培优题）
【2020安徽合肥】
1.某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了 44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5 月、6 月游客人数的平均增长率，
2.甲．乙丙三家超市为了促销一种定价为m元的商品，甲超市连续两次降价20%:乙超市一次性降价40%:丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是( )
3. 股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停;当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停.已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是( )
A.(1+x)2= B. (1+x)2= C. 1+2x= D. 1+2x=
【2021山东淄博】
4． 为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．
（1）求该公司每个季度产值的平均增长率；
（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．
降低率+方案选择
5.今年，我区某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动．现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2017年单价为200元，2019年单价为162元．
（1）求2017年到2019年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）选购期间发现该品牌足球在标价162元的基础上，两个文体用品商店有下列不同的促销方案，试问去哪个商店买足球更优惠？
【2021山东滨州】 增长率问题+一元一次不等式
6. 某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
【2019山东德州】 增长率之和
7．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人字样浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆． 据统计，第一个月进馆 128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力补超过 500 人次，在进馆人次的月平均增长率的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
题型三：握手、送贺卡问题
解题模型：设共有x人，每两个人握一次手，共握手次
1、某班同学举办一次聚会，每两个人都握了一次手，共握手190次，有多少同学参加了此次聚会
2：一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共( ).
A.12人 B.18人 C.9人 D.10人
3.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ）
A.x2=1980 B. x(x+1)=1980 C. =1980 D.x(x-1)=1980
4.一个凸多边形共有9条对角线，则这个多边形的边数是（ ）
5.在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．
（1）若参加聚会的人数为3，则共握手　　次；若参加聚会的人数为5，则共握手　　次；
（2）若参加聚会的人数为n(n为正整数），则共握手　　次；
（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．
（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A，B）,则不同线段总数为多少呢？请直接写出结论．
题型四：单循环、双循环赛问题
解题模型：单循环赛：设有x支球队参赛，每两队之间打一场，则共需打场比赛。
双循环赛：设有x支球队参赛，每两队之间打两场，分主场、客场，则共需打x(x-1)场比赛。
1.排球世界杯中，有若干只球队参加比赛，赛制为单循环制比赛(即每两个队只比赛一场)，如果总共比赛 45 场，则参加比赛的队伍数量为（ ） A. 10个 B.9个 C.8个 D.11个
2:足球世界杯预选赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，一共举行比赛 210 场，则参加比赛的球队共有（ ）支.
3. 要组织一次排球循环赛，参赛的每两队之间赛一场。赛程计划7天，每天安排4场，比赛组织者应邀请多少个队参加
4. 在一次象棋比赛中，实行单循环赛制(即每个选手都与其他选手比赛一局)，每局胜者记 2分，负者记0分，如果平局，两个选手各记1分。某位同学统计了比赛中全部选手的得分总和为110分，则这次比赛中共有（ ）名选手参赛.
【2018山东淄博】 分类讨论思想
5. 甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 某校举行体艺节活动，在象棋单项循环赛中，得分规则是赢得2分，和各得1分，输得0分，比赛结束后，有四个同学统计总得分如下:458，460，462，464，由于比赛前后时间间隔比较长，给统计带来困难，结果只有一个人的统计是准确的，则统计准确的那个总分是( )
A.458 B. 460 C.462 D. 465
7. 在一次足球联赛中，组委会将若干球队平均分为8小组，首先在小组中进行单循环赛，每两队赛一场，取每组的前两名产生 16 强，然后在 16 强中进行淘汰赛(每两队淘汰一队)，最后产生冠、亚、季军(季军的产生要多赛一场)，组委会共需组织64场比赛(淘汰赛共16场)，那么共有多少支球队参赛
8. “中超”足球联赛采用的是主客场制的双循环比赛制度(即每两个队之间都要举行两场比赛)，显然参赛球队的个数对比赛总场次数有直接影响，由于各种原因，到底有几支球队参加“电超”联赛，一直是中国足协考虑的问题之一，在目前的基础上，如果减少4支球队，则比赛总场次数将比现在的总场次数的一半还少6场，那么，现在共有多少支球队参加“中超”联赛
一元二次方程与实际问题——答案及解析
题型一：传播类问题
传播问题第一类：传染源不消失
第1题【答案】(1) 9人 (2) 1000人
【详解】解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人。依题意，得:(1 +x) =100,
解得:x1=9，x2=-11(不合题意，舍去) 答:每轮传染中平均一个人传染了9个;
(2)100x(1+9)=1000人，答:三轮传染后有1000人患流感。
第2题【答案】见详解
【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，得1+x+x(1+x)=100，
即(1+x) =100， 1+x=士10，1+x=10或1+x=-10 ，∴x1=9，x2=-11，∵x＞0，∴x=9
4轮感染后，被感染的电脑有100x(1+9)2=10000(台)，∵10000>7000
∴4轮感染后，被感染的电脑会超过7000台
答;每轮感染中平均一台电脑会感染9台电脑，4轮感染后，被感染的电脑会超过7000台。
第3题【答案】2（人）；2187（人）
【详解】解:设每天平均一个人传染了x人.根据题意,得(1+x)2=9.解得x1=-4(不合题意，舍去)，x2=2.∴9(1+x)5=9(1+2)5=2187(人).
