2022-2023学年人教版九年级数学上册 22.2二次函数与一元二次方程 同步达标测试 （含解析）

2022-2023学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的一个交点是（﹣1，0），那么抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（0，0） B．（3，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣3）
2．已知抛物线y＝mx2+4x+m+3开口向下，且与坐标轴的公共点有且只有2个，则m的值为（　　）
A．m＝﹣4 B．m＝﹣3或﹣4
C．m﹣3、﹣4、0或1 D．﹣4＜m＜0
3．已知关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个根为x1＝2，且二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴直线是x＝2，则抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（2，1） C．（2，3） D．（3，2）
4．如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（　　）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 …
A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1
5．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（　　）
A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
6．若有二次函数y＝ax2+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，函数值为（　　）
A．a+c B．a﹣c C．﹣c D．c
7．若二次函数y＝x2+bx+c的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，且过点（5，5），则关于x的方程x2+bx+c＝5的解为（　　）
A．x1＝0或x2＝4 B．x1＝1或x2＝5
C．x1＝﹣1或 x2＝5 D．x1＝1或x2＝﹣5
8．抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过A（﹣1，0），B（3，0）．则关于x的一元二次方程a（x﹣h﹣1）2+k＝0的解是（　　）
A．﹣1或3 B．﹣2或2 C．0或4 D．1或﹣3
9．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（　　）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（3，0）．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有（　　）
A．4 个 B．3 个 C．7 个 D．5 个
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为1和3，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线　 　．
12．抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是 　 　．
13．若抛物线y＝（m﹣1）x2+3mx+2m+1与坐标轴有2个公共点，则m的值是　 　．
14．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（4，0），则关于x的一元二次方程：a（x﹣h+3）2+k＝0的解为 　 　．
15．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为 　 　．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①抛物线与x轴一定有两个不同的交点；
②若抛物线经过点（﹣1，0），则b＝0；
③若b＝c，则方程ax2+bx+c＝0一定有根x＝﹣2；
④点A（x1，y1），B（x1，y1）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＞x2＞1时，y1＞y2．
其中正确的是 　 　（填写序号）．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．已知抛物线的顶点为（1，4），与x轴交于点（﹣1，0），求抛物线的解析式．
18．如图，利用函数y＝x2﹣4x+3的图象，直接回答：
（1）方程x2﹣4x+3＝0的解是 　 　．
（2）当x满足 　 　时，y随x的增大而增大．
（3）当x满足 　 　时，函数值大于0．
（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是 　 　．
19．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点为（0，3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出当y≤﹣1时x的取值范围．
20．已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）的图象如图所示．
（1）当m≠﹣4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）如图情况下，若|OA| |OB|＝6，求点C的坐标．
21．如图，抛物线y＝ax2+2ax﹣3交x轴于A（﹣3，0）、B两点，直线y＝kx交抛物线于C、D两点．
（1）直接写出：a＝　 　，B点的坐标为　 　；
（2）若OC＝OD，求k的值．
22．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣1．
（1）求证：点P在直线l上．
（2）若抛物线的对称轴为x＝﹣3，直接写出该抛物线的顶点坐标　 　，与x轴交点坐标为　 　．
（3）在（2）条件下，抛物线上点（﹣2，b）在图象上的对称点的坐标是　 　．
23．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）试说明x1＜0，x2＜0；
（3）若抛物线y＝x2﹣（2k﹣3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB＝2OA OB﹣3，求k的值．
24．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；
