2022-2023学年苏科版数学八年级上册1.3 探索三角形全等的条件 同步练习（含解析）

阶段练习：1.3.6运用SAS、ASA、AAS、SSS判定两个三角形全等（1）
-2022-2023学年苏科版数学八年级上册
一、选择题
1、（2022·辽宁营口·八年级期末）如图，AC=DC，∠BCE=∠DCA，要使△ABC≌△DEC，不能添加下列选项中的（ ）
A．∠A=∠D B．BC=EC C．AB=DE D．∠B=∠E
(2题图) （3题图） （4题图）
2、如图，点，，，在同一条直线上，点，在直线的两侧，，，添加下列哪个条件后，仍不能判定出（ ）
A． B． C． D．
3、（2021秋 鼓楼区校级月考）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4、（2022·宁夏固原·八年级期末）如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不是
5、在和中，条件：①；②；③；④；⑤；⑥；则下列各组给出的条件不能保证的是（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．②⑤⑥ D．①③⑤
6、（2021秋 北海期末）把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．求不出来
（6题图） （7题图） （8题图） （9题图）
7、如图，△ABC和△AED共顶点A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠E． BC交AD于M，DE交AC于N，甲说：“一定有△ABC≌△AED．”乙说：“△ABM≌△AEN．”那么（ ）
A．甲、乙都对 B．甲、乙都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对、乙对
8、如图,已知AB=AE,AC=AD,下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是(　　)
A．BC=ED B．∠BAD=∠EAC C．∠B=∠E D．∠BAC=∠EAD
9、如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE＝DF，则图中全等的三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10、如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2EC，给出下列四个结论：
①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF，其中正确的结论共有( )
A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①②③④
（10题图） （11题图） （12题图） （13题图）
二、填空题
11、（2022·宁夏·吴忠市第四中学八年级期末）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是_______________（填3种答案）
12、（2020秋 梁溪区校级期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第　　块．
13、（2022·全国·八年级）如图，已知，根据“SSS”，还需要一个条件________，可证明．
14、（2022·宁夏·吴忠市第四中学八年级期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半轻作弧，分别交AB、BC于点D、 E
②分别以点D、E为圆心，大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线B即F交MC于点G．
如果AB=8， BC=12． △ABG 的面积为16，则△CBG的面积为 ________ ．
（14题图） （15题图） （16题图）
15、（2022·江苏·泰州市海陵学校八年级期末）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为______.
16、（2022·全国·八年级）平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠BPD的度数为__________
17、（2021·上海·青浦区实验中学七年级期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°．
（17题图） （18题图）
18、如图，已知AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE，且∠CAD＝10°，∠EAB＝120°，直线BC与AD、DE分别交于点F、G，则∠DGB的度数为________．
三、解答题
19、（2022 姑苏区一模）如图，点D在射线AE上，BD＝CD，DE平分∠BDC．求证：AB＝AC．
20、（2020秋 常州期末）已知：如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB+∠D＝180°．
求证：△ABC≌△EAD．
21、（2020春 江阴市期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
22、（2021春 宣汉县期末）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
23、（2022·江西上饶·八年级期末）如图，已知五边形ABCDE的各边都相等，各内角也都相等，点F、G分别在边BC、CD上，且FC=GD．
(1)求证：ΔCDF ≌ ΔDEG；
(2)求∠EHF的大小．
24、（2022·江西赣州·八年级期末）如图，，点在上．
（1）求证：平分；（2）求证：．
25、（2022·全国·八年级阶段练习）如图，在△ABC与△ABD中，AC = BD，且CE = DE，AE = BE，AD与BC交于点E．
（1）求证：△ACE ≌ △BDE；
（2）若AC = 3，BC = 5，求△ACE的周长．
26、（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．
(1)观察猜想：①AE与BD的数量关系为______ ； ②∠APD的度数为______；
(2)数学思考：如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
27、（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，于点C，于点G，由（1）易知_______，与直线l交于点P，求证：．
阶段练习：1.3.6运用SAS、ASA、AAS、SSS判定两个三角形全等（1）
-2022-2023学年苏科版数学八年级上册
一、选择题
1、（2022·辽宁营口·八年级期末）如图，AC=DC，∠BCE=∠DCA，要使△ABC≌△DEC，不能添加下列选项中的（ ）
A．∠A=∠D B．BC=EC C．AB=DE D．∠B=∠E
【解析】根据已知条件可得，即，
∵AC=DC，∴已知三角形一角和角的一边，根据全等条件可得：
A. ∠A=∠D，可根据ASA证明，A正确； B. BC=EC，可根据SAS证明，B正确；
C. AB=DE，不能证明，C故错误； D. ∠B=∠E，根据AAS证明，D正确；