答:每天平均一个人传染2人，再经过5天的传染，这个地区一共将会有2187人患甲型流感
第4题【答案】5(人)，30（人）
【详解】解：设第一轮中某人向x人发短信，获得短信的x人，每人向外发(x+1)条短信，由题意得，x+x(x+1)=35,整理x+2x-35=0; 解得x1=5，X2=-7(舍去)。
答:第一轮5人收到短信，第二轮有30人收到短信.
第5题【答案】6（人）
【详解】解：设每轮传染的人数是x人，根据题意得:4x+4+(4x+4)x=196，即4（1+x）2=196
解得:x=6或x=-8(不合题意，舍去)。答:每轮传染的人数是6个人。
第6题【答案】19（台）
【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑、根据题意得：
6 (1+x)2=2400；解得x1=19，x2=-21(不符合题意，舍去)
答:每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑
传播问题第二类：传染源消失
第1题【答案】109，146410000
【详解】解：设每轮分裂中一个细胞分裂出x个细胞，则x =12100,
解得：x1=110，X2=-110.经检验X2=-110(不合题意，舍去)，
12100x1102=146410000(个)。
答:每轮分裂中一个细胞分裂出110个细胞，若以相同分裂速度再经过两轮分裂，则分裂后共有146410000个癌细胞
第2题【答案】（1）20个（2）480000个
【详解】解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌
根据题意，得60x =24 000.解得x1=20，x2=-20(不合题意,舍去).
答:每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成20个有益菌.
(2)60x20 =480000(个).答:经过三轮培植后有480000个有益菌.
第3题【答案】10（人）
【详解】解：由题意，得n+n2+1=111,解得:n1=-11(舍去),n2=10,
第4题【答案】9
【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个.由题意得:x2+x+1=91，
解得:x=9或x=-10(不合题意，舍去);∴x=9;答:每个支干长出9个小分支。
题型二：增长率、降低率问题 (高频考点)
经典例题（基础题）
第1题【答案】6(1+x);6(1+x)2;6+6(1+x)+ 6(1+x)2
第2题【答案】B
第3题【答案】
【详解】解：设该市投入教育经费的年平均增长率为X依题意得:2500(1+x) = 3600,
解得:x1=0.2=20%;x2=-2.2(不合题意，舍去)。
第4题【答案】B
第5题【答案】A
第6题【答案】D
【详解】解：设降价前手机为a元，每次降价x，由题意得: a(1 -x) = 49%a,
∴1-x=±0.7，解得:x1=1.7(舍去)或x2=0.3，∴平均每次降价30%.
第7题【答案】D
第8题【答案】B
第9题【答案】50%
【详解】解：设 每年接受科技培训的人次的平均增长率为x，根据题意得:
20+20(1+x)+20(1+x) = 95,解得:x1=50%，x2=- (不合题意，舍去)，
答:每年接受科技培训的人次的平均增长率为50%.
第10题【答案】2684
【详解】解：设每年投资的增长率为x，依题意得:500(1 +x) =720;
解得:x1=20%，x2=-2.2 (不合题意，舍去)；∴500+500(1+x) +720+720(1 + x)=2684(万元)。
第11题【答案】(1) 400元; (2) 10%.
【详解】解： (1)设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为(x-80)元，根据题意,得 =; 解得x=400,经检验:x=400是原分式方程的解，且符合题意
所以每张门票的原定票价为400元.
(2)设平均每次降价的百分率为y，根据题意，得
400(1-y)2=324；解得y1=10%，y2=1.9(不符合题意，舍去),∴平均每次降价百分率为10%。
第12题【答案】(1) 10%; (2) 13310元.
