2022-2023学年人教版八年级数学上册11.2与三角形有关的角 常考习题检测（含解析）

2022-2023人教版八年级数学上册第十一章
11.2与三角形有关的角 常考习题检测（附带答案）
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝100°，则∠C＝（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝125°，则∠A的度数为（　　）
A．70° B．80° C．90° D．55°
3．如图，在△ABC中，∠BCA＝40°，∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高，与角平分线AE相交于点O，则∠EOF的度数为（　　）
A．130° B．70° C．110 D．100°
4．已知直线l1∥l2，将一块直角三角板ABC（其中∠A是30°，∠C是60°）按如图所示方式放置，若∠1＝84°，则∠2等于（　　）
A．56° B．64° C．66° D．76°
5．如图，直线AB∥CD，如果∠EFB＝31°，∠END＝70°，那么∠E的度数是（　　）
A．31° B．40° C．39° D．70°
6．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于（　　）
A．105° B．115° C．120° D．135°
7．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于（　　）
A．105° B．115° C．120° D．125°
8．在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．25° B．55° C．65° D．75°
9．如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
10．如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正确的是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AE，AD分别是角平分线和高，则∠DAE的度数是 　 　．
12．如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连结GF，ED．则∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为 　 　．
13．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，则∠1+∠2＝　 　．
14．如图，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若∠A＝32°，则∠BCD＝　 　°．
三．解答题（共5小题）
16．下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
方法一 证明：如图，过点A作DE∥BC． 方法二 证明：如图，过点C作CD∥AB．
17．如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠B＝58°，AD平分∠CAB．求∠CAD和∠1的度数．
18．已知：如图，三角形ABC中，AC⊥BC．F是边AC上的点，连接BF，作EF∥BC且交AB于点E．过点E作DE⊥EF，交BF于点D．
求证：∠1+∠2＝180°．
下面是证明过程，请在横线上填上适当的推理结论或推理依据．
证明：
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝90°（垂直的定义）．
∵EF∥BC（已知），
∴∠AFE＝　 　＝90°（ 　 　）．
∵DE⊥EF（已知），
∴∠DEF＝90°（垂直的定义）．
∴∠AFE＝∠DEF（等量代换），
∴　 　∥　 　（ 　 　）．
∴∠2＝∠EDF（ 　 　）．
又∵∠EDF+∠1＝180°（邻补角互补），
∴∠1+∠2＝180°（等量代换）．
19．如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）DE与AC平行吗？请说明理由；
（2）若∠BAC＝105°，∠B＝35°，求∠DEF的度数．
20．如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD．
（1）如图1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度数；
（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），则∠CFE＝　 　；（用α、β表示）
（3）如图2，（2）中的结论还成立么？请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，∠B＝100°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，
故选：D．
2．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴设∠ABO＝∠CBO＝α，∠ACO＝∠BCO＝β，
则有：
α+β+∠O＝180°，2α+2β+∠A＝180°，
∴α+β＝180°﹣∠O且α+β＝，
∴180°﹣∠O＝，
解得：∠A＝70°，
故选：A．
3．【解答】解：∵∠BCA＝40°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BCA﹣∠ABC
＝180°﹣40°﹣60°
＝80°．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝40°．
∵BF是△ABC的高，
∴∠BFA＝90°．
∴∠AOF＝90°﹣∠EAC
＝90°﹣40°
＝50°．
∴∠EOF＝180°﹣∠AOF
＝180°﹣50°
＝130°．
故选：A．
4．【解答】解：∵∠3+∠4+∠A＝180°，∠A＝30°，∠4＝∠1＝84°，
∴∠3＝180°﹣∠A﹣∠4＝180°﹣30°﹣84°＝66°．
又∵直线l1∥l2，
∴∠2＝∠3＝66°．
故选：C．
5．【解答】解：∵直线AB∥CD，
∴∠EMB＝∠END＝70°，
∵∠EFB＝31°，∠EMB＝∠E+∠EFB，
∴∠E＝70°﹣31°＝39°，
故选：C．
6．【解答】解：如图，
由题意得：∠ABG＝90°，
∵∠G＝30°，
∴∠BFG＝180°﹣∠ABG﹣∠G＝60°，
∴∠AFH＝∠BFG＝60°，