（3）已知抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：由抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）知，抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）和（﹣1，0），
故选：B．
2．解：∵函数是抛物线，
∴m≠0，
①若抛物线过原点时，与y轴总有一个交点（0，m+3），
则m+3＝0，即m＝﹣3，此时△＝16﹣4m（m+3）＝（m﹣1）（m+4）＞0，即符合题意；
②若抛物线不经过原点，则此时△＝（m﹣1）（m+4）＝0，
解得：m1＝1，m2＝﹣4，
∵已知抛物线y＝mx2+4x+m+3开口向下，
∴m＜0，
∴m＝﹣1舍去
综上所述，m的值可以是：﹣4，﹣3，
故选：B．
3．解：由二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴直线是x＝2可得：x＝2时，y＝4a+2b+c，
由方程ax2+bx+c＝3的一个根为x1＝2可得：4a+2b+c＝3，
∴y＝4a+2b+c＝3，即抛物线的顶点坐标是（2，3）．
故选：C．
4．解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在
﹣1＜x1＜0，
故选：C．
5．解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，如果b＝0，那么此二次函数与两坐标轴的其中一个交点重合了，那么就只有2个交点，则于题意不符，
∴，
解得b＜1且b≠0．
故选：A．
6．解：二次函数y＝ax2+c的对称轴是y轴，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，即以x1，x2为横坐标的点关于y轴对称，则x1+x2＝0，此时函数值为y＝ax2+c＝0+c＝c．
故选：D．
7．解：根据题意得抛物线的对称轴为直线x＝2，
则﹣＝2，解得b＝﹣4，
把（5，5）代入y＝x2﹣4x+c，得c＝0，
所以二次函数解析式为y＝x2﹣4x，
解方程x2﹣4x﹣5＝0得x1＝﹣1，x2＝5．
故选：C．
8．解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k向右平移一个单位长度后的函数解析式为y＝a（x﹣h﹣1）2+k，
∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0），（3，0）两点，
∴当a（x﹣h﹣1）2+k＝0的解是x1＝0，x2＝4，
故选：C．
9．解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示．
观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选：C．
10．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
解得b＝2a．
又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（3，0）．
把（3，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝9a+6a+c．
解得，c＝﹣15a．
∴y＝ax2+2ax﹣15a（a＜0）．
对称轴h＝﹣1，最大值k＝＝﹣16a．
如图所示，
顶点坐标为（﹣1，﹣16a），
令ax2+2ax﹣15a＝0，即x2+2x﹣15＝0．
解得x＝3或x＝﹣5．
∴当a＜0时，抛物线始终与x轴交于（﹣4，0）与（2，0），
∴ax2+bx+c＝p，即常函数直线y＝p，由p＞0，
∴0＜y≤﹣15a．
由图象得当0＜y≤﹣15a时，﹣5＜x＜3，其中x为整数时，x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．
∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）的整数解有7个．
又∵x＝﹣3与x＝1，x＝﹣4与x＝2，x＝﹣2与x＝0关于直线x＝﹣1轴对称
当x＝﹣1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有4个．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．解：∵ax2+bx+c＝0的两根分别是1和3，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点的横坐标为1和3，
∴对称轴为直线x＝＝2．
故答案是：x＝2．
12．解：根据函数图象可知：抛物线的对称轴为x＝1，抛物线与x轴一个交点的坐标为（3，0），
由抛物线的对称性可知：抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
∵y＜0，
∴x＜﹣1或x＞3．
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
13．解：①当2m+1≠0时，
抛物线和y轴一定有交点，
故抛物线y＝（m﹣1）x2+3mx+2m+1与坐标轴有2个公共点时，则该抛物线与x轴只有一个交点，
即△＝（3m）2﹣4（m﹣1）（2m+1）＝0，解得m＝﹣2，
②当2m+1＝0时，即m＝﹣时，y＝﹣x2﹣x，该抛物线和坐标轴有两个公共点；
故答案为﹣或﹣2．
14．解：∵抛物线y＝a（x﹣h+3）2+k是由抛物线线y＝a（x﹣h）2+k向左平移3个单位所得，且物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（4，0），
∴抛物线y＝a（x﹣h+3）2+k与x轴交点坐标为（﹣5，0），（1，0），
∴x1＝﹣5，x2＝1为方程a（x﹣h+3）2+k＝0的解，
故答案为：x1＝﹣5，x2＝1．
15．关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c变形为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0，
把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位得到y′＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c，
设y′′＝3，
当y′＝y′′时，即a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝3，即a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c，