【详解】（1）解：设捐款增长率为x，根据题意得:10000(1+x)2=12100,
解得:x1=0.1，X2=-2.1(舍去)。则x=10%。答：捐款增长率为10%。
（2）根据题意得:12100x(1+10%)=13310(元)。答:第四天该校能收到的捐款是13310元。
第13题【答案】(1) 20%; (2)能实现，见详解.
【详解】解：(1)设亩产量的平均增长率为x，依题意得:700(1+x)2=1008，解得:x1=0.2=20%，
X2=-2.2(不合题意，舍去)。答:亩产量的平均增长率为20%。
(2)1008x(1+20%)=1209.6(公斤)。∵1209.6 >1200，∴他们的目标能实现.
经典例题（培优题）
第1题【答案】32%
【详解】解：设4月份游客人数是a人，5月、6月平均增长率为x,由题意，得：
a (1+44%)x(1+21%)=a(1+x) ; 解得x1=32%，x =-2.32(应舍去).
答:5月、6月游客人数的平均增长率是32%
第2题【答案】乙超市
【详解】解：降价后三家超市的售价是:甲为m (1-20%)2=0.64m，乙为m (1-40%)2 =0.6m，
丙为m (1-30%)(1-10%) =0.63m，因为0.6m<0.63m<0.64m，所以此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是乙.
第3题【答案】B
【详解】解：假设股票的原价是1，因为平均每天增长率为x,则90%(1+x) =1,即(1+x)2=
第4题【答案】（1）18% （2）能 见详解
【详解】解：(1)设该公司每个季度产值的平均增长率为x，依题意得:
2300(1+x) =3200,解得x1=0.18=18%，x2=-2.18(不合题意，舍去)，
答:该公司每个季度产值的平均增长率为18%
(2)今年第一季度产值是3200万元，第二季度产值是3200x(1+18%)=3776(万元)
第三季度产值是3200x(1+18%)=4448(万元)，第四季度产值是3200x(1+18%)=5248(万元)
该公司今年的总产值为3200+3776+4448-5248=16672(万元)
∴该公司今年总产值能超过1.6亿元
第5题【答案】（1）10% （2）去B商店买足球更优惠 见详解
【详解】解：(1)设平均每年降低的百分率为x，根据题意列方程，得200(1-x)2=162.
解得x1=0.1，x2=1.9(不合题意，舍去)。
答:2017年到2019年该品牌足球单价平均每年降低10%;
(2)A商店:162x91=14742(元); B商店:162x0.9x100=14580(元)。因为14742>14580.
所以，去B商店买足球更优惠.
第6题【答案】（1）10% （2）第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价，见详解
【详解】解：(1)设该商品每次降价的百分率为x，由题意，得：60(1-x) =48.6,
解得x1=0.1，X2=1.9(舍去)，答:该商品每次降价的百分率是10%;
(2)设第一次降价售出a件，则第二次降价售出(20-a)件，由题意可得，
[60(1-10%)-40]a+(48.6-40) x(20-a)≥200；解得a≥5 ，∵a为整数，a的最小值是6，
答:第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
第7题【答案】(1)50%;(2)能，理由见解析
【详解】解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意可得：
128+128(1+x)+128(1+x)2=608整理，得4x2-12x-7=0
因式分解，得(2x-1)(2x+7)=0；降次，得2x-1=0，或2x-7=0
解得：x1=05=50%，或x2=-3.5(不合题意，舍去)；答：进馆人次的月平均增长率为50%
(2)∵进馆人次的月平均增长率为50%，∴第四个月的进馆人次为：
128x(1+50%)3=128x （）3=432＜500；所以校图书馆能接纳第四个月的进馆人次。
题型三：握手、送贺卡问题
第1题【答案】20
【详解】解：设有x个人参加聚会， =190 ；x -x-380=0；即(x-20)(x+19)=0
解得：x1=20,x2=-19(舍去)
第2题【答案】C
【详解】解：设这个小组有n个人，则：n(n-1) =72,解得：n1=9或n2=-8(舍去)
第3题【答案】D
第4题【答案】C
【详解】解：设多边形有n条边，则 =9，解得：n1=6，n2=-3(舍去)，
故这个多边形的边数为6.
第5题【答案】（1）3；10; (2) ;(3) 8; (4) (m+2)(m+1)
【详解】解：(1) =3,=10.