∵∠α是△AFH的外角，∠A＝45°，
∴∠α＝∠A+∠AFH＝105°，
故选：A．
7．【解答】解：如图，
∵∠α是△BDC的外角，∠D＝60°，∠BCD＝45°，
∴∠α＝∠D+∠BCD＝60°+45°＝105°，
故选：A．
8．【解答】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，
∴另一个锐角的度数是90°﹣25°＝65°．
故选：C．
9．【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°，
∴∠A＝70°．
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠EDF＝360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD＝110°．
故选：C．
10．【解答】解：设BD交FH于点J．
①∵BD⊥FD，
∴∠FJD+∠F＝90°
∵FH⊥BE，
∴∠BJG+∠DBE＝90°，
∵∠FJD＝∠BJG，
∴∠DBE＝∠F，
①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，
②正确；
③∠ABD＝90°﹣∠BAC，
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
③正确；
④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠FEB，
∴∠BGH＝∠ABE+∠C，
④正确，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠BAC＝40°，
又∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝50°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣40°＝10°．
故答案为：10°．
12．【解答】解：∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∵∠GCF＝∠ACB，∠DBE＝∠ABC，
∴∠GCF+∠DBE＝90°，
∵∠G+∠F+∠GCF＝∠D+∠B+∠DBE＝180°，
∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE＝360°，
∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED＝270°，
故答案为：270°．
13．【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
故答案为：270°．
14．【解答】解：∵∠A＝20°，∠C＝50°，
∴∠AEB＝∠A+∠C＝70°，
∵∠B＝40°，
∴∠ADB＝∠AEB+∠B＝70°+40°＝110°，
故答案为：110°．
15．【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝32°，
故答案为：32．
三．解答题（共5小题）
16．【解答】证明：方法一：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；
方法二：∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠B+∠ACB+∠A＝180°．
17．【解答】解：∵∠C＝30°，∠B＝58°，
∴∠CAB＝180°﹣30°﹣58°＝92°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠CAB＝46°；
∵∠CAD＝46°，∠C＝30°，
∴∠1＝∠CAD+∠C＝46°+30°＝76°．
18．【解答】证明：∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝90°（垂线的定义）．
∵EF∥BC（已知），
∴∠AFE＝∠ACB＝90°（两直线平行，同位角相等）．
∵DE⊥EF（已知），
∴∠DEF＝90°（垂线的定义）．
∴∠AFE＝∠DEF（等量代换）．
∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠EDF（两直线平行，内错角相等）．
∵∠EDF+∠1＝180°（邻补角互补），
∴∠1+∠2＝180°（等量代换）．
故答案为：∠ACB；两直线平行，同位角相等；DE；AC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等，
19．【解答】解：（1）DE∥AC．
理由如下：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴DE∥AC；
（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠C＝180°﹣105°﹣35°＝40°，
∵DE∥AC，
∴∠EDF＝∠C＝40°，
∵EF⊥BD，
∴∠EFD＝90°，
∴∠DEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣40°＝50°．
20．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°
∴∠BAE＝60°
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∵CF∥AD，∠B＝α，∠ACB＝β，
∴∠CFE＝∠DAE＝20°；
（2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠ACB），
∵CF∥AD，
∴∠CFE＝∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠BCA）＝（∠ACB﹣∠B）＝β﹣α，
故答案为：β﹣α；
（3）（2）中的结论成立．
∵∠B＝α，∠ACB＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝90°﹣α﹣β，
∵CF∥AD，
∴∠ACF＝∠DAC＝90°﹣α﹣β，
∴∠BCF＝β+90°﹣α﹣β＝90°﹣α+β，
∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝90°+α﹣β，
∵AE⊥BC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠ECF＝β﹣α；