2022-2023学年人教版九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程 常考易错习题检测 （含解析）

2022-2023人教版九年级数学上册第二十一章
21.3实际问题与一元二次方程 常考易错习题检测 （附带答案）
一．选择题（共10小题）
1．小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为x，根据题意列出方程得（　　）
A．234（1+x）2＝345 B．234（1﹣2x）＝345
C．234（1+2x）＝345 D．234（1﹣x）2＝345
2．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，据统计，该店2021年第四季度的“冰墩墩”总销售额为9.93万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．3（1+x）2＝9.93 B．3+3（1+x）2＝9.93
C．3+3x+3（1+x）2＝9.93 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝9.93
3．如图，在宽为20m，长为38m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．（20﹣x）（38﹣x）＝540
B．（20﹣x）（38﹣x）＝38×20﹣540
C．（20﹣2x）（38﹣2x）＝540
D．（20﹣2x）（38﹣2x）＝38×20﹣540
4．某小区原有一块长为50米，宽为40米的矩形健身场地，现计划在场内沿四周铺一圈宽度相等的小路，使小路所占的面积是原面积的，设这条小路的宽度为x米，则所列方程正确的是（　　）
A．2（50x+40x）＝50×40×
B．（50﹣x）（40﹣x）＝50×40×
C．（50+2x）（40+2x）＝50×40×
D．（50﹣2x）（40﹣2x）＝50×40×
5．某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设参赛队数为x，列方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．2x（x﹣1）＝21 D．x（x+1）＝21
6．空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（　　）
A．若a＝16，S＝196，则有一种围法 B．若a＝20，S＝198，则有一种围法
C．若a＝24，S＝198，则有两种围法 D．若a＝24，S＝200，则有一种围法
7．在我市组织的一次青少年足球比赛预赛中，每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，则参赛队个数是（　　）
A．7 B．8 C．12 D．14
8．下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息，可列方程为（　　）
月份 1 2 3 4 5
收入/万元 10 12 14
A．10（1+x）2＝12﹣10 B．10（1+x）2＝12
C．10（1+x）（1+2x）＝12 D．10（1+x）3＝14
9．一种病毒每轮传播的人数为x．若某人被感染后，未经有效防护，经过两轮传播共感染了144人，则x为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
10．如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若该无盖盒子的底面积为900cm2，盒子的容积是（　　）
A．3600cm3 B．4000cm3 C．4500cm3 D．9000cm3
二．填空题（共5小题）
11．一花户，有25m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为100m2长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一下1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为 　 　．
12．有一张长方形桌子的桌面长100cm，宽60cm．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设垂下的长度为x（cm），根据题意可列方程为 　 　．
13．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱，如果要使每天销售饮料获利1400元，设每箱应降价x元，则可列方程为 　 　．
14．有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病，按此传播速度，经过3轮传染后共有 　 　只鸡受到传染．
15．某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 　 　元．
三．解答题（共5小题）
16．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：　 　．
小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：　 　．
（2）请写出一种完整的解答过程．
17．某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图1、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．
请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．
①甲方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为600平方米．
②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米．
③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．
18．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：
（1）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长；
（2）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．
19．某公司为了提高公司经济效益，进行了科技攻关．最近研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为45万元时，年销售量为550台；每台售价为50万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于65万元，如果该公司想获得12000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
20．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动．
（1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2？
（2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：根据题意，得234（1+x）2＝345，