(2)参加聚会的人数为n(n为正整数)，每人需跟(n-1)人握手，共握手次
(3)依题意，得: =28,整理，得:n2-n-56=0，解得:n1=8，n2=-7(不合题意，舍去)。
(4)线段AB上共有m个点(不含端点A,B),可当成共有(m+2)个人握手，
∴线段总数为(m+2)(m+1).
题型四：单循环、双循环赛问题
第1题【答案】A
【详解】解：设这次有x队参加比赛，根据题意得: =45
整理，得:x -x-90=0，(x-10)(x+9)=0; 解得:x1=10，X2=-9(不合题意,舍去)，
第2题【答案】15
【详解】解：设参加比赛的球队共有x支，由题意得：x(x-1)=210,
整理得:x2-x-210=0，(x-15)(x+14)=0,∴x1=15.x2=-14(负值舍去)
第3题【答案】8
【详解】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，所以共7x4=28场比赛
设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为: x(x-1) =28
解得:x1=8，x2=-7(舍去)，所以比赛组织者应邀请8队参赛.
第4题【答案】11
【详解】解：设这次比赛中共有x名选手参加则，2x=110,
解得x1=11，x2=-10（不合题意舍去）
第5题【答案】D
【详解】解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，
所以只有两种可能性:甲胜1场或甲胜2场;
若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，所以甲只能是胜两场，
即:甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败。也就是胜0场.
第6题【答案】C
【详解】解：设参加比赛的有x人，
当2x=458，解得：x= (不符合题意舍去)
当2x=460，解得：x= (不符合题意舍去)
当2x=462，解得：x1= ；x2=-21(不符合题意舍去)
当2x=464，解得：x= (不符合题意舍去)
所以准确总分是462分，故选:C.
第7题【答案】32支
【详解】解：设每组有x个队，则列方程为 x8+16=64；
解得：x1= ；x2=-3(不符合题意舍去)，所以一共有球队:8x4=32（支）.
第8题【答案】13支
【详解】解：设现在共有x支球队参加“中超”联赛，则:
(x -4)(x-5)= -6；即x2-17x+52=0，（x-4）(x-13)=0; 解得:x1=4，x2=13
∵x1=4不合题意，所以x2=13.答:现在共有13支球队参加“中超”联赛
题型五：销售利润问题（重点）
解题模型：总利润=每件利润×销售量=（每件售价-每件进价）×销售量
经典例题
1：某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下 若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元
2.某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元，日均多售2kg在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时，按一天计算)如果日均获利1950元，求销售单价
3.某商场销售一批小家电,平均每天可售出20台，每台盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当
的降价措施，经调查发现，在一定范围内，小家电每台的售价每降低5元，商场平均每天可多售出10台
(1)若将这批小家电每台的售价降低x元，则每天的销售量是 台(用含x的代数式表示)
(2)如果商场通过销售这批小家电每天要盈利1250元，那么每台的售价应降低多少元
(3)若这批小家电每台的售价有三种降价方式:降价10元、降价20元、降价30元，而你是商场经理，则你
准备采取哪种降价方式 请说明理由
4.某商店购进一种商品，单价30元。试销中发现这种商品每天的销售量p(件)与每件的销售价x(元)满足关系:p=100-2x.若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，求：
（1）那么每件商品的售价应为多少元
（2）每天要售出这种商品多少件
5. 电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元件的新商品，在试销中发现：销售单价x（元与每天销售量y（件之间满足如图所示的关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，
求销售单价x的值．
6.某旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出了如下收费标准:
如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元:如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.某单位组织员工去这个风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去这个风景区旅游
7：某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．
（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？
【2013山东泰安】
8. 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元
题型六：封面设计问题
1.如图21.3-1，要设计一本书的封面，封面长27厘米，宽21厘米，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形。如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位) 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题 请你试一试
2. 要为一幅长29cm，宽22 cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度应是多少厘米(只要求列出方程即可)
3.现有长方形纸片一张，长19cm,宽15cm,需要减去边长为多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方形的纸盒？
4.如图,一张宽为xcm的 2xcm长方形铁皮,四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小盒子.已知铁皮的长是宽的2倍,做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方形铁皮的长与宽.
5.一张桌子的桌面长为6m,宽为4m,台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽？
6.如图，在宽度为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540㎡,求道路的宽．如果设小路宽为x m,根据题意，所列方程正确的是（ ）
A.（20+x)(32-x)=540 B.（20-x)(32-x)=100
C.（20-x)(32-x)=540 D.（20+x)(32-x)=540
7.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为(　　)
　
　A.400cm2 B.500cm2 C.600cm2 D.4000cm2
二元一次方程组+一元二次方程（方程组思想）
8.一个矩形内放人两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8c㎡;按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11c㎡;若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）A 5cm2B.6c㎡ C.7c㎡D.8c㎡
9. 如图,某小区规划在一个长40米，宽26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草,若使每块草坪的面积都为144平方米,求道路的宽度.