故选：C．
2、如图，点，，，在同一条直线上，点，在直线的两侧，，，添加下列哪个条件后，仍不能判定出（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：，，
，，即，
当添加，即时，可根据“”判断；
当添加时，可根据“”判断；
当添加时，可根据“”判断．
故选：．
3、（2021秋 鼓楼区校级月考）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【解析】∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
4、（2022·宁夏固原·八年级期末）如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不是
解：甲三角形夹b边的两角分别与已知三角形对应相等，故根据ASA可判定甲与△ABC全等；
乙三角形50°内角及所对边与△ABC对应相等且均有70°内角，可根据AAS判定乙与△ABC全等；
则与△ABC全等的有乙和甲， 故选：C．
5、在和中，条件：①；②；③；④；⑤；⑥；则下列各组给出的条件不能保证的是（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．②⑤⑥ D．①③⑤
【答案】D
解：A、①②③可以利用“SSS”证明△ABC≌△DEF，故本选项不符合；
B、①②⑤可以利用“SAS”证明△ABC≌△DEF，故本选项不符合；
C、②⑤⑥可以利用“AAS”证明△ABC≌△DEF，故本选项不符合；
D、①③⑤符合“SSA”，不能证明△ABC≌△DEF，故本选项符合．
故选：D．
6、（2021秋 北海期末）把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．求不出来
【解析】∵∠CEA＝∠ADB＝∠CAB＝90°，
∴∠ECA+∠EAC＝∠EAC+∠DAB＝∠DAB+∠DBA＝90°，∠ECA＝∠DAB，∠EAC＝∠DBA，
又AC＝AB，∴△AEC≌△BAD，
∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE＝3+5＝8．故选：C．
7、如图，△ABC和△AED共顶点A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠E． BC交AD于M，DE交AC于N，甲说：“一定有△ABC≌△AED．”乙说：“△ABM≌△AEN．”那么（ ）
A．甲、乙都对 B．甲、乙都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对、乙对
【答案】A
【详解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠MAC＝∠2+∠MAC，∴∠BAC＝∠EAD，
在△BAC和△EAD中，,∴△BAC≌△EAD，∴甲说的正确；
∵△BAC≌△EAD（AAS），∴AB=AE，
在△BAM和△EAN中，,∴△BAM≌△EAN（ASA），∴乙说的正确；
故选A．
8、如图,已知AB=AE,AC=AD,下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是(　　)
A．BC=ED B．∠BAD=∠EAC C．∠B=∠E D．∠BAC=∠EAD
【答案】C
解：A．∵AB=AE，AC=AD，BC=ED，∴△ABC≌△AED（SSS），故A不符合题意；
B． ∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAC=∠EAD．∵AB=AE，∠BAC=∠EAD ，AC=AD，
∴△ABC≌△AED（SAS），故B不符合题意；
C．不能判定△ABC≌△AED，故C符合题意．
D．∵AB=AE， ∠BAC=∠EAD，AC=AD，∴△ABC≌△AED（SAS），故D不符合题意．
故选C．
9、如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE＝DF，则图中全等的三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF，
∵BE=DF，∴BE+EF=DF+EF，∴BF=DE，
在△ADE和△CBF中∴△ADE≌△CBF（SSS），∴AD=BC，
在△ABD和△CDB中,∴△ABD≌△CDB（SSS），
即3对全等三角形，故选：C．
10、如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2EC，给出下列四个结论：
①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF，其中正确的结论共有( )
A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①②③④
【答案】D
【解析】∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2EC，∴AC=3EC=3BF，故④正确．
故选D．
二、填空题
11、（2022·宁夏·吴忠市第四中学八年级期末）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是_______________（填3种答案）
【解析】添加∠A=∠F;要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加夹角 ∠A=∠F，利用SAS可证全等；
或添加AC∥EF得夹角∠A=∠F，利用SAS可证全等；
或添加BC=DE，利用SSS可证全等．
12、（2020秋 梁溪区校级期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第　　块．
【解析】1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故答案为：2．
13、（2022·全国·八年级）如图，已知，根据“SSS”，还需要一个条件________，可证明．
【答案】（答案不唯一）
【详解】图形中隐含条件AB=BA，找出第三边BD和AC即可；
在△ABC和△BAD中 ，∴△ABC≌△BAD（SSS）
14、（2022·宁夏·吴忠市第四中学八年级期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半轻作弧，分别交AB、BC于点D、 E
②分别以点D、E为圆心，大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线B即F交MC于点G．
如果AB=8， BC=12． △ABG 的面积为16，则△CBG的面积为 ________ ．
解：如图，过点G作GM⊥AB于点G，GN⊥AC于点N．
由作图可知BG平分∠ABC，
∵GM⊥BA，GN⊥BC，∴GM＝GN，
∵＝AB·GM＝16，AB＝8，∴GM＝4，∴GN＝GM＝4，
∴＝BC·GN＝×12×4＝24，故答案为：24．
15、（2022·江苏·泰州市海陵学校八年级期末）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为______.
解：如图，根据方格纸的性质，
在△ABD和△CBE中，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠2=90°，∴=90°.故答案为：90°.