故选：A．
2．【解答】解：根据题意，得3+3（1+x）+3（1+x）2＝9.93．
故选：D．
3．【解答】解：∵小路宽为xm，
∴种植草坪的部分可合成长为（38﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
依题意得：（20﹣x）（38﹣x）＝540．
故选：A．
4．【解答】解：∵这条小路的宽度为x米，
∴小路围起来的部分是长为（50﹣2x）米、宽为（40﹣2x）米的矩形．
依题意得：（50﹣2x）（40﹣2x）＝50×40×（1﹣）．
故选：D．
5．【解答】解：根据题意，得，
故选：B．
6．【解答】解：如图，设矩形ABCD的边AB为x米，则宽BC为（40﹣2x）米，
根据题意得：S＝（40﹣2x）x＝﹣2x2+40x，
A、当a＝16，S＝196时，﹣2x2+40x＝196，即x2﹣20x+98＝0．
解得x1＝10+，x2＝10﹣，均符合题意，
所以图1有两种围法，故本选项说法错误，符合题意；
B、当a＝20，S＝198时，﹣2x2+40x＝198，即x2﹣20x+99＝0．
解得x1＝9（不符合题意舍去），x2＝11，
所以有一种围法，故本选项说法正确，不符合题意；
C、当a＝24，S＝198时，﹣2x2+40x＝198，即x2﹣20x+99＝0．
解得x1＝11，x2＝9，均符合题意，
所以有两种围法，故本选项说法正确，不符合题意；
D、当a＝24，S＝200时，﹣2x2+40x＝200，即x2﹣20x+100＝0．
解得x1＝x2＝10，符合题意，
所以有一种围法，故本选项说法正确，不符合题意；
故选：A．
7．【解答】解：设共有x支队伍参赛，
依题意得：x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去），
∴共有8支队伍参赛．
故选：B．
8．【解答】解：依题意得：10（1+x）2＝12．
故选：B．
9．【解答】解：根据题意得：
1+x+x（x+1）＝144，
解得x1＝11，x2＝﹣13（舍去），
故选：A．
10．【解答】解：设剪掉的正方形的边长为xcm，则做成的无盖盒子的底面为长（40﹣2x）cm的正方形，
依题意得：（40﹣2x）2＝900，
解得：x1＝5，x2＝35（不合题意，舍去），
∴盒子的容积为900×5＝4500（cm3）．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m，
根据题意得：x（26﹣2x）＝100．
故答案为：x（26﹣2x）＝100．
12．【解答】解：∵垂下的长度为xcm，
∴台布的长为（100+2x）cm，宽为（60+2x）cm，
又∵台布的面积是桌面面积的2倍，
∴（100+2x）（60+2x）＝2×100×60．
故答案为：（100+2x）（60+2x）＝2×100×60．
13．【解答】解：设每箱应降价x元，商场日销售量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12﹣x）元；
依据题意列方程得，
（12﹣x）（100+20x）＝1400，
故答案为：（12﹣x）（100+20x）＝1400．
14．【解答】解：设每轮传染中1只鸡传染x只鸡，则第一轮传染中有x只鸡被传染，第二种传染中有x（1+x）只鸡被传染，
依题意得：1+x+x（1+x）＝81，
整理得：（1+x）2＝81，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不符合题意，舍去），
∴81+81x＝81+81×8＝729，
∴经过3轮传染后共有729只鸡受到传染．
故答案为：729．
15．【解答】解：设售价为x元，
根据题意得：（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000，
解得：x＝50或x＝80，
从消费者的角度考虑，
x＝80舍去，
答：这种台灯的售价应定为50元．
故答案为：50．
三．解答题（共5小题）
16．【解答】解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，
依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；
小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，
依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．
故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．
（2）选择小明的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，
整理，得：x2﹣200x+7500＝0，
解得：x1＝50，x2＝150，
∴1100﹣x＝1050或950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，
整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，
解得：y1＝1050，y2＝950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
17．【解答】解：①设道路的宽为x米．依题意得：
（35﹣2x）（20﹣2x）＝600；
②设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣x）（20﹣x）＝600；
③设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）＝540．
18．【解答】解：（1）设其中一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为（14﹣x）cm，
根据题意得x（14﹣x）＝24，
整理得x2﹣14x+48＝0．
（2）设十位数字为x，则个位数字为x+3，百位数字为x+2，
根据题意得：9[（x+3）2+x2+（x+2）2]﹣[100（x+2）+10x+（x+3）]＝﹣20，
化简得9x2﹣7x﹣22＝0．
19．【解答】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（45，550）、（50，500）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
故年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝12000，
整理，得：x2﹣130x+4200＝0，
解得：x1＝60，x2＝70．
∵此设备的销售单价不得高于65万元，
∴x＝60．
答：该设备的销售单价应是60万元/台．
20．【解答】解：当运动时间为ts时，AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）依题意得：（5﹣t）×2t＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4，
当t＝1时，2t＝2×1＝2＜7，符合题意；
当t＝4时，2t＝2×4＝8＞7，不符合题意，舍去．
答：1s后，△PBQ的面积为4cm2．
（2）依题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝25，
整理得：t2﹣2t＝0，
解得：t1＝0（不符合题意，舍去），t2＝2．
答：2s后，PQ的长度为5cm