10. 如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位，≈11.5326)
题型七：几何图形面积问题（高频考点）
经典例题（基础题）
1.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2,求两条直角边的长？
2：一个菱形两条对角线长的和是10cm,面积是12cm2,菱形的周长是（ ）
3.一个两位数的个位数字与十位数字的和为9并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数.
4.一个两位数，各位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是（ ）
5.用一条长为40cm的绳子怎么围成一个面积为75cm2的矩形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由？
6.如图所示是长方形养鸡场平面示意图，一面靠墙，且墙长为18米，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，围的面积为150m２，则此长方形鸡场的长、宽分别为（　　　）
7.如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪AB边的长.
8.如图，某工厂直角墙角处，用可建60米长围墙的建筑材料围成一个墙矩形堆货场地，中间用同样的材料分隔成两间，问AB为多长时，所围成的矩形面积是450平方米
经典例题（培优题）
1.如图所示，有一长方形的空地，长为x米，宽为12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园．
（1）请用含x的代数式表示正方形乙的边长：　　米；
（2）若丙地的面积为32平方米，请求出x的值．
2. 某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙(AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD的一边AB长为x米．
（1）饲养场另一边BC=　　米（用含x的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值．
2021-2022 一模考题
3.为了改善生态环境，重庆市政府决定对某公园进行绿化，该绿化工程需要完成26000平方米的绿化任务．某施工队在按计划施工7天后，将每天的工作量增加为原来的1. 5倍，结果再花4天刚好完成该项绿化工程．
（1)该绿化工程原计划每天完成多少平方米的绿化任务？
（2)如图，在绿化工程中，要修建一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，该花圃一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），其余部分由篱笆围成．为了出入方便，在建造花圃时，在长边上用其他材料建造了宽为1米的两个小门，其余部分刚好用完长为28米的篱笆，若此时花圃的面积为72平方米，求此时花圃的长和宽。
题型八：动点问题 (转化思想+分类讨论思想)
1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以3cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过多长时间，△PBQ的面积等于6cm
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，BC=21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s．那么运动几秒时，它们相距15cm？
△PCQ的面积能等于60cm2吗？为什么？
3. 如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动。
(1)几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍; (2)几秒后，△DPQ的面积是24cm
4. 如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？
5. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD,以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动(P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．
（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？
（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
题型五：销售利润问题（高频考点）
第1题【答案】4元
【详解】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得:(44-x)(20+5x)=1600
x -40x+124=0； (x-36)(x-4)=0；x1=36(舍去)，x2=4；所以每件服装应降价4元
第2题【答案】65元
【详解】解：设销售单价为x元，由题意得:
(x-30)[60+2(70-x)]-500=1950; 解得:x1=x2=65，
∵销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，∴x=65符合题意
第3题【答案】(1)20+2x (2) x1=x2=15 (3) 选择降价20元的方式 见详解
【详解】解：(1)根据题意得:20+2x.
(2)设单价降价x元，则每天的销售量是(20+2x)台，
根据题意得:(40-x)(20+2x)=1250，整理得:x2-30x+225=0，解得:x1=x2=15 .
(3) 当降价10元时,利润=(40-10)x(20+2x10)=1200(元);
当降价20元时,利润=(40-20)x(20+2x20)=1200(元);
当降价30元时,利润=(40-30)x(20+2x30)=800(元)∶
∵1200>800,且要尽快减少库存，所以选择降价20元的方式
第4题【答案】(1)40（元） (2) 20（件）
【详解】解：设每件商品的售价应定为x元，每天要销售这种商品p件.
根据题意得:(x-30)(100-2x) = 200,整理得:x2-80x+1600=0，∴ (x- 40) = 0,∴x1=x2=40
∴ p=100-2x=20;故，每件商品的售价应定为40元，每天要销售这种商品20件.
第5题【答案】(1) y=-x+180 (2) 120元或160元
【详解】解：(1)设y与x之间的函数关系式为 y=kx+b(k≠0),
由所给函数图象可知:;解得:
故y与x的函数关系式为y=-x+180;
(2)由题意得:(-x +180)(x-100) = 1200,解得: x1 =120，x2 =160.
