2.4平面向量基本定理及坐标表示 北师大版（2019）高中数学必修第二册（含答案解析）

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2.4平面向量基本定理及坐标表示 北师大版（ 2019）高中数学必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
在平行四边形中，点满足，且是边中点，若交于点且，则( )
A. B. C. D.
如图，在中，线段，交于点，设向量，，则向量可以表示为( )
A. B. C. D.
已知中，，，，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
某人向东偏北方向走步，记为向量；向北偏西方向走步，记为向量；向正北方向走步，记为向量假设每步的步长都相等，则向量可表示为( )
A. B. C. D.
在等腰梯形中，，，是腰上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
设点的坐标为，是坐标原点，向量绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为( )
A. B.
C. D.
平面向量，其中，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
在中，点满足，当点在线段上不含点移动时，记，则．( )
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最小值为
下列四个命题为真命题的是( )
A. 已知平面向量，若，，则
B. 若，则可作为平面向量的基底
C. 若，则上的投影向量为
D. 若，则
已知为坐标原点，，，则( )
A. 与同方向的单位向量为
B. 若，则点的坐标为
C. 若，则
D. 若，则四边形为平行四边形
已知，，，，，那么( )
A. B. 若，则，
C. 若是中点，则，两点重合 D. 若点，，共线，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，，，若，则的值为 ．
如图，中点，，是线段上两个动点，且，则的最小值为______．
如图，在长方形中，，分别为线段，的中点，若，，，则的值为 ．
已知向量，，并且，同向，则，的值分别为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，．
用，分别表示向量，；
若，求实数的值．
本小题分
如图，在中，是的中点，是将分成的一个内分点，和交于点，设，．
用和表示向量，
若，求实数的值．
本小题分
如图所示，平行四边形中，，，，分别是，的中点，为上一点，且．
以，为基底表示向量与；
若，，与的夹角为，求．
本小题分
已知向量，，且．
求的值；
若，，且，求的值．
本小题分
已知，为一组单位基向量，且向量，．
若，其中，是方向分别与，轴正方向相同的单位向量，，求的值
若其中的为无理数，，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理的应用，也考查了运算与求解能力，是中档题．
根据题意画出图形，结合图形用、表示向量，即可求出、的值，即可得解．
【解答】
解：如图所示，平行四边形中，，是边中点，
则∽，不妨设，则，
所以
，
且，
所以，，
．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面向量基本定理的运用，以及三点共线的向量性质的运用，灵活运用定理是关键，属于中档题．
由图形知道，，三点共线，存在实数，使，由已知，，所以，同理可得，利用平面向量基本定理可得方程组解出、，得到选项．
【解答】
解：因为，，三点共线，
存在实数，使，
由已知，，所以，
同理
，
解得，
所以．
故本题选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的模长，考查平面向量知识点，属于中档题．
根据平面向量基本定理结合向量的几何意义，可得到为等腰直角三角形，由题可以得出点的范围，从而确定点的位置，得到所求结果．
【解答】
解：依题意，，故点到直线距离为，
所以，则为等腰直角三角形，斜边，
因为，，所以为上靠近的三等分点，
设为斜边上靠近的四等分点，为斜边上靠近的四等分点，
因为，，所以点在线段上运动，
当点在点处时，取得最小值，
在中，，，，由余弦定理得，
所以．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量共线定理与三点共线问题、向量的加减与数乘混合运算、由基本不等式求最值，属于中档题．
根据向量的加减与数乘混合运算，用向量、表示出向量，根据平面向量共线定理和、、三点共线，得到和之间的关系式，由基本不等式求出的最小值．
【解答】
解：，
，
，
，，
，
、、三点共线，
存在实数，使得，
，
，
，，
，
，，，，
，
当且仅当，即时等号成立，
的最小值为．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标运算，向量的加减运算，属中档题．
由题意建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可．
【解答】
解：如图，由步为单位长度，建立平面直角坐标系，
则，
，，
由可得，解得，
所以，
故选：