16、（2022·全国·八年级）平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠BPD的度数为__________
【详解】解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A＝∠B，∠BCE＝∠ACD，∴∠BCA＝∠ECD，
∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，∴∠BCA+∠ECD＝100°，∴∠BCA＝∠ECD＝50°，
∵∠ACE＝55°，∴∠ACD＝105°∴∠A+∠D＝75°，∴∠B+∠D＝75°，
∵∠BCD＝155°，∴∠BPD＝360°﹣75°﹣155°＝130°，
17、（2021·上海·青浦区实验中学七年级期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°．
【答案】47
【详解】解：在△ABC和△ADE中，，∴（SSS），
∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2，
∵，∴，∴． 故答案为：47．
18、如图，已知AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE，且∠CAD＝10°，∠EAB＝120°，直线BC与AD、DE分别交于点F、G，则∠DGB的度数为________．
解：∵AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE，∴△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D；
∵∠EAB=120°，∴∠DAE+∠CAD+∠BAC=120°，
∵∠CAD=10°，∴∠BAC=（120°-10°）=55°，∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=65°，
∵∠B=∠D，∠DFG=∠BFA，∴∠DGB=∠BAF =65°．
三、解答题
19、（2022 姑苏区一模）如图，点D在射线AE上，BD＝CD，DE平分∠BDC．求证：AB＝AC．
【分析】由“SAS”判定△ADC≌△ADB，得出AB＝AC即可．
【解答】证明：∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝∠CDE，∴∠ADB＝∠ADC，
在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（SAS），∴AB＝AC．
20、（2020秋 常州期末）已知：如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB+∠D＝180°．
求证：△ABC≌△EAD．
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E，
∵∠ECB+∠D＝180°，∠ECB+∠ACB＝180°，∴∠D＝∠ACB，
在△ABC与△EAD中，，∴△ABC≌△EAD（AAS）．
21、（2020春 江阴市期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
22、（2021春 宣汉县期末）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中;∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，
∵BE＝10m，BF＝3m，∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．
23、（2022·江西上饶·八年级期末）如图，已知五边形ABCDE的各边都相等，各内角也都相等，点F、G分别在边BC、CD上，且FC=GD．
(1)求证：ΔCDF ≌ ΔDEG；
(2)求∠EHF的大小．
(1)证明：在ΔCDF与ΔDEG中
∵五边形ABCDE的各边都相等，各内角也都相等，∴CD=DE，∠FCD=∠GDE
又∵FC=GD；在△CDF和△DEG中，，∴ΔCDF ≌ ΔDEG（SAS）；
(2)解：∵ΔCDF ≌ ΔDEG；∴∠FDC=∠GED
∴∠EHF=∠GED+∠HDE=∠FDC+∠HDE=∠CDE=
24、（2022·江西赣州·八年级期末）如图，，点在上．
（1）求证：平分；（2）求证：．
解：（1）在与中，∴;∴;即平分；
（2）由（1）
在与中，得;∴;∴
25、（2022·全国·八年级阶段练习）如图，在△ABC与△ABD中，AC = BD，且CE = DE，AE = BE，AD与BC交于点E．
（1）求证：△ACE ≌ △BDE；
（2）若AC = 3，BC = 5，求△ACE的周长．
【详解】证明：（1）在ACE和BDE中;∴ACE≌BDE
（2）∵AC = 3，BC = 5，AE = BE
∴ACE的周长为AC＋CE＋AE=AC＋CE＋BE=AC＋BC=8
26、（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．
(1)观察猜想：①AE与BD的数量关系为______ ； ②∠APD的度数为______；
(2)数学思考：如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
【答案】(1)①AE＝BD；②60°；(2)上述结论成立．∠APD＝60°，证明见解析
(1)解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，∴∠DCB=∠ACE，
∴△DCB≌△ACE，∴AE=BD，∠BDC=∠CAE，
又∵∠DOP=∠COA，∴∠APD=∠ACD=60°，故答案是：AE=BD，60°；
(2)上述结论成立，
∵△ACD，△BCE均为等边三角形，∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，
∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，
在△DCB和△ACE中，，
∴△DCB≌△ACE（SAS），∴DB＝AE， ∠CDB＝∠CAE，
如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等），
∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA，∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°．
27、（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，于点C，于点G，由（1）易知_______，与直线l交于点P，求证：．
（1）解：∵，∴AC=DE，BC=AE，故答案为DE，AE；
（2）证明：过D作DE⊥直线l于E，
∵，∴∠CAM+∠NAG=90°，
∵BM⊥l，∴∠MCA=90°，∴∠M+∠CAM=90°，∴∠M=∠NAG，
∵，∴∠AGN=90°，
在△MCA和△AGN中，，∴△MCA≌△AGN（AAS），∴AC=NG，
由（1）知，∴AC=DE，∴NG=DE，
在△NGP和△DEP中，，∴△NGP≌△DEP（AAS），∴NP=DP，
故答案为AC．