答:若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，则销售单价为120元或160元.
第6题【答案】30人 见详解
【详解】解：∵25x1000=25000(元) <27000(元)，所以此次天华山旅游的人数超过25人。
设共有x名员工去天华山旅游，则人均费用为[1000-20(x-25)]元，依题意，得:
x[1000-20(x-25)]=27000,整理得:x2-75x+1350=0，（x-45）(x-35)=0;解得:x1=45，x2=30 .
当x=45时，人均旅游费用为1000-20(x-25)=600<700，不符合题意，舍去，
当x=30时，人均旅游费用为1000-20(x-25)=900>700，符合题意.
所以该单位去风景区旅游人数为30人。
第7题【答案】（1）甲进价16元，乙进价14元 （2）a= 见详解
【详解】解：(1)设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，
依题意有: ; 解得:
故甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元;
(2)依题意有:(400-ax7×10)(4+a)+(300-ax8×10)(14x2-11- 14 + a)=2500
整理，得150a2-180a=0，解得a1= ，a2=0(舍去)。
故当a为时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元.
第8题【答案】9元 见详解
【详解】解：依题意可知:第一周获利为:(10-6)x200=800(元)，
第二周降价x元，即售价为:(10-x)(元)，则第二周销售总量为:(200+50x),
所以第二周获利为:(10-x-6)x(200+50x)=800-50x2
第二周后剩余纪念品数量为:600-200-(200+50x)=200-50x
清仓处理亏损为:(6-4)x(200-50x)=400-100x
综上所述，这批旅游产品共获利为:800+(800-50x2)-(400-100x)=1250
整理得:x2-2x+1=0，解得：x1=x2=1,∴第二周售价为：10-x=9(元)
题型六：封面设计问题
第1题【答案】上下边衬宽约1.8cm,左右边衬宽约为1.4cm 见详解
【详解】解：设上下边衬的宽均为9xcm，则左右边衬均为7xcm.
本书的封面长为27cm,宽为21cm，∴中央矩形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm,
中央矩形的面积为(27-18x)(21-14x)cm2由题意,得(27-18x)(21-14x)=（1-）x27x21
解得x1= ；x1= (不符合题意舍去)
∴上下边衬的宽为:9x = ≈1.8(cm)
左右边衬的宽为:7x = ≈1.4(cm)
第2题【答案】 见详解
【详解】解：设镜框边的宽度为cm，镜面的宽为(22+x)cm，镜面的长为(29+x)cm，
根据题意，得 (29+x)(22+x)-29x22=×29×22
第3题【答案】 4cm 见详解
【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm，
依题意得：(19-2x)·(15-2x)=77，整理得出:x2-17x+52=0，（x-4）(x-13)=0
解得:x1=13(不合题意舍去)，x2=4，答:剪去的小正方形的边长为4cm.
第4题【答案】长方形铁皮的长为40cm，宽为20cm
【详解】解：设长方形铁皮的宽为xcm，则长为2xcm，根据题意可得(2x-8)(x-8)x4=1536，整理得x2-12x-160=0，解得x1=20或x2=-8(舍去)，所以2x=40.
所以长方形铁皮的长为40cm，宽为20cm.
第5题【答案】台布的长和宽分别是8m和6m
【详解】解：设台布各边垂下的长度是xm，依题意得:(6+2x)(4+2x)=2x4x6，
解得x1=-6(不合题意，舍去)，X2=1所以6+2x=8; 4+2x=6.
答:这块台布的长和宽分别是8m和6m.
第6题【答案】C
【详解】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米，
根据题意得:(20-x)(32-x)=540
第7题【答案】C
【详解】解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm
由题意得: ; 解得： ∴其中一个小长方形的面积为40x10=400(cm)
第8题【答案】C
【详解】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得:
(②-①)÷3，得: y-x+1=0,∴x=y+1③.
将③代入②，得:y(y+1)=16+3(y-4)+11,整理，得: y2-2y-15=0，解得:y1=5，y2=-3(舍去)，
∴x = 6。所以按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：
(x-4)(y-3)+(x-3)(y-4)=2x2+3x1=7；故选:C.