即一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解转化为y′＝y′′的交点，
而平移前函数交点的横坐标为﹣1或2，向右平移2个单位后交点的横坐标为1或4
故答案为1或4．
16．解：∵当x＝1时，a+b+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，
∴抛物线与x轴一定有公共点，
且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故①不正确；
当抛物线过（﹣1，0）时，
a﹣b+c＝0，
∵a+b+c＝0，
两式相减得，2b＝0，
∴b＝0，
故②正确，
当b＝c时，由a+b+c＝0得，
a+2c＝0，
∴a＝﹣2c，
当x＝﹣2时，ax2+bx+c＝﹣8c﹣2b+c＝﹣8c﹣2c+c＝﹣9c≠0，
故③不正确，
∵0＜a＜c，
∴＞1，抛物线开口向上，
∴抛物线对称轴在点（1，1）右侧，
∵对称轴x＝﹣位置不确定，x1＞x2＞1跟对称轴的位置关系不确定，
∴y1和y2的大小无法确定，故④不正确．
故答案为：②．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∵抛物线过点（﹣1，0），
∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，
解得，a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4，
即抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4．
18．解：（1）由图象可得，
当y＝0时，x＝1或x＝3，
故方程x2﹣4x+3＝0的解是x1＝1，x2＝3，
故答案为：x1＝1，x2＝3；
（2）由图象可得，
当y＝0时，x＞＝2时，y随x的增大而增大，
故答案为：＞2；
（3）由图象可得，
当x＜1或x＞3时，函数值大于0，
故答案为：x＜1或x＞3；
（4）由图象可得，
函数y＝x2﹣4x+3的对称轴是直线x＝＝2，当x＝2时，该函数取得最小值﹣1，
∴当0＜x＜5时，x＝2取得最小值﹣1，x＝5时y的值为8，
即当0＜x＜5时，y的取值范围是﹣1≤y＜8，
故答案为：﹣1≤y＜8．
19．解：（1）把（﹣1，0）和（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当y＝﹣1时，﹣x2+2x+3＝﹣1，解得x1＝1+，x2＝1﹣，
当x≤1﹣或x≥1+时，y≤﹣1．
20．解：（1）∵△＝（m﹣2）2﹣4（﹣1） 3（m+1）＝（m+4）2＞0，
∴抛物线与x轴必有两个交点；
（2）设方程﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）＝0的两根为x1、x2，且x1＜0，x2＞0，
由图可知|OA|＝|x1|，|OB|＝|x2|，由|OA| |OB|＝6，可知x1x2＝﹣6，
根据根与系数的关系，可知﹣3（m+1）＝﹣6，
则m＝1，于是二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+6，
令y＝0，解方程﹣x2﹣x+6＝0，得x1＝﹣3，x2＝2，
所以点A的坐标是（﹣3，0），
点B的坐标是（2，0），
把x＝0代入y＝﹣x2﹣x+6，得y＝6，
所以C的坐标是（0，6）．
21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3交x轴于A（﹣3，0），
∴9a﹣6a﹣3＝0，
解得，a＝1，
∴y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），
∴当y＝0时，x＝﹣3或x＝1，
∴点B的坐标为（1，0），
故答案为：1，（1，0）；
（2），得
x2+（2﹣k）x﹣3＝0，
设x2+（2﹣k）x﹣3＝0的两个根为x1，x2，
则x1+x2＝k﹣2，
∵OC＝OD，
∴|x1|＝|x2|
由图象可得，x1＝﹣x2，
∴x1+x2＝0，
∴k﹣2＝0，
解得，k＝2．
22．解：
（1）证明：∵y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1＝（x﹣m）2+m﹣1，
∴点P的坐标为（m，m﹣1），
∵当x＝m时，y＝x﹣1＝m﹣1，
∴点P在直线l上；
（2）由（1）可知抛物线的对称轴为x＝m，
∵x＝﹣3，
∴m＝﹣3，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣3，﹣4），
设y＝0，则0＝x2+6x+5，
解得：x＝﹣5或﹣1，
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣5，0），（﹣1，0），
故答案为：（﹣3，﹣4），
（2）把点（﹣2，b）代入y＝x2+6x+5得：b＝﹣3，
∵抛物线对称轴为x＝﹣3，
∴（﹣2，﹣3）的对称点为（﹣4，﹣3），
故答案为：（﹣4，﹣3）．
23．解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）＞0，
即﹣12k+5＞0
∴．
（2）∵，
∴x1＜0，x2＜0．
（3）依题意，不妨设A（x1，0），B（x2，0）．
∴OA+OB＝|x1|+|x2|＝﹣（x1+x2）＝﹣（2k﹣3），
OA OB＝|﹣x1||x2|＝x1x2＝k2+1，
∵OA+OB＝2OA OB﹣3，
∴﹣（2k﹣3）＝2（k2+1）﹣3，
解得k1＝1，k2＝﹣2．
∵，
∴k＝﹣2．
24．（1）证明：①当k＝0时，方程为x+2＝0，所以x＝﹣2，方程有实数根，
②当k≠0时，∵Δ＝（2k+1）2﹣4k×2＝（2k﹣1）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：令y＝0，则kx2+（2k+1）x+2＝0，
解关于x的一元二次方程，得x1＝﹣2，x2＝﹣，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴k＝1．
∴该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，
由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．
（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y＝0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2＝0恒成立，
则，
解得或．
所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．