2022-2023学年度(上)淮滨县高效课堂同步课时练
九年级数学
专题专项专练之一元二次方程的解法+一元二次方程根的判别式的运用
(2022年09月08日)
【专题专项专练：一元二次方程的解法】
1．解下列方程：
(1)2(x＋1)2－8＝0.
解：2(x＋1)2＝8，
(x＋1)2＝4，
∴x1＝－3或x2＝1.
(2)x2－6x－9 991＝0.
解：x2－6x＝9 991.
x2－6x＋9＝10 000.
(x－3)2＝10 000.
x－3＝±100.
x1＝103，x2＝－97.
(3)(2021·常德)x2－x－2＝0.
解：(x－2)(x＋1)＝0.
∴x－2＝0或x＋1＝0.
∴x1＝2，x2＝－1.
(4)x(x＋1)－3x－3＝0.
解：x(x＋1)－3(x＋1)＝0，
(x＋1)(x－3)＝0，
∴x＋1＝0或x－3＝0.
∴x1＝－1，x2＝3.
(5)(2x＋1)(2x－1)＝2x.
解：原方程可化为4x2－2x－1＝0，
a＝4，b＝－2，c＝－1，
Δ＝b2－4ac＝8－4×4×(－1)＝24>0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝.
2．阅读下面的材料：
解方程x4－7x2＋12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，则x4＝y2.
∴原方程可化为y2－7y＋12＝0.
∵a＝1，b＝－7，c＝12，
∴Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×12＝1.
∴y＝＝.
解得y1＝3，y2＝4.
当y＝3时，x2＝3，x＝±.
当y＝4时，x2＝4，x＝±2.
∴原方程有四个根：x1＝，x2＝－，x3＝2，x4＝－2.
以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题．
(1)解方程：(x2＋x)2－5(x2＋x)＋4＝0.
(2)已知实数a，b满足(a2＋b2)2－3(a2＋b2)－10＝0，试求a2＋b2的值．
解：(1)设y＝x2＋x，则原方程整理为y2－5y＋4＝0，
∴(y－1)(y－4)＝0.
解得y1＝1，y2＝4.
当y＝x2＋x＝1，即x2＋x－1＝0时，
解得x＝.
当y＝x2＋x＝4，即x2＋x－4＝0时，
解得x＝.
综上所述，原方程的解为x1＝，x2＝，x3＝，x4＝.
(2)设x＝a2＋b2，则x2－3x－10＝0，且x>0.
∴(x－5)(x＋2)＝0.
解得x1＝5，x2＝－2(舍去)．
故a2＋b2＝5.
【专题专项专练：一元二次方程根的判别式的运用】
(2020·河南)定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为( A )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根
类型1 判断一元二次方程根的情况
1．(2019·河南)一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是( A )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．(2020·湖州)已知关于x的一元二次方程x2＋bx－1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是( A )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关
3．(2021·洛阳二模)对于一元二次方程x2－5x＋c＝0，当c＝时，方程有两个相等的实数根．若将c的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是( C )
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
4．(2021·烟台)已知关于x的一元二次方程x2－mnx＋m＋n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是( A )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
类型2 确定一元二次方程中字母的取值(范围)
5．(2021·河南)若方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的值可以是( D )
A．－1 B．0 C．1 D．
6．(2021·洛阳三模)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝1有两个实数根，则实数k的取值范围是( A )
A．k≤2 B．k≥2 C．k＜2 D．k＞2
7．(2021·郑州中原区期中)若关于x的方程(a－4)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足( A )
A．a≥0 B．a＞0且a≠4 C．a≥0且a≠4 D．a≠4
8．【数形结合思想】若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
9．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为( B )
A．6 B．5 C．4 D．32022-2023学年度(上)淮滨县高效课堂同步课时练
九年级数学
专题专项专练之一元二次方程的解法+一元二次方程根的判别式的运用
(2022年09月08日)
【专题专项专练：一元二次方程的解法】
1．解下列方程：
(1)2(x＋1)2－8＝0.
(2)x2－6x－9 991＝0.
(3)(2021·常德)x2－x－2＝0.
(4)x(x＋1)－3x－3＝0.
(5)(2x＋1)(2x－1)＝2x.
2．阅读下面的材料：
解方程x4－7x2＋12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，则x4＝y2.
∴原方程可化为y2－7y＋12＝0.
∵a＝1，b＝－7，c＝12，
∴Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×12＝1.
∴y＝＝.
解得y1＝3，y2＝4.
当y＝3时，x2＝3，x＝±.
当y＝4时，x2＝4，x＝±2.
∴原方程有四个根：x1＝，x2＝－，x3＝2，x4＝－2.
以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题．
(1)解方程：(x2＋x)2－5(x2＋x)＋4＝0.
(2)已知实数a，b满足(a2＋b2)2－3(a2＋b2)－10＝0，试求a2＋b2的值．
【专题专项专练：一元二次方程根的判别式的运用】
(2020·河南)定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根
类型1 判断一元二次方程根的情况
1．(2019·河南)一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．(2020·湖州)已知关于x的一元二次方程x2＋bx－1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关
3．(2021·洛阳二模)对于一元二次方程x2－5x＋c＝0，当c＝时，方程有两个相等的实数根．若将c的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是( )
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
4．(2021·烟台)已知关于x的一元二次方程x2－mnx＋m＋n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
类型2 确定一元二次方程中字母的取值(范围)
5．(2021·河南)若方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的值可以是( )
A．－1 B．0 C．1 D．
6．(2021·洛阳三模)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝1有两个实数根，则实数k的取值范围是( )
A．k≤2 B．k≥2 C．k＜2 D．k＞2
7．(2021·郑州中原区期中)若关于x的方程(a－4)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足( )
A．a≥0 B．a＞0且a≠4 C．a≥0且a≠4 D．a≠4
8．【数形结合思想】若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )
9．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