第9题【答案】2米
【详解】解：设道路的宽为x米
由题意得(40-2x)(26-x)=144x6化简得x2-46x+88=0，（x-2）(x-44）=0, 解得.x1=2,x2=44，
∵44>40,不合题意,故舍去，所以道路的宽为2米
【点睛】求有多条小路面积的时候，可将小路通过左右平移、上下平移到边界，使剩余的面积组成一个规则的矩形来求，根据剩余面积与总面积的关系列方程求解即可，运用转化思想。
第10题【答案】横条宽1.8cm，竖条宽1.2cm
【详解】解：设竖条的宽度是2xcm，横条的宽度是3xcm，
则: (20-6x) (30-4x) =x20x30,整理得：12x2-130x+75=0；解得x1≈0.61，x2≈10.2(舍去)，∴3x0.61≈1.8cm，2x0.61≈1.2cm.所以横条宽1.8cm，竖条宽1.2cm.
题型七：几何图形面积问题（高频考点）
经典例题（基础题）
第1题【答案】两条直角边的长分别为6，8.
【详解】解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为(14-x)cm,
由题意得：x(14-x)= 24,解得x1=6，x2=8，当x1=6时，14-x=8;当x2=8时，14-x=6;
答:两条直角边的长分别为6，8.
第2题【答案】4 cm
【详解】解：设菱形的一条对角线的长为xcm，则另一条对角线的长为(10-x)cm，
菱形的面积可表示为x(10-x)，根据题意列方程，得 x(10-x)=12
解得，x1=4，x2=6;当x=4时，10-x=6(cm);当x=6时，10- x=4(cm).
所以菱形的两条对角线长为6cm和4cm.由菱形的性质和勾股定理，得菱形的边长为
= (cm)，所以这个菱形的周长为4 cm .
第3题【答案】这个两位数为36或63
【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(9-x),
依题意，得:x +(9-x) =45，整理，得:x2-9x+18=0，(x-3)（x-6）=0,解得:x1=3，x2=6.
当x=3时，这个两位数为63;当x=6时，这个两位数为36.故这个两位数为36或63.
第4题【答案】这个两位数为25或36
【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为x-3，根据题意可得: x2= 10(x-3)+x，
解得x1=5，X2=6.当x=5时，x-3=2，这个两位数是25;
当x=6时，x-3=3，这个两位数是36.
第5题【答案】见详解
【详解】解：设围成面积为75cm2的长方形的长为xcm，则宽为(40÷2-x)cm，
依题意得： x(40÷2-x)=75整理，得x2-20x+75=0; (x-5)(x-15)=0,解得:x1=5，x2=15
因为长方形的长＞宽，∴x=15，即这个长方形的长为15cm，则它的宽为5cm.
同理，设围成面积为101cm2的长方形的长为 ycm，依题意，得
y(40÷2-y)=101整理，得y2-20y+101=0；∵Δ=b -4ac=(-20)2-4x1x101=-4<0
∴此方程无解，故不能围成面积为101cm的长方形.
第6题【答案】15m，10m
【详解】解：设长方形养鸡场垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边的长为(35-2x)m，根据题意，得 x(35-2x)=150；2x2-35x+150=0，即（2x-15）(x-15）=0;
解得：x1=10，x2= 7.5；又∵ 35-2x≤ 18，∴x≥8.5，所以x=10，
所以长方形的另一边为:35-2x=35-2x10=15(m)，所以长方形的长和宽分别是15m，10m.
第7题【答案】10m
【详解】解：设BC边的长为xm，则AB=CD=m
根据题意得: ·x=120 ;整理得：x2-32x+240=0解得:x1=12，x2=20，∵20>16
∴x2=20不合题意，舍去，所以x=12m,所以AB=10m.
第8题【答案】15m
【详解】解：设AB=xm，则BC=(60-2x)m ; 依题意得:x(60-2x)=450，整理得:x2-30x+225=0，(x-15)2=0;解得:x1=x2=15.故答案为:15.
经典例题（培优题）
第1题【答案】(1) (x-12);(2) 20或16
【详解】解：(1)因为甲和乙为正方形，结合图形可得丙的长为:(x-12)m.
同样乙的边长也为(x-12)m,故答案是:(x-12);
(2)结合(1)得，丙的宽为(24-x)，所以列方程得，(x-12)(24-x)=32;
整理得：x2-36x+320=0, 即（x-20）(x-16)=0,解方程得: x1=20，x2=16.