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的模的求法，结合了二次函数求最值的内容，属于中档题．
以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，用坐标表示出，即可求出．
【解答】
解：以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，
，，设，其中，
，，
，
，
当时，取最小值．
故答案选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，属于中档题．
由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，求得的坐标．
【解答】
解：根据题意，设，向量与轴正方向的夹角为，
又由点的坐标为，则，，
向量绕着点顺时针旋转后得到，则．
而，
，
故A的坐标为，
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量平行的坐标表示、利用基本不等式求最值等知识，属于基础题．
由题得到，代入到原式中，从而利用基本不等式求最小值．
【解答】
解：由向量，且，
得，即，则．
则，当且仅当，即，时取等号．
故的最小值为．
故本题选D．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量基本定理的应用，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
根据平面向量基本定理可得，于是，进而利用基本不等式可求出的最小值．
【解答】
解：因为，所以，
又，点在线段上移动，所以，
则，即，．
当且仅当时等号成立，所以的最小值为．
故选BC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的共线，考查了基底的概念，投影向量，向量的数量积，考查了投影向量，属于基础题．
利用向量的共线概念判断，利用基底的概念判断，计算出上的投影向量判断，由求出判断．
【解答】
解：对于，若，满足，，但不一定成立，故A为假命题；
对于，，，所以不共线，所以可作为平面向量的基底，故B为真命题；
对于，若，则上的投影向量为
， ，故C为真命题；
对于，，即，故D为真命题
故本题选BCD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了单位向量的定义，单位向量的求法，根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的数乘运算，相等向量的定义，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于中档题．
可求出，然后即可求出与同方向的单位向量，即可判断选项A的正误；可设，从而可得出：，从而可解出，，从而可得出的坐标，这样即可判断选项B的正误；根据和的坐标即可判断是否与平行，从而判断选项C的正误；可求出和的坐标，进而可判断是否等于，从而可判断四边形是否为平行四边形，从而判断选项D是否正确．
【解答】
解：．，，
与同方向的单位向量为：，该选项正确；
B.设，则：，
，解得，
，该选项错误；
C.，，该选项正确；
D.，，
且，
四边形为平行四边形，该选项正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算、考查向量平行和共线，属于一般题．
利用平面向量的坐标运算、考查向量平行和共线逐个判断即可．
【解答】
解： ，， ， ， ，
，， ，，
， ， ，
， ，故A正确，
若 ，则 ，推不出 ， ，故B错误，
， ， ， ，是中点，
， ，，
，解得： ， ，，两点重合，故C正确，
若点，，共线，则 ，
而 ，， ， ，
，， ，
且 ，
而时，，此时，两点重合，
，不一定是，故D错误，
故选AC．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量基本定理的运用、向量的加法及数量积的运算，属于中档题．
先将向量，用和表示出来，然后利用数量积的运算建立方程，求解即可．
【解答】
解：如图，
，
，
，
，
，
．
故答案为．

14.【答案】
【解析】解：设，
因为，，，四共线，
则，，
因为，
则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
设，由四点共线，得到，然后利用基本不等式的结论求解最值即可．
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理的应用，利用基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算及平面向量加减运算与相等的充要条件，属于中档题目．
建立坐标系，转化为平面向量的坐标运算求解即可．
【解答】
解：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立直角坐标系，
设，，
则，，，，
，
即，
，
，
解得，
．
故答案为．

16.【答案】，
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间向量的坐标运算，空间向量平行的坐标表示，属于中档题．
由已知同向，所以，解得，，再进行验证即可．
【解答】
解：由题意知，所以，
即
把代入，得，解得或．
当时，当时，．
当时，，
此时，反向，不符合题意，舍去．
当时，，此时与同向，所以
故答案为，．

17.【答案】解：由题意，为的中点，且，
，
，
；
，
，
，，共线，
，
．
【解析】本题考查向量的线性运算，考查向量共线条件的运用，属于中档题．
利用向量的线性运算，即可用，分别表示向量，；
若，利用，共线，求实数的值．
18.【答案】解：由题意知，是的中点，且，
由平行四边形法则，得，
，
由题意知，，故设，
而
，，
，
因为与不共线，由平面向量基本定理，得解得
故．

【解析】本题主要考查向量的基本定理的应用，根据向量平行四边形法则和向量共线的条件是解决本题的关键．
根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用用表示向量．
根据因为与不共线，建立方程关系，求实数的值．
19.【答案】解：平行四边形中，，，，是，的中点，，
，
；
，，与的夹角为，
，
．
【解析】本题考查向量的运算：加减、数乘及数量积，考查基本的运算能力，属于基础题．
根据条件，运用向量的加法和减法遵循的三角形法则，以及向量的数乘运算，即可得解；
先求出向量的数量积，再由得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积．
20.【答案】解：因为，所以，
所以，
所以，即．
因为，，所以，因为，
所以，所以，
因为，所以，
因为，且，所以，
因为，所以因为，所以．
【解析】本题以向量平行为载体，主要考查了两角和与差的三角公式，同角基本关系，体现了转化思想的应用，属于中档题．
由已知结合向量平行的坐标表示及和差角公式及同角平方关系即可求解，
由已知结合同角基本关系可求，然后结合两角和的正切公式可求，进而可求．
21.【答案】解：由已知得：，
因为，所以，所以．
因为，
所以，即，
所以，
所以，
因为，所以，所以．
所以，
所以
【解析】本题主要考查了向量平行的坐标表示，向量垂直的数量积为零，求向量的模，属于中档题．
由已知得：，由，得出关于的方程，求解出的值；
因为，得出，结合，求得，可得，根据模长公式即可求解．