第2题【答案】(1) (48-3x);(2) 10
【详解】解：(1)由题意得:(48-3x)米。
(2)由题意得:x(48-3x)=180，整理得：x2-16x+60=0;即（x-6）(x-10）=0
解得: x1=6,x2=10 又∵，解得:7≤x≤15，所以x=10
第3题【答案】(1) (48-3x);(2) 花圃的长为12米，宽为6米
【详解】解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成x平方米，则7天后每天完成1.5x平方米，
根据题意得: =4,解得:x=2000，经检验，x=2000是原方程的解，
答:该绿化工程原计划每天完成2000平方米的绿化任务;
(2)设花圃的宽度为AB=x米，则 BC=28+2-3x=(30-3x)米; 根据题意得：(30-3x)x=72，
整理得：x2-10x+24=0,即（x-4）(x-6)=0; 解得:x1=4，x2=6.
当x=4时，∵30-3x=18>16，不符合题意，舍去，所以宽为6米，长为12米
题型八：动点问题 (转化思想+分类讨论思想)
第1题【答案】1s或2s
【详解】解：设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，依题意得：
(6-2x)·3x=6；整理得：x2-3x+2=0,即（x-1）(x-2）=0
解得:x1=1，x2=2.故经过1秒或2秒时间，△PBQ的面积为6平方厘米.
第2题【答案】9s或12s时P、Q相距15cm，ΔPCQ的面积不能等于60平方厘米.
【详解】（1）解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，依题意，得:t +(21-t)2=15 ，
整理得：2t2-42t+216=0,即t2-21t+108=0;即（t-9）(t-12)=0
解得:t1=9，t2=12,所以运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米
（2）ΔPCQ的面积不能等于60平方厘米，理由如下:
设运动x秒时，△PCQ的面积等于60平方厘米，依题意得:x(21-x)=60，
整理得:x2-21x+120=0，∵Δ=(-21)2-4x1x120=-39<0；原方程无解，
即ΔPCQ的面积不能等于60平方厘米.
第3题【答案】（1）3秒后,点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍.（2）4秒后ΔDPQ的面积为24cm2
【详解】解：(1)设t秒后,点P、D的距离是点 P、Q 距离的2 倍，即PD=2PQ.
∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴PD2=AP2+AD2, PQ =BP +BQ
∵PD=2PQ，所以PD =4PQ ，即82+(2t)2=4[(10-2t)2+t2];整理得：t2-10t+21=0
即（t-3）(t-7)=0;解得t=3，t=7..当t=7时，∵10-2t<0，故t=7舍去，所以t=3.
故3秒后,点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍.
(2)设x秒后，ΔDPQ的面积是24cm ，即 x8x2x+ (10-2x)·x十 (8-x)x10=80-24，
整理得：x2-8x+16=0，解得：x1=x2=4。
第4题【答案】（1）5秒（2）秒
【详解】解：当运动时间为5秒时，PB=AB-AP=(16-3t)cm，CQ=2tcm.
(1)依题意，四边形PBCQ为梯形，则 (2t+16-3t)x6=33,即(16-t)x6=66，所以t=5.
所以P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形 PBCQ的面积为33cm2.
(2)如图，过点Q作QM⊥AB于点M，得矩形 BCQM和RtΔPQM，则 BM=CQ=2tcm.
∵在Rt△PQM中，∠PMQ=90°，PM=PB-BM=|16-3t-2t|=|16-5t| cm
MQ=BC=6cm，PQ=10cm,由勾股定理得：PM + MQ =PQ ,
即(16-5t) +62=102；即(16-5t)2=64,∴16-5t=士8，
16-5t=8或16-5t=-8，解得： t1=，t2= (不合题意，舍去)，
∴P、Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm.
第5题【答案】（1）点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm;
（2）运动7s时，ΔAPQ的面积能等于22cm .
【详解】解：(1)点P从开始到运动停止用的时间为(12+6)÷2=9s，
点Q从开始到运动停止用的时间为:(6+12)÷1=18s,∵9<18，只要有一点到达终点，
则另一点运动立即停止，所以点P先到终点，此时点Q离终点的距离是:(6+12)-1x9=9cm，
答:点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm;
(2)在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm ，分类讨论：
（1）当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as，
假设△APQ的面积能等于22cm2，即 12x6--- =22
整理得：a2-6a+14=0,∵Δ=（-6）2-4×1×14＜0，所以此方程无解;
（2）当点P从C运动到D的过程中，设点P运动的时间为(b+6)s，
假设ΔAPQ的面积能等于22cm2，即12x6--=22
整理得：b2-15b+14=0; (b-1)(b-14)=0; 解得: b1=1，b2=14(舍去)，
即需运动6+1=7s，ΔAPQ的面积能等于22cm .